第1章 有理数 （中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（沪科版2024）

第1章 有理数 思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值化简 【解惑】已知，则（    ） A．5 B．5 C．0 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据题意可得，然后求出b的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴5或， 故选：D． 【融会贯通】 1．已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的数从左到右越来越大，绝对值的化简和去括号，根据相关知识点一一计算，得到正确答案，解题的关键是要正确的去掉绝对值； 【详解】解：由数轴可知： ∴； ∴原式， ， ． 故选：D． 2．若有理数a 、b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则 【答案】 【分析】本题主要考查化简绝对值，a，b都在原点的左侧，故都为负数，并且由a，b的位置可判断． 【详解】解：由于，则； 由于a，b都为负数，则； 所以． 故答案为：． 3．有理数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，在数轴上表示有理数，先结合数轴得，则，再化简，即可作答． 【详解】解：由数轴得， 则， ， 故答案为：． 类型二、字母在数轴上比较大小 【解惑】有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴定义与性质，涉及利用数轴比较有理数的大小，理解数轴定义与性质是解决问题的关键．根据数轴左边点对应的数小于右边的点对应的数即可得到答案． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 2．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，，的大小关系，用“”连接起来 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据数轴判断有理数的大小关系，绝对值的意义，根据数轴可知：，，，即可得出． 【详解】解：根据数轴可知：，，， 则， 故答案为： 3．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，掌握a，b在数轴上对应点的位置得出a距离原点的距离比b距离原点的距离小是关键． 根据数轴判断出a距离原点的距离比b距离原点的距离小，即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 类型三、幻方幻圆问题 【解惑】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，1，2，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用一次），则的值为（    ）    A．1或 B．4或 C．或4 D．或1 【答案】D 【分析】将各数相加的和除以2，得出横线上，竖线上，外圈，内圈上的数之和，即可求出b，则竖线上的四个数字为：3，，1，，横线上的四个数字为：，0，，2，再求出，即可求出或2，即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 则竖线上的四个数字为：3，，1，， ∴横线上的四个数字为：，0，，2， ∵， ∴， ∴或2， 当时：， 当时：， 故选：D．    【点睛】此题考查了有理数加法和一元一次方程的应用，熟练掌握有理数加法法则，能够根据所给条件推出a，b的可能取值是解题的关键． 【融会贯通】 1．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的音乐，根据题意出三元一次方程以及整体思想是解题关键． 如图：根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选D． 2．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 －3 3 【分析】本题主要考查了有理数的运算，先设中间的四个的右上的数字为p，左下的数字为q，再根据题意列出关系式，整理可得答案． 【详解】设中间的四个的右上的数字为p，左下的数字为q， 根据题意，得，， 将上式变形得，． 故答案为：，3． 3．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．则图中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为；． 类型四、绝对值分类讨论 【解惑】|a|=3，|b|=1，且a＞b，那么a+b的值为（　　） A．4 B．2或-4 C．-4 D．4或2 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质可得a=±3，b=±1，再根据a＞b，可得①a=3，b=1②a=3，b=-1，然后计算出a+b即可． 【详解】解：∵|a|=3，|b|=1， ∴a=±3，b=±1， ∵a＞b， ∴①a=3，b=1，则：a+b=4； ②a=3，b=-1，则a+b=2． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了绝对值得性质，以及有理数的加法，关键是掌握绝对值的性质，绝对值等于一个正数的数有两个． 【融会贯通】 1．若，，且，则的值是（    ） A．13或3 B．13 C．3 D．-13或-3 【答案】A 【分析】利用绝对值的意义和，可以确定a，b的值，从而可以求得a+b的值． 【详解】解：∵|a|=8，|b|=5， ∴a=±8，b=±5， 又∵， ∴a=8，b=-5或a=8，b=5， 当a=8，b=-5时，a+b=8-5=3， 当a=8，b=5时，a+b=8+5=13． 故选：A 【点睛】此题考查了有理数的加法运算，绝对值，以及有理数大小的比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．若、、都是有理数，，且，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、数轴、有理数的加减混合运算，熟练掌握相关概念及运算法则是解题的关键． 先去绝对值，再根据题意得出，，，即可得出，，，然后将值代入即可得出答案． 【详解】解： ，，， ，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧， ，，， ，，， ． 故答案为：． 3．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法、绝对值、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，可以求得、的值，从而可以求得的值． 【详解】解：∵， ， 又， 时，， 时，， ∴当时，， 当时，， 故答案为：． 类型五、程序流程图 【解惑】按如图所示的运算程序，输入x的值为1，则输出的y的值为（   ） A． B． C．11 D．116 【答案】C 【分析】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，正确理解程序图中的程序并列式计算是解题的关键．利用程序图中的程序列式计算即可． 【详解】解：输入x的值为1，则， 重新输入x的值为，则， ∴输出的y的值为11． 故选：C． 【融会贯通】 1．按照如图所示的操作步骤进行计算，若输入的值为，则输出的值为（   ） A． B．28 C． D．80 【答案】B 【分析】根据运算程序列式计算即可得解．本题考查了代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，按程序一步一步计算． 【详解】解：由图可知，输入的值为时，， 则， 故选择：B． 2．如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则输出的值为 ． 【答案】34 【分析】本题考查有理数的混合运算，输入，根据题意列式计算，直至结果不小于16即可． 【详解】解：若输入，则，返回继续运算； ，输出结果； 故答案为：34． 3．如图所示，若输入的分数是，则输出的分数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算．按照程序把3代入进行计算，若小于或等于，再代入计算即可求解． 【详解】解：当输入的数值为时，输出结果为： ． 故答案为：． 类型六、有理数的新定义运算 【解惑】在有理数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．则当时，的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，新定义运算，先理解新运算“⊕”的法则，再整理原式，最后进行计算，即可作答． 【详解】解：∵当时，；当时，． ∴当时， 故选：B 【融会贯通】 1．我们定义一种新的运算“”，并且规定：，例如：，则的值为（   ）． A．5 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为定义一种新的运算“”，并且规定：，所以，即可作答． 【详解】解：∵定义一种新的运算“”，并且规定：， ∴ ． 故选：A． 2．已知[x]表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的加减混合运算，根据题意，理解的定义并求出值，然后根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意，可得： ． 故答案为：． 3．对于有理数x，y，定义新运算，其中a，b是常数，已，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，先根据新定义求出，然后根据新定义把转化为有理数的混合运算计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴ 故答案为：． 类型七、算“24”点 【解惑】小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：      0      (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，每张卡片只能用一次，用学过的“，，，”运算，使结果为24．请写出1个运算式并进行计算：________________． 【答案】(1)15 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． （1）根据题意，可以得到要使得乘积最大，一定是取同号的两个数字，再观察数字可知，当取和时，符合要求； （2）根据题意，可以得到要使得数字相除的商最小，一定是取异号的两个数，再观察数字可知，当取和时，符合要求； （3）根据有理数的四种混合运算，求解即可． 【详解】（1）解：根据题中的数字以及题意可得：当取和时，得到的乘积最大， 此时，； 故答案为：； （2）解：根据题中的数字以及题意可得：当取和时，得到的商最小， 此时，； 故答案为：； （3）解：选择卡片：， 列式得： ， 故答案为： （答案不唯一）． 【融会贯通】 1．有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题． （1）所给的数字为：、、5、3； （2）所给的数字为：、、8、12； （3）所给的数字为：、、2、3； 利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可． 【详解】（1）（1）答案不唯一，如 ； （2）①答案不唯一，如 ； ②答案不唯一，如 ； （3）答案不唯一，如 ． 2．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【答案】(1)、；15； (2)、； (3)、4； (4) 【分析】本题考查有理数的运算．熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则即可确定； （2）根据有理数的除法法则即可确定； （3）根据有理数的乘方运算即可确定； （4）根据有理数的混合运算法则即可确定． 【详解】（1）解：∵，，， ∴抽取、两张卡片的乘积最大，最大值为15． 故答案为：、；15； （2）∵， ∴抽取、两张卡片相除的商最小，最小值为． 故答案为：、；． （3）∵，， ∴抽取、4两张卡片，组成的最大值为． 故答案为：、4；． （4）抽取、、0、3，则． 故答案为：． 3．“24点”游戏规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中，任意抽取4张，根据牌面上的数字进行加减乘除四则混合运算（每张牌只能用…次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表，，． 例如，抽到一组牌：，要使运算结果为24，则可列式为：； (1)甲同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (2)乙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (3)丙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键 （1）根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 故答案为： （2）解：∵ ∴ 故答案为： （3）解：∵ ∴ 故答案为： 类型八、数轴对称折叠问题 【解惑】在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则折痕经过表示____________的点；表示的点与表示____________的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合： ①表示5的点与表示n的点重合，求n； ②若数轴上两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且两点折叠后重合，求两点表示的数． 【答案】（1）；（2）①，② 【分析】本题考查了数轴的简单应用，解决数轴中的折叠问题，关键是找到折痕经过的数轴上表示的点． （1）根据表示1的点与表示的点重合，可得其中点为原点，则与2重合； （2）根据表示的点与表示3的点重合，可得其中点为表示1的点，再根据互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解． 【详解】（1）表示1的点与表示的点重合， 折痕经过表示0的点， 表示的点与表示2的点重合． （2）使表示的点与表示3的点重合， 则， 折痕经过表示1的点， 表示5的点与表示n的点重合， ， ， 两点之间的距离为9， 且两点折叠后重合， 点表示的数与1的距离为， 点表示的数与1的距离为， 点A在点B的左侧， 点表示的数为， 点表示的数为． 【融会贯通】 1．【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 【答案】（1）2；（2），点表示的数为，点表示的数为 【分析】本题考查了数轴说两点之间的距离，轴对称的性质，利用轴对称性质是解答关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）利用轴对称的性质求得折痕处对应的数，再利用轴对称的性质解答即可；利用轴对称的性质可得两点距离折痕处的距离分别为，结合数轴解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得：对称中心是原点， 示的点与数2表示的点重合； （2）表示的点与3表示的点重合， 对称中心是1表示的点， 5表示的点与数表示的点重合， 数轴上A、两点之间的距离为9（在的左侧）， 点A表示的数是， 点表示的数是． 2．已知在纸面上有一数轴（如图）． (1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数的点重合，则此时表示数的点与表示数______的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数的点与表示数5的点重合，回答下列问题： ①表示数6的点与表示数______的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为（点A在点B的左侧），则A、B两点所表示的数分别是多少？ 【答案】(1)3 (2)①；②A、B两点所表示的数分别是， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，有理数的加减运算等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，有理数的加减运算是解题的关键． （1）由表示数1的点与表示数的点重合，可知折痕处的点表示的数为，进而可得表示数的点与表示数3的点重合； （2）①由题意得，折痕处的点表示的数为，进而可得表示数6的点与表示数的点重合；②由题意知，A、B两点到折痕处的点的距离为，根据A点所表示的数为，B两点所表示的数为，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵表示数1的点与表示数的点重合， ∴折痕处的点表示的数为， ∴表示数的点与表示数3的点重合； 故答案为：3； （2）①解：∵折叠纸面，使表示数的点与表示数5的点重合， ∴折痕处的点表示的数为， ∴表示数6的点与表示数的点重合， 故答案为：； ②解：由题意知，A、B两点到折痕处的点的距离为， ∴A点所表示的数为，B两点所表示的数为， ∴A、B两点所表示的数分别是，． 3．已知在纸面上有一数轴，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)已知、两点相距个单位长度，请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数． (2)在数轴上标出与点的距离为2的点（用不同于、的字母表示），并写出这些点表示的数． (3)折叠纸面，若数轴上对应的点与5对应的点重合，回答以下问题： ①10对应的点与_______对应的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数． (4)如图，半径为2的圆上有一点落在数轴上点处，求将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)1， (2)见解析，和3 (3)①；②点为，点为 (4) 【分析】本题主要考查数轴有关知识，熟练掌握数轴上两点间的距离，中心对称，点的平移规律左移减右移加是解题的关键． （1）根据数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数可知表示1，表示为，即可求解； （2）与点距离为2的点，即左右两边距离两个单位长度的点，也就是数为和的点； （3）①先求出和5的中点，再根据中心对称列式计算即可得解；②根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算即可得解； （4）先求出圆的周长，再根据平移规律即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，点表示的数为1， 则点表示的数为． （2）解：数轴与点的距离为2的点分别为和， 即数轴中和为所求， 其中点表示3，点表示． （3）解：① 故答案为：； ②、两点之间的距离为2024 由①可知，对折点的数为2，且在的左侧 点为，点为． （4）解：圆的半径 圆的周长 将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点所处的位置的点在数轴上所表示的数为． 类型九、拆项法 【解惑】先阅读第（1）题的计算过程，再根据第（1）题的解题方法完成第（2）题． （1）计算： 解： ． 上面这种解题方法叫作拆项法． （2）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，读懂阅读材料，熟练掌握有理数的加法法则、掌握拆项法进行解题是关键． 认真观察（1）的解法，利用此方法求出（2）中各小题的结果即可． 【详解】解： 原式 ． 【融会贯通】 1．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用题目提供的方法计算即可，正确理解题干提供的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ． 2．阅读下面的计算方法，再解决问题． ． 解：原式， ， ， ． 上述这种方法叫作拆项法，灵活运用加法的交换律和结合律可使运算简单． 仿照上面的方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数计算．根据题意将带分数写成整数加分数形式再分别计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 3．张老师在数学多媒体课上给出了如下的材料． 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．请仿照上面的方法计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数数加减混合运算中的简便运算，按照例子中的拆项法把假分数拆开，然后整数和整数相加，分数和分数相加，最后再计算整数和分数的加减运算． 【详解】解：原式 ． 类型十、绝对值的几何意义 【解惑】已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)5 (3)0 【分析】本题考查有理数与数轴，化简绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义： （1）根据题意，得到互为相反数，进行求解即可； （2）根据绝对值的意义，结合点在数轴上的位置，进行化简求值即可； （3）根据绝对值的意义，结合点在数轴上的位置，判断出式子的符号，进行化简即可． 【详解】（1）解：由图和题意可知，互为相反数且不为0， ∴，； （2）由图可知：， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．大家知道，它在数轴上的意义是表示2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． (1)若数轴上表示数x和的两点间的距离为2那么 ． (2)若点C表示的数为x，当取得的值为3时，求x的取值范围． (3)若点D表示的数为8，点E表示的数为，且点P到点D的距离比点P到点E的距离多5，请求出点P表示的数． 【答案】(1)1或 (2) (3)满足要求的点P表示的数为 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，化简绝对值，绝对值方程，深刻理解绝对值的含义并能融会贯通加以应用是解题的关键． （1）根据两点之间的距离为，解该绝对值方程即可求出的值； （2）根据绝对值的几何意义，是到的距离，是到的距离，分析距离和为时的位置范围． （3）设表示的数为，用绝对值表示到、的距离、，分、、三种情况，结合距离差为列方程求解． 【详解】（1）∵数轴上表示数x和的两点间的距离为2， ∴， ， 或， 故x为1或； （2）解：表示点C与表示的点A之间的距离，表示点C与表示的点B之间的距离， 的值为3表示点C到A、B这两点的距离之和为3， 若点C位于点A的左边或点B的右边，那么一定大于3， 点C位于和2之间的任何一点时，能使取的值为3， 此时x的取值范围是； （3）假设点P表示的数为x，则，， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 不符合题意，舍去， 满足要求的点P表示的数为． 2．完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 【答案】(1)①；②；③或 (2)， (3)或 【分析】（）①根据两点的距离公式求解即可；②先根据折叠的性质找出折痕点对应的数，再根据两点的距离公式求解即可；③分点在之间和在点右侧两种情况，根据两点的距离公式列出等式求解即可； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据利用两点间距离公式计算即可求解； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据、和三种情况解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键 【详解】（1）解：①两点之间的距离为， 故答案为：； ②折叠数轴，使点与点重合，则折痕点对应的数为， 设与表示的点重合的点对应的数为， 则， ∴， 即表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ③设点所表示的数为，分以下两种情况： 当点在之间时，则， 解得； 当点在点右侧时，则， 解得； 综上，点所表示的数是或， 故答案为：或； （2）解：数轴上表示和两点之间的距离为， ∵， ∴式子表示到与到的距离之和， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴式子表示到与到的距离之和， 当时，， ∴只能在的左边或右边， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，的值是或， 故答案为：或． 3．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． (1)写出数轴上点表示的数 (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则_____． ②的最小值为_____； (3)拓展与延伸：数轴上三个不重合的点、、，若、、三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 【答案】(1) (2)①6或10；②20 (3)7，31，1， 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、两点之间的距离等知识点，掌握绝对值的非负性以及分类讨论思想成为解题的关键． （1）数轴上左边点表示的数比右边小，使用减法运算，用右边的点减去距离即可解答； （2）依据绝对值的几何意义及两条线段之和最短的情况计算即可； （3）根据题意分点P在点M左边，点P在点M、N之间靠近点M，点P在点M、N之间靠近点N，点P在点N的右边四种情况，分别根据绝对值的意义以及题意求解即可． 【详解】（1）解：已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且， ∴点B表示的数为． （2）解：①∵， ∴， ∴或； ②当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：①6或10；②20． （3）解：设点P表示的数为x， ①当点P在点M左边时，有， 即，解得：或（舍去）； ②当点P在点M、N之间靠近点M时，有， 即，解得：或（舍去）； ③当点P在点M，N之间靠近点N时，有， 即，解得：或（舍去）； ③当点P在点N的右边时，有， 即，解得：或（舍去）． 综上所述，点P表示的数为或1或7或31． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数 思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值化简 【解惑】已知，则（    ） A．5 B．5 C．0 D．5或 【融会贯通】 1．已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．若有理数a 、b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则 3．有理数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 类型二、字母在数轴上比较大小 【解惑】有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，，的大小关系，用“”连接起来 ． 3．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 类型三、幻方幻圆问题 【解惑】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，1，2，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用一次），则的值为（    ）    A．1或 B．4或 C．或4 D．或1 【融会贯通】 1．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是 ，的值是 ． 3．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．则图中的值为 ． 类型四、绝对值分类讨论 【解惑】|a|=3，|b|=1，且a＞b，那么a+b的值为（　　） A．4 B．2或-4 C．-4 D．4或2 【融会贯通】 1．若，，且，则的值是（    ） A．13或3 B．13 C．3 D．-13或-3 2．若、、都是有理数，，且，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧，则 ． 3．已知，，且，则 ． 类型五、程序流程图 【解惑】按如图所示的运算程序，输入x的值为1，则输出的y的值为（   ） A． B． C．11 D．116 【融会贯通】 1．按照如图所示的操作步骤进行计算，若输入的值为，则输出的值为（   ） A． B．28 C． D．80 2．如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则输出的值为 ． 3．如图所示，若输入的分数是，则输出的分数是 ． 类型六、有理数的新定义运算 【解惑】在有理数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．则当时，的值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．我们定义一种新的运算“”，并且规定：，例如：，则的值为（   ）． A．5 B． C．3 D．4 2．已知[x]表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则 ． 3．对于有理数x，y，定义新运算，其中a，b是常数，已，，则的值是 ． 类型七、算“24”点 【解惑】小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：      0      (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，每张卡片只能用一次，用学过的“，，，”运算，使结果为24．请写出1个运算式并进行计算：________________． 【融会贯通】 1．有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 2．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 3．“24点”游戏规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中，任意抽取4张，根据牌面上的数字进行加减乘除四则混合运算（每张牌只能用…次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表，，． 例如，抽到一组牌：，要使运算结果为24，则可列式为：； (1)甲同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (2)乙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (3)丙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． 类型八、数轴对称折叠问题 【解惑】在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则折痕经过表示____________的点；表示的点与表示____________的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合： ①表示5的点与表示n的点重合，求n； ②若数轴上两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且两点折叠后重合，求两点表示的数． 【融会贯通】 1．【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 2．已知在纸面上有一数轴（如图）． (1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数的点重合，则此时表示数的点与表示数______的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数的点与表示数5的点重合，回答下列问题： ①表示数6的点与表示数______的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为（点A在点B的左侧），则A、B两点所表示的数分别是多少？ 3．已知在纸面上有一数轴，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)已知、两点相距个单位长度，请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数． (2)在数轴上标出与点的距离为2的点（用不同于、的字母表示），并写出这些点表示的数． (3)折叠纸面，若数轴上对应的点与5对应的点重合，回答以下问题： ①10对应的点与_______对应的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数． (4)如图，半径为2的圆上有一点落在数轴上点处，求将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点在数轴上所表示的数． 类型九、拆项法 【解惑】先阅读第（1）题的计算过程，再根据第（1）题的解题方法完成第（2）题． （1）计算： 解： ． 上面这种解题方法叫作拆项法． （2）计算：． 【融会贯通】 1．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 2．阅读下面的计算方法，再解决问题． ． 解：原式， ， ， ． 上述这种方法叫作拆项法，灵活运用加法的交换律和结合律可使运算简单． 仿照上面的方法计算： ． 3．张老师在数学多媒体课上给出了如下的材料． 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．请仿照上面的方法计算： ． 类型十、绝对值的几何意义 【解惑】已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：； (3)化简：． 【融会贯通】 1．大家知道，它在数轴上的意义是表示2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． (1)若数轴上表示数x和的两点间的距离为2那么 ． (2)若点C表示的数为x，当取得的值为3时，求x的取值范围． (3)若点D表示的数为8，点E表示的数为，且点P到点D的距离比点P到点E的距离多5，请求出点P表示的数． 2．完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 3．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． (1)写出数轴上点表示的数 (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则_____． ②的最小值为_____； (3)拓展与延伸：数轴上三个不重合的点、、，若、、三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$