1.4—1.7 有理数的加减、乘除和乘方 近似数 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（沪科版2024）

1.4—1.7 有理数的加减、乘除和乘方 近似数 一、有理数的加减法 1 有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 一个数同0相加，仍得这个数。 2 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 二、有理数的乘除法 1 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同0相乘，都得0。 乘积是1的两个数互为倒数。 2 有理数除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 三、有理数的乘方 1 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。 2 在an中，a叫做底数，n叫做指数。 3 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。 四、近似数 1 科学计数法 把一个大于10的数表示成的形式，使用的就是科学计数法。其中，a的范围为1≤lal<10。 2 有效数字 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。 3 四舍五入法 四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始，而不是从数字的末尾往前四舍五入。 巩固课内例1:有理数的加法运算 1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的加法．根据异号两数的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是关键．第（1）问的加法运算涉及：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；第（2）（3）（4）问的加法运算涉及：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解;原式； （4）解：原式． 巩固课内例2:有理数的加法运算(相反数与0) 1．若，则□表示的数是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据加法运算的法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．若a与b互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握互为相反数的两个数相加得0是解题的关键． 根据互为相反数的两个数相加得0计算即可． 【详解】解：若有理数a与b互为相反数，则， 故答案为：0． 3．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加法法则求解即可； （2）根据有理数加法法则求解即可； （3）根据有理数加法法则求解即可； （4）根据有理数加法法则求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 巩固课内例3:有理数的加法运算律 1．这道题计算时应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】B 【分析】本题主要考查了加法的运算定律，涉及到对加法交换律、加法结合律的知识； 观察所给的算式，根据所学运算律的特征进行分析判断即可． 【详解】解：，运用了加法结合律． 故选：B． 2．运用加法交换律和加法结合律填空：（ ）+（ ）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律和结合律，解题的关键是掌握常见简便计算的方法与技巧．根据有理数的加法交换律和结合律求解即可． 【详解】解：， 故答案为：，． 3．阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 巩固课内例4:有理数加法应用 1．某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨）本周五天后这种小麦库存（   ）吨 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 A．413 B．414 C．415 D．416 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的加法运算，根据有理数的加减法运算，可得答案． 【详解】解：本周五天后这种小麦库存为：（吨）， 故选：C． 2．一个水利勘察队，第一天沿江向下游走了千米，第二天又向下游走了千米，第三天向上游走了千米，第四天向上游走了千米，这时勘察队在出发点的上游 千米处． 【答案】3 【分析】此题主要考查了有理数的加法，正确理解题意，根据题意列出算式是解题的关键． 假设向上游走为正，首先根据题意可得算式，再求解即可． 【详解】解：假设向上游走为正， 由题意得， ， ∴这时勘察队在出发点的上游千米处， 故答案为：3． 3．一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了千米到达小明家，继续走了千米到达小红家，又向西走了千米到达小刚家，最后回到百货大楼． (1)以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向，用个单位长度表示千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置． (2)小明家与小刚家相距多远？ (3)若货车每千米耗油升，那么这辆货车共耗油多少升？ 【答案】(1)见解析 (2)千米 (3)1升 【分析】本题考查了数轴的实际应用、有理数的加减法运算以及路程与耗油量的计算．解题的关键是明确正负数在数轴上表示的方向意义，准确计算各点的位置坐标，进而求出距离和总路程． （1）以百货大楼为原点，向东为正方向，根据货车行驶距离确定各点坐标：小明家为，小红家为，小刚家为，再在数轴上标注． （2）利用数轴上两点间距离公式（两点坐标差的绝对值），计算小明家与小刚家的距离． （3）先求出货车行驶的总路程（各段路程绝对值之和），再根据每千米耗油量计算总耗油量． 【详解】（1）解：以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米． 小明家：向东走4千米，位置为； 小红家：从小明家继续向东走1千米，位置为； 小刚家：从小红家向西走千米，位置为． 如图表示小明家、小红家、小刚家： ． （2）解：由（1）可知，小明家位置为，小刚家位置为． 两家相距为（千米）． 答：小明家与小刚家相距9千米． （3）解：货车行驶的各段路程依次为：从百货大楼到小明家：4千米； 从小明家到小红家：1千米； 从小红家到小刚家：千米； 从小刚家回到百货大楼：千米． 总路程为（千米）． 共耗油（升）． 答：这辆货车共耗油1升． 巩固课内例5:有理数的减法运算 1．下列运算中结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对有理数的加减运算法则的应用，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．根据有理数的加减运算法则求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【答案】(1) (2)0 (3)16 (4)0 (5) (6)6 (7) (8) (9) 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题关键． （1）先去括号，再计算有理数的减法即可得； （2）先去括号，再计算有理数的加法即可得； （3）先去括号，再计算有理数的加法即可得； （4）根据有理数的减法法则计算即可得； （5）根据有理数的减法法则计算即可得； （6）先去括号，再计算有理数的加法即可得； （7）根据有理数的减法法则计算即可得； （8）先去括号，再计算有理数的减法即可得； （9）先去括号，再计算有理数的加法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式． （5）解：原式． （6）解：原式 ． （7）解：原式 ． （8）解：原式 ． （9）解：原式 ． 巩固课内例6:有理数减法应用——记分问题 1．七（1）班某次数学测试的平均成绩为125分，张三同学考了130分，记作分，李四同学得分118分，应记作（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数减法的实际应用，用李四的得分减去平均成绩即可得出结果． 【详解】解：（分）； 故选B． 2．七年级举行足球循环赛，规定胜一场得分，平场得分，负一场得分，七年级（3）班的比赛结果是一胜二平三负，则该班得 分． 【答案】－2 【分析】根据题意列出算式，计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 则该班得分． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，熟记有理数的加减混合运算法则是解题关键． 3．七年级（）班在一次联欢活动中，全班分成 个队参加游戏，得分如下：A队： 分；B队： 分；C队： 分；D队： 分；E队： 分 (1)把每个队的得分标在数轴上，并标上代表该队的字母； (2)从数轴上看A队与B队相差多少分？C队与E队相差多少分？ 【答案】(1)见解析； (2)A队与B队相差200分，C队与E队相差400分． 【分析】（1）把每个队的得分标在数轴上即可； （2）根据数轴的特点得出A队与B队、C队与E队相差的分数． 【详解】（1）解：如图： （2）（分）， （分）， 答：A队与B队相差200分，C队与E队相差400分． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，掌握数轴上两点间的距离（大数减去小数或两数之差的绝对值）是解题关键． 巩固课内例7:有理数加减混合运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算法则，即有理数减去有理数，等于加上的相反数，熟练掌握有理数的减法法则是解题关键． 根据有理数的减法运算法则，逐项计算即可求解． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 2．把写成省略括号的和的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数加减混合运算，根据加减运算法则，去掉括号即可． 【详解】解：； 故答案为： 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （3）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （4）先化简绝对值可得原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 巩固课内例8:有理数的乘法运算 1．下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘法运算、乘法运算律、有理数四则混合运算逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意． 故选：D． 2．规定一种运算：， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，四则混合运算，熟练根据题意正确列出算式是解题的关键．根据新定义正确列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)11 (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法，再计算加法； （2）根据有理数乘法运算法则计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 巩固课内例9:有理数的乘法运算律 1．在有理数的运算过程中，运用了（    ） A．乘法交换律，乘法结合律 B．乘法结合律，分配律 C．乘法交换律，分配律 D．乘法交换律，乘法结合律，分配律 【答案】A 【分析】此题考查有理数乘法运算律，根据运算中与交换位置，且先计算，确定其运算过程中运用了乘法的交换律和结合律． 【详解】解：在有理数的运算过程中， 运用了乘法交换律，乘法结合律， 故选A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，根据乘法分配律计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 3．运用运算律进行简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算； （1）利用乘法分配律计算即可； （2）先除法变乘法，再利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例10:有理数的除法运算 1．计算：（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，解题关键是掌握有理数的除法． 利用有理数的除法法则直接计算． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据有理数的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数除法运算、有理数乘除混合运算等知识点，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数成为解题的关键． （1）先将除法化成乘法，然后再计算即可； （2）先将除法化成乘法，然后按照分数的乘法计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 巩固课内例11:有理数的乘方运算 1．下列算式中，结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，求绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．根据乘方运算的法则和绝对值的意义逐项计算，进而判断即可． 【详解】解：A.，结果为正数，符合题意； B.，结果为负数，不符合题意； C.，结果为负数，不符合题意； D.，结果为负数，不符合题意； 故选：A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查负指数幂的概念．一个数的负指数幂等于这个数的正指数幂的倒数，即(，为正整数)． 【详解】解：根据负指数幂的定义(，为正整数)进行转化： 这里，，那么就等于， 即． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查负数的指数运算，需注意括号的位置对结果符号的影响．解题步骤分为：1.判断底数是否包含负号；2.根据指数奇偶性确定符号；3.计算数值部分．根据运算步骤计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3）． 巩固课内例12:含乘方的混合运算 1．在等式中，▲表示的数是（   ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减乘除的运算，解答此题的关键是判断出， 根据题意可得，据此即可求出“▲”处表示的数． 【详解】由结果为0，可得， 解得． 故选C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，先算乘方，再算乘除，最后再计算加减法即可． 【详解】解： 故答案为： 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的加减乘除混合运算，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算． （1）根据有理数的加法、减法运算法则，分别进行计算，即可得到答案； （2）根据有理数的乘法运算法则，分别进行计算，即可得到答案； （3）根据有理数的乘法、除法运算法则，分别进行计算，即可得到答案； （4）根据有理数的乘法、除法运算法则，分别进行计算，即可得到答案； （5）根据有理数的加法、减法运算法则，有理数的乘法、除法运算法则，有理数的乘方运算法则，分别进行计算，即可得到答案； （6）根据有理数的加法、减法运算法则，有理数的乘法，有理数的乘方运算法则，分别进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 巩固课内例13:科学记数法 1．年1月日，国家统计局发布数据：年全国粮食总产量万吨．其中数据“万”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，解题关键是掌握用科学记数法表示绝对值较大的数． 直接用科学记数法表示绝对值较大的数求解． 【详解】解：万， 故选：C． 2．本届哈尔滨冰雪大世界面积超1010000平方米，是世界上最大的冰雪主题乐园，荣获一项新的吉尼斯世界纪录称号．数字1010000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解： 故答案为：． 3．用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． （1）将写成其中，n为整数的形式即可； （2）将写成其中，n为整数的形式即可； （3）将写成其中，n为整数的形式即可； （4）将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 巩固课内例14:近似数 1．下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到 B．近似数精确到百分位 C．近似数万精确到十分位 D．近似数精确到十分位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数与精确数的接近程度，根据近似数的精确度对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、近似数精确到，故本选项错误，不符合题意； B、近似数精确到百分位，故本选项正确，符合题意； C、近似数万精确到千位，故本选项错误，不符合题意； D、近似数精确到百位，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 2．用四舍五入法将3.886精确到百分位，所得到的近似数为 ． 【答案】3.89 【分析】本题考查了近似数，把千分位上的数字6进行四舍五入即可． 【详解】解：（精确到百分位）． 故答案为：3.89． 3．用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到百分位）； (4)（精确到）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查近似数的求法，掌握最后一位所在的位置就是精确度，注意保留数位上的0不能去掉． （1）精确到，即保留小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用“四舍五入”法解答即可； （2）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用“四舍五入”法解答即可； （3）精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用“四舍五入”法解答即可； （4）精确到，就看千分位，利用“四舍五入”法解答即可． 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到百分位）； （4）解：（精确到）． 类型一、倒数的认识 1．有理数的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查倒数的定义：乘积是的两数互为倒数．正确掌握倒数的定义是解题的关键．直接利用倒数的定义得出答案． 【详解】解：， 则有理数的倒数是． 故选：A． 2．的倒数与的相反数的和是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查倒数及相反数的求法，可根据倒数及相反数的求法，求得的倒数及的相反数再求和即可． 【详解】解：的倒数为，的相反数为， 而， 故答案为：0． 3．求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1) ； (2)； (3)． 【答案】(1)的相反数是，倒数是，绝对值是 (2)的相反数是，倒数是，绝对值是 (3)的相反数是，倒数是，绝对值是 【分析】本题主要考查的是相反数、倒数、绝对值的定义，根据相反数、倒数、绝对值的定义解答即可． 【详解】（1）解：的相反数是，倒数是，绝对值是 （2）解：的相反数是，倒数是，绝对值是； （3）解：的相反数是，倒数是，绝对值是． 类型二、幂的概念 1．表示的意义是（    ） A．5个相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查乘方的定义，掌握定义是解决问题的关键．利用乘方的定义判断即可． 【详解】解：是5个2相乘的相反数． 故选：B ． 2．在中，底数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的定义，利用幂的定义解答即可．求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，记作，读作a的n次幂．熟练掌握幂的定义是解题的关键．注意底数是负数时要加括号． 【详解】解：中，底数是， 故答案为：． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数 (2)，底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数 (3)，底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数 【分析】此题考查的是有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的意义． （1）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （2）首先仔细观察给出的几个因数，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （3）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． 【详解】（1）解：原式， 底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数； （2）解：原式， 底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数； （3）解：原式 底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数． 类型一、有理数的减法应用——时差问题 1．下表为国外几个城市与北京的时差： 城市 东京 巴黎 伦敦 纽约 莫斯科 悉尼 时差/小时 小明于10月1日20：00从北京乘飞机，经过16小时的飞行到达纽约，到达纽约时当地的时间是（   ） A．10月1日23时 B．10月1日12时 C．10月1日7时 D．9月30日23时 【答案】A 【分析】本题考查了正、负数的应用，有理数的加减法，求出 ，即可得到北京时间是月日时，再根据：)即可求出纽约时间． 【详解】 解：， ∴到达纽约时北京时间是月日时， ∵纽约与北京的时间差是，， ∴纽约时间是月日时， 故选：A． 2．国外几个城市与北京的时差如下表．（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数） 城市 纽约 巴黎 东京 时差/时 如果现在的北京时间是15时，那么此时的巴黎时间是 ． 【答案】时 【分析】根据表格中的数据以及带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， ， 即此时巴黎的时间为8时， 故答案为：8时． 【点睛】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的运算方法进行求解是解决本题的关键． 3．如果用正数表示同一时刻比北京时间早的小时数，用负数表示同一时刻比北京时间晚的小时数，国外几个城市与北京的时差如下表所示： 城市 纽约 巴黎 东京 时差 (1)如果现在是北京时间9月20日，那么此时东京时间是多少？ (2)如果现在是北京时间9月20日，那么此时纽约时间是多少？ (3)远在巴黎的小颖在巴黎时间时，想给在北京居住的舅舅打电话，你认为合适吗？ 【答案】(1)9月20日13：00 (2)9月19日23：00 (3)不合适 【分析】本题考查有理数的加减法，正负数在实际生活中的意义，解决本题的关键是理解正负数的意义． （1）用北京的时间+时差=所求当地的时间，结果是正数为当天，即可解答； （2）用北京的时间+时差=所求当地的时间，结果是负数表明在前一天，即可解答； （3）计算出北京时间来判断小颖给舅舅打电话是否合适． 北京的时间要是白天就合适，要是睡觉时间就不合适，即可解答． 【详解】（1）解：由于东京与北京的时差为小时，所以北京与东京的时差为小时．所以，即此时东京时间是9月20日． （2）解：由于纽约与北京的时差为小时，所以北京与纽约的时差为13小时．所以，即此时纽约时间是9月19日． （3）解：由于巴黎与北京的时差为小时，所以．所以这时是北京时间，按照人们的生活习惯，已经睡觉，所以给在北京居住的舅舅打电话不合适． 类型二、有理数的乘法应用 1．数学社团共分为个小组，每组有名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，根据题意列出算式解答即可，理解题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：∵人， ∴数学社团的同学们一共将拨打电话为个， 故选：． 2．某商场将进价为100元的商品按盈利确定销售价．元旦节期间，该商场开展了“全场商品打九折”的节日促销活动，促销活动期间该商场商品的销售价为 元． 【答案】117 【分析】本题主要考查了有理数的应用，根据题意列式求解即可． 【详解】解：由题意可得：促销活动期间该商场商品的销售价元， 故答案为：117． 3．某检修小组从A地出发,在东西方向的马路上检修线路,规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)收工时检修小组在何处? (2)当检修小组最后返回到A地时，若每千米耗油升，则该天共耗油多少升? 【答案】(1)收工时检修小组在出发点的正东方向，距出发点有1千米 (2) 【分析】(1)计算各里程的和，正表示在东，负表示在西，绝对值表示距离． (2) 计算各里程的绝对值的和，再加上1，计算出耗油量即可． 本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减混合运算，有理数的乘法，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵(千米)， ∴收工时检修小组在出发点的正东方向，距出发点有1千米． （2）解：∵千米， ∴耗油量为：（升）． 类型三、有理数的除法应用 1．某气象站每天记录2时，8时，14时，20时四个时刻的气温，将它们的平均数作为这天的平均气温．张家口市某天这四个时刻的气温分别是：；；；，则张家口市这天的平均气温为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正负数的意义，将所给温度相加后再除以4即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 2．某市2024年商品房的平均售价为6624元，比2023年增长了，2023年该市商品房平均售价为 元； 【答案】7200 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，用2024年的平均售价除以（增长率）进行计算即可． 【详解】解：元， 故答案为：7200. 3．一只蚂蚁从某点P出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程为主，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程一次为（单位：厘米）：，，，，，， (1)蚂蚁共爬行了多少厘米？ (2)若蚂蚁共用了9分钟完成上面的路程，蚂蚁的速度是多少？ 【答案】(1)蚂蚁共爬行了54厘米 (2)蚂蚁每分钟走 6 厘米 【分析】本题主要考查绝对值的性质以及有理数的加法和除法． （1） 把所有的路程数值取绝对值相加即是蚂蚁爬行的总路程； （2） 根据“速度路程时间”，即可求解． 【详解】（1）解： ， 故蚂蚁共爬行了54厘米． （2）解：因为蚂蚁共用了 9 分钟走完 54 厘米， 所以蚂蚁的速度为， 答：蚂蚁每分钟走 6 厘米． 类型四、有理数的乘方应用 1．如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C．25 D．175 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第4次裁剪后剩下的长方形的面积． 故选：A． 2．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第6次后拉成 根细面条． 【答案】64 【分析】本题主要考查有理数的乘方的应用．找出捏合的次数与拉出面条根数之间的关系即可． 【详解】解：罗列每次拉出的根数如下： 第一次，拉出2根细面条； 第二次，拉出根细面条； 第三次，拉出根细面条； ， 第次，拉出根细面条； 第十次捏合，拉出根细面条． 故答案为：64． 3．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受此启发，你能求出的傎． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规律． （1）根据题意可以写出前几部分的面积，从而可以发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，从而可以解答本题； （2）根据（1）中发现的规律和题目中的式子，可以计算出相应的结果． 【详解】（1）解：由题意可知， 部分①面积是， 部分②面积是， 部分③面积是， …， 则阴影部分的面积是， 阴影部分的面积是． （2）解： ． 类型一、二进制问题 1．计算机将信息转换成二进制数处理的，二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制形式是（ ） A．23 B．22 C．18 D．31 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题中二进制数化为十进制数的方法计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 2．我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数5；等于十进制的数11．请问二进制中的1101等于十进制中的数为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了有理数的混合运算．认真观察已知给出的两个式子：等于十进制的数5；等于十进制的数11，得出规律，再计算． 【详解】解： 故答案为：13． 3．综合与实践 活动名称　进位制的认识与探究 背景材料：进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标） 素材1： 十进制数，记作：234． 七进制数，记作： 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2： 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如： 素材3： 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一 二进制的四则运算规则如下： 加法：， 减法：（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 任务1：探究不同进位制的数之间的转换 （1）将七进制数转化成十进制数的值为多少？ （2）将十进制数22转化成二进制数的值为多少？ （3）若三进制数，四进制数，试比较a与b的大小关系，并说明理由； 任务2：探究进位制数的加法运算（结果仍用二进制表示） ① ② 【答案】（1）129；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了有理数的运算，读懂材料中两种进制互化的例子是关键． （1）根据材料提供的方法转化即可； （2）根据材料提供的方法转化即可； （3）①根据二进制的加法运算口诀进行求解即可； ②根据二进制的减法运算口诀进行求解即可 【详解】解：（1） （2）， （3）①， ②． 类型二、排列规律问题 1．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵、横两种形式（如图），表示一个多位数时，把各个数位的数码从高位到低位、从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（   ） A． B． C．   D． 【答案】C 【分析】本题是应用类问题，主要考查了新定义，学生对图形的认识，理解新定义是解本题的关键．根据题中新定义求解即可． 【详解】解：∵个位、百位、万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示， ∴ 56846表示为： ． 故选：C． 2．成语“运筹帷幄”中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．如图所示：当表示一个多位数时，把各个数位的数从左到右排列，个位，百位，万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．用算筹表示的数为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的表示，根据题意可知，所求算筹表示的是一个四位数，千位数字是2，百位数字是0，十位数字是2，个数数字是4，据此可得答案． 【详解】 解：由题意得，算筹表示的数为：， 故答案为： 3．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2 028个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】(1)正数； (2)B、D； (3)正数，A． 【分析】本题考查了数字规律问题，找出题中数字排列规律是解题的关键． （1）观察规律，找出循环，注意符号，即得答案； （2）观察规律，找出循环，注意符号，即得答案； （3）因为，根据规律，即得答案． 【详解】（1）解：由数字排列规律可知：A是正数，B是负数，C是正数，D是负数．每4个数一循环， 所以在A处的数是正数； （2）解：由（1）可知，负数排在B，D的位置上； （3）解：， 根据（1）中数字排列规律可知，第2 028个数是正数，排在对应A的位置上． 类型三、算24点 1．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 2．游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【答案】或或（答案不唯一，任选一个） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 3．小强有张卡片写着不同的数字的卡片： (1)他想从中取出张卡片，使这张卡片上数字乘积最大．如何抽取？最大的乘积是多少？ (2)从中取出张卡片，使这张卡片上数字相除最小．如何抽取？最小是多少？ (3)从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为．如何抽取？写出运算式子？（一种即可） 【答案】(1)抽取，两张卡片时，卡片上的数字乘积最大，最大乘积是15 (2)抽取，两张卡片时，卡片上的数字相除，结果最小，最小结果是 (3)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的乘除运算以及四则混合运算的应用，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）要使两张卡片数字乘积最大，需考虑同号两数相乘，且绝对值越大乘积越大； （2）要使两张卡片数字相除最小，需考虑异号两数相除，且分子绝对值尽可能大，分母绝对值尽可能小； （3）要从四张卡片通过运算得到24，需结合四则运算规则进行组合尝试． 【详解】（1）解：∵ 要使乘积最大，应选择同号且绝对值较大的两个数 ∴ 抽取和 ∵ ∴抽取，两张卡片时，卡片上的数字乘积最大，最大乘积是； （2）解：∵ 要使商最小，应选择异号且分子绝对值大、分母绝对值小的两个数 ∴ 抽取和 ∵ ∴ 最小的商是 （3）解：抽取、、、， ∵ ， ∴ 运算式子可以是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4—1.7 有理数的加减、乘除和乘方 近似数 一、有理数的加减法 1 有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 一个数同0相加，仍得这个数。 2 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 二、有理数的乘除法 1 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同0相乘，都得0。 乘积是1的两个数互为倒数。 2 有理数除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 三、有理数的乘方 1 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。 2 在an中，a叫做底数，n叫做指数。 3 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。 四、近似数 1 科学计数法 把一个大于10的数表示成的形式，使用的就是科学计数法。其中，a的范围为1≤lal<10。 2 有效数字 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。 3 四舍五入法 四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始，而不是从数字的末尾往前四舍五入。 巩固课内例1:有理数的加法运算 1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例2:有理数的加法运算(相反数与0) 1．若，则□表示的数是（   ） A．5 B． C． D． 2．若a与b互为相反数，则 ． 3．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例3:有理数的加法运算律 1．这道题计算时应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 2．运用加法交换律和加法结合律填空：（ ）+（ ）． 3．阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 巩固课内例4:有理数加法应用 1．某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨）本周五天后这种小麦库存（   ）吨 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 A．413 B．414 C．415 D．416 2．一个水利勘察队，第一天沿江向下游走了千米，第二天又向下游走了千米，第三天向上游走了千米，第四天向上游走了千米，这时勘察队在出发点的上游 千米处． 3．一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了千米到达小明家，继续走了千米到达小红家，又向西走了千米到达小刚家，最后回到百货大楼． (1)以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向，用个单位长度表示千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置． (2)小明家与小刚家相距多远？ (3)若货车每千米耗油升，那么这辆货车共耗油多少升？ 巩固课内例5:有理数的减法运算 1．下列运算中结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 巩固课内例6:有理数减法应用——记分问题 1．七（1）班某次数学测试的平均成绩为125分，张三同学考了130分，记作分，李四同学得分118分，应记作（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 2．七年级举行足球循环赛，规定胜一场得分，平场得分，负一场得分，七年级（3）班的比赛结果是一胜二平三负，则该班得 分． 3．七年级（）班在一次联欢活动中，全班分成 个队参加游戏，得分如下：A队： 分；B队： 分；C队： 分；D队： 分；E队： 分 (1)把每个队的得分标在数轴上，并标上代表该队的字母； (2)从数轴上看A队与B队相差多少分？C队与E队相差多少分？ 巩固课内例7:有理数加减混合运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．把写成省略括号的和的形式是 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例8:有理数的乘法运算 1．下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．规定一种运算：， 则 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例9:有理数的乘法运算律 1．在有理数的运算过程中，运用了（    ） A．乘法交换律，乘法结合律 B．乘法结合律，分配律 C．乘法交换律，分配律 D．乘法交换律，乘法结合律，分配律 2．计算： ． 3．运用运算律进行简便计算： (1) (2) 巩固课内例10:有理数的除法运算 1．计算：（    ） A． B． C．4 D．8 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例11:有理数的乘方运算 1．下列算式中，结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例12:含乘方的混合运算 1．在等式中，▲表示的数是（   ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 巩固课内例13:科学记数法 1．年1月日，国家统计局发布数据：年全国粮食总产量万吨．其中数据“万”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．本届哈尔滨冰雪大世界面积超1010000平方米，是世界上最大的冰雪主题乐园，荣获一项新的吉尼斯世界纪录称号．数字1010000用科学记数法表示为 ． 3．用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例14:近似数 1．下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到 B．近似数精确到百分位 C．近似数万精确到十分位 D．近似数精确到十分位 2．用四舍五入法将3.886精确到百分位，所得到的近似数为 ． 3．用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到百分位）； (4)（精确到）． 类型一、倒数的认识 1．有理数的倒数是（　　） A． B． C． D． 2．的倒数与的相反数的和是 ． 3．求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1) ； (2)； (3)． 类型二、幂的概念 1．表示的意义是（    ） A．5个相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 2．在中，底数是 ． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． (1)； (2)； (3)． 类型一、有理数的减法应用——时差问题 1．下表为国外几个城市与北京的时差： 城市 东京 巴黎 伦敦 纽约 莫斯科 悉尼 时差/小时 小明于10月1日20：00从北京乘飞机，经过16小时的飞行到达纽约，到达纽约时当地的时间是（   ） A．10月1日23时 B．10月1日12时 C．10月1日7时 D．9月30日23时 2．国外几个城市与北京的时差如下表．（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数） 城市 纽约 巴黎 东京 时差/时 如果现在的北京时间是15时，那么此时的巴黎时间是 ． 3．如果用正数表示同一时刻比北京时间早的小时数，用负数表示同一时刻比北京时间晚的小时数，国外几个城市与北京的时差如下表所示： 城市 纽约 巴黎 东京 时差 (1)如果现在是北京时间9月20日，那么此时东京时间是多少？ (2)如果现在是北京时间9月20日，那么此时纽约时间是多少？ (3)远在巴黎的小颖在巴黎时间时，想给在北京居住的舅舅打电话，你认为合适吗？ 类型二、有理数的乘法应用 1．数学社团共分为个小组，每组有名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？（   ） A． B． C． D． 2．某商场将进价为100元的商品按盈利确定销售价．元旦节期间，该商场开展了“全场商品打九折”的节日促销活动，促销活动期间该商场商品的销售价为 元． 3．某检修小组从A地出发,在东西方向的马路上检修线路,规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)收工时检修小组在何处? (2)当检修小组最后返回到A地时，若每千米耗油升，则该天共耗油多少升? 类型三、有理数的除法应用 1．某气象站每天记录2时，8时，14时，20时四个时刻的气温，将它们的平均数作为这天的平均气温．张家口市某天这四个时刻的气温分别是：；；；，则张家口市这天的平均气温为（   ） A． B． C． D． 2．某市2024年商品房的平均售价为6624元，比2023年增长了，2023年该市商品房平均售价为 元； 3．一只蚂蚁从某点P出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程为主，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程一次为（单位：厘米）：，，，，，， (1)蚂蚁共爬行了多少厘米？ (2)若蚂蚁共用了9分钟完成上面的路程，蚂蚁的速度是多少？ 类型四、有理数的乘方应用 1．如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C．25 D．175 2．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第6次后拉成 根细面条． 3．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受此启发，你能求出的傎． 类型一、二进制问题 1．计算机将信息转换成二进制数处理的，二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制形式是（ ） A．23 B．22 C．18 D．31 2．我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数5；等于十进制的数11．请问二进制中的1101等于十进制中的数为 ． 3．综合与实践 活动名称　进位制的认识与探究 背景材料：进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标） 素材1： 十进制数，记作：234． 七进制数，记作： 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2： 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如： 素材3： 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一 二进制的四则运算规则如下： 加法：， 减法：（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 任务1：探究不同进位制的数之间的转换 （1）将七进制数转化成十进制数的值为多少？ （2）将十进制数22转化成二进制数的值为多少？ （3）若三进制数，四进制数，试比较a与b的大小关系，并说明理由； 任务2：探究进位制数的加法运算（结果仍用二进制表示） ① ② 类型二、排列规律问题 1．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵、横两种形式（如图），表示一个多位数时，把各个数位的数码从高位到低位、从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（   ） A． B． C．   D． 2．成语“运筹帷幄”中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．如图所示：当表示一个多位数时，把各个数位的数从左到右排列，个位，百位，万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．用算筹表示的数为： ． 3．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2 028个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 类型三、算24点 1．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 3．小强有张卡片写着不同的数字的卡片： (1)他想从中取出张卡片，使这张卡片上数字乘积最大．如何抽取？最大的乘积是多少？ (2)从中取出张卡片，使这张卡片上数字相除最小．如何抽取？最小是多少？ (3)从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为．如何抽取？写出运算式子？（一种即可） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$