第2章 圆与方程（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

第2章 圆与方程 教学目标 1. 掌握圆方程的两种形式并会互化，会判断圆的一般方程成立的条件，理解两种形式的特点． 2. 了解直线与圆、圆与圆的几种位置关系，掌握直线与圆、圆与圆位置关系的性质的代数和几何表现形式． 3. 会用几何法或代数法处理直线与圆、圆与圆的几种位置关系． 4.通过对实例的探究，体会分类讨论、数形结合、转化归类的思想，发展观察、分析、概括和运算的能力． 教学重难点 1.重点 理解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及其综合应用． 2.难点 理解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及其综合应用． 知识点01 求圆的方程的两种方法 求圆的方程的两种方法 ① 直接法：根据圆的几何性质，求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程． ② 待定系数法： a. 根据题意选择标准方程或一般方程； b. 根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组(一般是3个方程)； c. 解出a, b, r或D, E, F，代入标准方程或一般方程． (2) 确定圆心位置的方法 ① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上． ② 圆心在圆的任意弦的垂直平分线(三角形外接圆的圆心在该三角形边的中垂线)上． ③ 两圆相切时，切点与两圆圆心共线． ④ 两圆相交时，两圆圆心在公共弦的中垂线上． 提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质能有效简化运算． (3) 几个注意点 ① 注意问题成立的前提条件：解决圆的方程问题的关键是“圆心”和“半径”．对于圆的一般方程，一定要注意其隐含条件，即D2＋E2－4F>0，否则易造成增解；对于求两圆的公共弦所在直线，一定要先确定两圆的位置关系是相交． ② 注意情况分析清楚：有关圆的方程的问题在求解的过程中要特别注意漏解的情况，由于决定圆的方程的条件一般是圆心和半径，但符合条件的圆往往不止一个，因此要特别注意多解的产生．利用几何关系判断的时候，会忽视对称的情况，从而造成漏解． ③ 注意结论是否能够成立：得出结论后要注意检验，在某些情况下得出结论不一定符合题目的条件． 【即学即练】 1．已知O为原点，点为圆心，以为直径的圆的方程为（  ） A． B． C． D． 2．求下列圆的方程 （1）若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程； （2）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． 知识点02 判断直线与圆的位置关系 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系 位　置　关　系 相交 相切 相离 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ 代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ 【即学即练】 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 2．已知圆，则直线与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 知识点03 圆的切线方程问题 (1) 圆O的方程为x2＋y2＝r2(r＞0)，点M(x0, y0)．　 若点M在圆O上，则过点M的切线方程为_____________； 若点M在圆O外，则直线x0x＋y0y＝r2与圆O的位置关系是_____________； 若点M在圆O内，则直线x0x＋y0y＝r2与圆O的位置关系是_____________． *(2) 过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0, y0)引切线，切点为T，切线长公式为MT＝_____________. 求圆的切线方程 (3) 求过圆上一点(x0, y0 )的圆的切线方程 先求切点与圆心连线所在直线的斜率，当斜率不存在时，切线方程为y＝y0.当斜率存在时，设为k.若k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式方程可求切线的方程为_____________；若k＝0，则切线的方程为_____________. (4) 求过圆外一点(x0, y0)的圆的切线方程 ① 几何法：当切线的斜率存在时，设为k，则切线的方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．若切线的斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0. ② 代数法：当斜率存在时，设为k，则切线的方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，则切线方程 【即学即练】 1．过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．若点在圆上，则过的圆的切线方程为 . 知识点04 求直线与圆相交所得弦长 (1) 几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则_____________ (2) 代数法：直线y＝kx＋b与圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2相交于A(x1, y1), B(x2, y2)两点，联立消去y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2, x1x2，则弦长__________________________ 【即学即练】 1．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为 ． 知识点05 圆与圆位置关系的判别方法 (1) 几何法：若两圆的半径分别为r1, r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判别方法如下： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1, r2的关系 (2) 代数法：设两圆的一般方程为 C1: x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)，　 C2: x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)，　 联立则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 两圆的公共点个数 两圆的位置关系 【即学即练】 1．圆与圆的位置关系是（    ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 2．两圆与的公切线条数为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 题型01 点与圆的位置关系 【典例1】已知点A(2a, a＋1)与圆C: x2＋(y－1)2＝5，求满足下列条件的实数a的取值范围： (1) 点A在圆C内； (2) 点A在圆C上； (3) 点A在圆C外．(见学生用书课堂本P37) 点与圆的位置关系的判别方法 几何法：计算出点到圆心的距离，然后和半径比较．大于半径，点在圆外；等于半径，点在圆上；小于半径，点在圆内． 代数法：直接将点的坐标代入圆的方程的左边，与圆的方程的右边比较大小． 【变式1】点与圆的位置关系是（  ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【变式2】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式3】设，为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定 【变式4】已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)，若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，则a的取值范围为 ． 【变式5】圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为 . 题型02 求圆的方程 【典例1】求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线上且过两点的圆的方程； （2）经过三点的圆的方程． 求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 【变式1】写出过，两点，且半径为4的圆的一个标准方程：________． 【变式2】圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【变式3】已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为______. 【变式4】若以为圆心的圆与圆相切，则圆的方程为_______________. 【变式5】已知圆与轴正半轴和轴正半轴分别交于两点，圆心在第二象限. （1）若圆与轴的另一个交点坐标为，求圆的标准方程； （2）若，求圆的标准方程. 题型03 直线与圆的位置关系 【典例1】已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系 【变式1】已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式2】（多选）已知直线：，圆：，点，则（ ） A. 若在圆上，直线与圆相切 B. 若在圆内，直线与圆相离 C. 若在圆外，直线与圆相离 D. 若在直线上，直线与圆相切 【变式3】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【变式4】若直线：与曲线：有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式5】在平面直角坐标系中，已知点，.若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式6】若圆上到直线的距离等于的点恰有3个，则实数a的值为___________. 题型04 圆与圆的位置关系 【典例1】已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2, 1)． (1) 若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程； (2) 若圆O2与圆O1交于点A, B，且AB＝2，求圆O2的方程． 根据圆与圆的位置关系求参数范围 根据两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆位置关系可得圆心距和两圆半径之间的关系（几何法），由此可构造方程或不等式求得结果. 【变式1】已知两圆和无公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【变式2】已知圆和圆外切，则_____ 【变式3】已知点，若圆上存在点满足3，则实数的取值范围是 _____． 【变式4】已知圆：，圆：. （1）若两圆相交，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 题型05 与圆有关的最值问题 【典例1】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求： (1) 的最大值和最小值； (2) y－x的最大值和最小值； (3) x2＋y2的最大值和最小值． 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： (1) 形如u＝的最值问题，可转化为过点(x，y)和点(a，b)的动直线斜率的最值问题； (2) 形如l＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题； (3) 形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 【变式1】若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝上任意一点，则P(x，y)到原点的距离的最大值为______,最小值为______． 【变式2】（多选）瑞士著名数学家欧拉提出定理：任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，作△ABC, AB＝AC＝4，点B(－1, 3), C(4, －2)，且其“欧拉线”与圆M: (x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论中正确的有( ) A. 圆M上的点到直线x－y＋3＝0的距离最小为2 B. 圆M上的点到直线x－y＋3＝0的距离最大为3 C. 若点(x, y)在圆M上，则x＋y的最小值是3－2 D. 若圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8与圆M有公共点，则实数a的取值范围是[1－2， 1＋2] 【变式3】设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4】直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【变式5】若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是__________． 题型06 与圆有关的轨迹问题 【典例1】点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 求轨迹方程的常见方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点法：由相关点法求轨迹方程时，先设所求曲线上一点的坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果．有时也需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果． 【变式1】点为圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【变式2】已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 【变式3】已知P是圆C: (x－3)2＋y2＝4上的一个动点，点A(－3, 0), M是线段AP的中点，求点M的轨迹方程． 题型07 圆的综合性问题 【典例1】已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 【变式1】已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为． （1）求圆C方程； （2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【变式2】已知圆M：，圆N：，过圆M的圆心M作圆N的切线，切线长为5． （1）求m的值，并判断圆M与圆N的位置关系； （2）过圆N的圆心N作圆M的切线l，求l的方程． 【变式3】长为4的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程，并说明其形状； （2）过点作两条直线分别与曲线C交于P、Q两点，若直线MP，MQ的斜率之积为，线段PQ的中点为D，求证：存在定点E，使得为定值，并求出此定值． 【变式4】已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，当时，求实数的值； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 1．以点，为直径端点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 2．若方程表示的曲线是圆，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3．若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ） A. 0或4 B. 0或3 C. 或6 D. 或 4．从圆外一点向圆引切线，则此切线的长是（ ） A. B. 2 C. D. 5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6．过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 7．（多选）已知圆：，直线：．圆上恰有个点到直线的距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8．（多选）已知圆C：，直线l：.下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 圆C被y轴截得的弦长为 C. 直线l被圆C截得弦长存在最大值，此时直线l的方程为 D. 直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为 9．（多选）已知点在直线：上，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. 存在点，使得四边形为菱形 B. 四边形的面积最小值为 C. 的外接圆恒过两个定点 D. 原点到直线的距离不超过 10．已知圆，圆，过点两条互相垂直的直线，，其中与圆交于A，B，与圆交于C，D，且，则为__________． 11．已知是直线上一动点，，是圆的两条切线，A，B是切点，若四边形的最小面积是，则k的值为__________． 12．已知P是直线l：上一点，M，N分别是圆：和：上的动点，则的最小值是为__________． 13．已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线'与圆相交于两点． （1）求圆的标准方程； （2）当时，求直线'的方程． 14．已知圆过点，且与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程； （3）在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆与方程 教学目标 1. 掌握圆方程的两种形式并会互化，会判断圆的一般方程成立的条件，理解两种形式的特点． 2. 了解直线与圆、圆与圆的几种位置关系，掌握直线与圆、圆与圆位置关系的性质的代数和几何表现形式． 3. 会用几何法或代数法处理直线与圆、圆与圆的几种位置关系． 4.通过对实例的探究，体会分类讨论、数形结合、转化归类的思想，发展观察、分析、概括和运算的能力． 教学重难点 1.重点 理解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及其综合应用． 2.难点 理解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及其综合应用． 知识点01 求圆的方程的两种方法 求圆的方程的两种方法 ① 直接法：根据圆的几何性质，求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程． ② 待定系数法： a. 根据题意选择标准方程或一般方程； b. 根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组(一般是3个方程)； c. 解出a, b, r或D, E, F，代入标准方程或一般方程． (2) 确定圆心位置的方法 ① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上． ② 圆心在圆的任意弦的垂直平分线(三角形外接圆的圆心在该三角形边的中垂线)上． ③ 两圆相切时，切点与两圆圆心共线． ④ 两圆相交时，两圆圆心在公共弦的中垂线上． 提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质能有效简化运算． (3) 几个注意点 ① 注意问题成立的前提条件：解决圆的方程问题的关键是“圆心”和“半径”．对于圆的一般方程，一定要注意其隐含条件，即D2＋E2－4F>0，否则易造成增解；对于求两圆的公共弦所在直线，一定要先确定两圆的位置关系是相交． ② 注意情况分析清楚：有关圆的方程的问题在求解的过程中要特别注意漏解的情况，由于决定圆的方程的条件一般是圆心和半径，但符合条件的圆往往不止一个，因此要特别注意多解的产生．利用几何关系判断的时候，会忽视对称的情况，从而造成漏解． ③ 注意结论是否能够成立：得出结论后要注意检验，在某些情况下得出结论不一定符合题目的条件． 【即学即练】 1．已知O为原点，点为圆心，以为直径的圆的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知求出圆的半径，然后根据圆的标准方程即可求解. 【解析】由题意可得圆心坐标，半径为， 则圆的方程为，即为， 故选：C. 2．求下列圆的方程 （1）若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程； （2）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由对称性确定圆心为，由此可得圆的标准方程； （2）由圆心在直线垂直平分线上，直线与直线垂直，可求得圆心的坐标，并利用两点间距离公式求得半径，由此可得圆的标准方程. 【解析】（1）点关于直线对称的点为， 圆是以为圆心，为半径的圆，圆的标准方程为. （2）两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上； ，中点为，的垂直平分线方程为； 直线与圆相切于点，直线与直线垂直， ，直线方程为：，即； 由得：，圆心，半径， 圆的标准方程为. 知识点02 判断直线与圆的位置关系 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系 位　置　关　系 相交 相切 相离 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 【即学即练】 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】B 【分析】直接由直线与圆的位置关系的解法得出答案. 【解析】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 则直线与圆相切， 故选：B. 2．已知圆，则直线与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【分析】由直线与圆的方程可知，该直线有定点在圆内，即可得其位置关系. 【解析】可化为， 即该圆圆心为，半径为， 由可得该直线过定点， 有，即该定点必在圆内， 故两者位置关系为相交. 故选：A. 知识点03 圆的切线方程问题 (1) 圆O的方程为x2＋y2＝r2(r＞0)，点M(x0, y0)．　 若点M在圆O上，则过点M的切线方程为x0x＋y0y＝r2； 若点M在圆O外，则直线x0x＋y0y＝r2与圆O的位置关系是相交； 若点M在圆O内，则直线x0x＋y0y＝r2与圆O的位置关系是相离． *(2) 过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0, y0)引切线，切点为T，切线长公式为MT＝. 求圆的切线方程 (3) 求过圆上一点(x0, y0 )的圆的切线方程 先求切点与圆心连线所在直线的斜率，当斜率不存在时，切线方程为y＝y0.当斜率存在时，设为k.若k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式方程可求切线的方程为y＝－(x－x0)＋y0；若k＝0，则切线的方程为x＝x0. (4) 求过圆外一点(x0, y0)的圆的切线方程 ① 几何法：当切线的斜率存在时，设为k，则切线的方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．若切线的斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0. ② 代数法：当斜率存在时，设为k，则切线的方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，则切线方程 【即学即练】 1．过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 【解析】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 2．若点在圆上，则过的圆的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用垂直直线的斜率关系和直线方程相关概念直接求解. 【解析】因为点在圆上， 所以过的圆的切线方程和垂直， 因为，，所以，所以切线方程斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为： 知识点04 求直线与圆相交所得弦长 (1) 几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2. (2) 代数法：直线y＝kx＋b与圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2相交于A(x1, y1), B(x2, y2)两点，联立消去y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2, x1x2，则弦长AB＝. 【即学即练】 1．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弦长公式即可求得结果. 【解析】圆C的圆心为，半径为3，圆心到直线l的距离， 所以直线l被圆C截得的弦长为. 故选：D 2．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值. 【解析】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故答案为： 知识点05 圆与圆位置关系的判别方法 (1) 几何法：若两圆的半径分别为r1, r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判别方法如下： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1, r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 r1－r2< d<r1＋r2 d＝r2－r1 d<r2－r1 (2) 代数法：设两圆的一般方程为 C1: x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)，　 C2: x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)，　 联立则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相切 内切或外切 内含或外离 【即学即练】 1．圆与圆的位置关系是（    ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【分析】根据两圆的方程确定圆心坐标和半径，判断圆心距离和两圆半径的关系，即可知圆的位置关系. 【解析】由题设，，， ∴，；，， ∴，故两圆相切. 故选：C 2．两圆与的公切线条数为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】根据两圆的标准方程，可得它们的圆心坐标和半径大小，从而得到两圆的圆心距等于，恰好等于两圆的半径之和，由此可得两圆位置关系是外切，进而求出结果． 【解析】由题意，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为； 所以，且，所以， 所以两圆外切，此时两圆有且仅有3条公切线． 故选:C． 题型01 点与圆的位置关系 【典例1】已知点A(2a, a＋1)与圆C: x2＋(y－1)2＝5，求满足下列条件的实数a的取值范围： (1) 点A在圆C内； (2) 点A在圆C上； (3) 点A在圆C外．(见学生用书课堂本P37) 【答案】(1)(－1, 1)；(2) {－1, 1}；(3)(－∞， －1)∪(1, ＋∞) 【分析】根据条件列出不等式或等式，求解即可得到a的取值范围． 【解析】(1) 因为点(2a, a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以(2a)2＋[(a＋1)－1]2<5，解得－1＜a＜1.因此，实数a的取值范围是(－1, 1)． (2) 因为点(2a, a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5上，所以(2a)2＋[(a＋1)－1]2＝5，解得a＝－1或a＝1.因此，实数a的取值集合是{－1, 1}． (3) 因为点(2a, a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，所以(2a)2＋[(a＋1)－1]2>5，解得a＜－1或a＞1.因此，实数a的取值范围是(－∞， －1)∪(1, ＋∞)． 点与圆的位置关系的判别方法 几何法：计算出点到圆心的距离，然后和半径比较．大于半径，点在圆外；等于半径，点在圆上；小于半径，点在圆内． 代数法：直接将点的坐标代入圆的方程的左边，与圆的方程的右边比较大小． 【变式1】点与圆的位置关系是（  ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可. 【解析】由圆心， 可得， 所以在外. 故选：A 【变式2】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【解析】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 【变式3】设，为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系，求得满足的关系式，结合点与圆位置关系的判断方法，判断即可. 【解析】根据题意，即，故点在圆外. 故选：B. 【变式4】已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)，若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，则a的取值范围为 ． 【答案】(3，) 【分析】根据点P与Q与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【解析】由已知，得圆心N(5,6)． ∵|PN|＝＝， |QN|＝＝3， ∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， ∴a的取值范围是3<a<，即a∈(3，)． 故答案为：(3，) 【变式5】圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为 . 【答案】 【分析】先设圆心为，由题中条件，求出圆的方程，根据点与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【解析】设圆心为，由得， 所以， 则半径， 故圆的方程为， 又在圆内， 所以，解得. 故答案为：. 题型02 求圆的方程 【典例1】求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线上且过两点的圆的方程； （2）经过三点的圆的方程． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据 M，N 两点和圆坐标关系代入圆的方程，求解未知数即可； （2）将A,B,C 三点坐标代入圆方程求解未知数即可； 【解析】（1）设圆的一般方程为， 其中,圆心坐标为, 因为圆心在直线上且过两点， 所以， 解得， 所以圆的一般方程为， 所以圆的标准方程为； （2）设圆的一般方程为， 其中, 因为经过三点， 所以， 解得， 所以圆的一般方程为， 所以圆的标准方程为； 求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 【变式1】写出过，两点，且半径为4的圆的一个标准方程：________． 【答案】（或） 【分析】设所求圆的标准方程为：，代入，两点的坐标求解即可. 【解析】设所求圆的标准方程为：， 则有， 解得或， 所以所求圆的标准方程为：或. 故答案为：或. 【变式2】圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由圆与直线相切可求得r的值，进而可求得圆的方程. 【解析】由题意知，， 所以所求圆的方程为. 故选：B. 【变式3】已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为______. 【答案】 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心关于直线的对称点，从而可得的坐标，进而可求出圆的方程. 【解析】由，得圆心，半径为2， 根据题意设圆心关于直线的对称点，则 ，解得，即， 所以圆的方程为， 故答案为： 【变式4】若以为圆心的圆与圆相切，则圆的方程为_______________. 【答案】或 【分析】分外切、内切两种情况，利用圆心之间的距离和半径之间的关系求解即可. 【解析】两圆的圆心之间的距离为. 当两圆外切时，圆的半径为； 当两圆内切时，圆的半径为. ∴圆的方程为或. 故答案为：或. 【变式5】已知圆与轴正半轴和轴正半轴分别交于两点，圆心在第二象限. （1）若圆与轴的另一个交点坐标为，求圆的标准方程； （2）若，求圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意确定圆心在直线上，再确定圆心在直线的垂直平分线上，联立求得圆心，可得半径，即可求得答案； （2）由题意确定圆心在直线上，再确定圆心在在上，联立求得圆心，可得半径，即可求得答案； 【解析】（1）由题意知，圆上，故圆心在直线上， 又直线的斜率为，故其垂直平分线方程为， 令得，即圆心为，则半径为 ， 所以圆的标准方程为； （2）由（1）可知，圆心在的垂直平分线上， 又因为，则圆心在上， 联立 ，由于圆心在第二象限，解得，（舍去）， 故圆心为，则半径为 故圆的标准方程为； 题型03 直线与圆的位置关系 【典例1】已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 【答案】（1）m>0或m<－；（2）m＝0或m＝－；（3）－<m<0 【分析】运用几何法：圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系决定了直线与圆的位置关系；方程法：将直线方程和圆的方程联立方程组，方程组解的个数决定了直线与圆的位置关系． 【解析】方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2,1)，半径r＝2. 圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝ . (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系 【变式1】已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】将圆的方程化为标准式，确定圆心坐标、半径，结合直线与圆的相离关系，应用点线距离公式即可得范围. 【解析】由，则， 所以，圆心为，半径为， 由直线与圆相离，故，可得， 综上，. 故选：C 【变式2】（多选）已知直线：，圆：，点，则（ ） A. 若在圆上，直线与圆相切 B. 若在圆内，直线与圆相离 C. 若在圆外，直线与圆相离 D. 若在直线上，直线与圆相切 【答案】ABD 【分析】根据点与圆的位置关系，得的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得得的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项. 【解析】圆C：，圆心，半径 对于A，若在圆上，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相切，故A正确； 对于B，若在圆内，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相离，故B正确； 对于C，若在圆外，则，圆心到直线的距离为：，直线与圆相交，故C错误； 对于D，若在直线上，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相切，故D正确. 故选：ABD. 【变式3】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】根据光反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率. 【解析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点， 设反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线方程为，即， 又由反射光线与圆相切，可得， 整理得，解得或. 故选：D. 【变式4】若直线：与曲线：有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】直线恒过定点，曲线表示右半圆，画出草图可得有两个交点，需求临界相切时的斜率（1个交点）与临界过点A的直线的斜率（2个交点）. 【解析】∵直线l： 恒过定点 曲线C： 即： ∴曲线C表示：以（1，1）为圆心，1为半径的的那部分圆. ∵直线l与曲线C有两个交点， ∴如图所示， 当过点M的直线与图中这部分圆相切时有1个交点， 此时 解得： 当过点M的直线也过点 时有2个交点， 此时 ∴ 故选：B. 【变式5】在平面直角坐标系中，已知点，.若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据，可得到关于点的轨迹方程，由已知可得直线与圆由公共点，列出不等式可求出的范围. 【解析】设，因为，，， 所以， 整理得，所以点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆 因为，直线上存在点，使得，所以直线与圆相交或相切. 所以，，解得. 故选：D 【变式6】若圆上到直线的距离等于的点恰有3个，则实数a的值为___________. 【答案】或 【分析】设圆心到直线的距离为，由题意有， 利用点到直线距离公式列出等式即可求解. 【解析】圆，即， 所以圆C的圆心坐标为，半径， 因为圆上到直线距离等于的点恰有3个， 设圆心到直线的距离为，则， 即，解得或， 故答案为：或 题型04 圆与圆的位置关系 【典例1】已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2, 1)． (1) 若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程； (2) 若圆O2与圆O1交于点A, B，且AB＝2，求圆O2的方程． 【答案】(1)(x－2)2＋(y－1)2＝12－8；(2)(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20 【分析】(1)根据圆与圆的位置关系，求出圆O2的半径即可写出圆O2的方程．(2)写出圆O2的方程，两圆作差可得两圆公共弦AB所在直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆O2的半径即可求解． 【解析】设圆O1, O2的半径分别为r1, r2. (1)由两圆外切可知O1O2＝r1＋r2，所以r2＝O1O2－r1＝2(－1)， 故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8. (2)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r， 两圆的方程相减即得两圆公共弦AB所在直线的方程为4x＋4y＋r－8＝0. 过点O1作O1H⊥AB于点H，则AH＝AB＝， 所以O1H＝＝. 由圆心(0, －1)到直线4x＋4y＋r－8＝0的距离为＝， 解得r＝4或r＝20， 故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. 根据圆与圆的位置关系求参数范围 根据两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆位置关系可得圆心距和两圆半径之间的关系（几何法），由此可构造方程或不等式求得结果. 【变式1】已知两圆和无公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由两圆和无公共点，可得两圆外离或内含，从而可得答案. 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 设圆心距为，则， 因为两圆和无公共点， 所以两圆外离或内含， 则或， 即或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式2】已知圆和圆外切，则_____ 【答案】 【分析】根据两圆外切列方程，化简求得. 【解析】圆的圆心为，半径为. 圆的圆心为，半径为. 圆心距为， 由于两个圆外切，所以. 故答案为： 【变式3】已知点，若圆上存在点满足3，则实数的取值范围是 _____． 【答案】 【分析】由已知求出的轨迹为圆，再由圆与圆的位置关系列不等式求解实数的范围． 【解析】设，则 若3，则即 ∴的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆， 若圆上存在点满足3， 则圆和圆有公共点， 解得： ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 【变式4】已知圆：，圆：. （1）若两圆相交，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ；（2）存在， 【分析】（1）由圆与圆的位置关系求解即可；（2）由点直线的距离结合勾股定理求解即可 【解析】（1）由题意，得，半径，，半径， 因为两圆相交，所以， 所以， 即，解得， 又因为， 所以， 故的取值范围为. （2）两圆的公共弦所在直线方程为， 假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2， 因为，半径， 所以点到直线的距离， 又因为， 所以， 解得， 因为， 所以. 题型05 与圆有关的最值问题 【典例1】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求： (1) 的最大值和最小值； (2) y－x的最大值和最小值； (3) x2＋y2的最大值和最小值． 【答案】（1）最大值为，最小值为－；（2）最大值为－2＋，最小值为－2－；（3）最大值为7＋4，最小值为7－4 【分析】（1）转化为直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值求解即可； （2） 直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值求解即可；（3）x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方求解即可。 【解析】 原方程表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆． (1) 设＝k，即y＝kx，则当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时＝，解得k＝±，故的最大值为，最小值为－. (2) 设y－x＝b，即y＝x＋b，则当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值， 此时＝，解得b＝－2±， 故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3) x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方．由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4. 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： (1) 形如u＝的最值问题，可转化为过点(x，y)和点(a，b)的动直线斜率的最值问题； (2) 形如l＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题； (3) 形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 【变式1】若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝上任意一点，则P(x，y)到原点的距离的最大值为______,最小值为______． 【答案】最大值，最小值. 【分析】先求出原点到圆心的距离，从而可求圆上的动点到原点距离的最值. 【解析】原点到圆心)的距离，圆的半径为， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为，最小距离为. 故答案为：最大值，最小值 【变式2】（多选）瑞士著名数学家欧拉提出定理：任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，作△ABC, AB＝AC＝4，点B(－1, 3), C(4, －2)，且其“欧拉线”与圆M: (x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论中正确的有( ) A. 圆M上的点到直线x－y＋3＝0的距离最小为2 B. 圆M上的点到直线x－y＋3＝0的距离最大为3 C. 若点(x, y)在圆M上，则x＋y的最小值是3－2 D. 若圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8与圆M有公共点，则实数a的取值范围是[1－2， 1＋2] 【答案】ACD 【分析】由题意结合“欧拉线”概念可得△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，结合直线方程的知识可得线段BC的垂直平分线的方程，由直线与圆相切可得圆M的方程．由圆心到直线的距离可判断A和B；令z＝x＋y，由直线与圆相切可得z的最值，即可判断C；由圆与圆的位置关系即可判断D. 【解析】由AB＝AC可得△ABC的外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线， 由点B(－1, 3)，点C(4, －2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率kBC＝＝－1， 所以线段BC的垂直平分线的斜率为1， 从而线段BC的垂直平分线的方程为y－＝x－，即x－y－1＝0. 又圆M: (x－3)2＋y2＝r2的圆心坐标为(3, 0)，半径为r， 所以点(3, 0)到直线x－y－1＝0的距离为＝＝r， 所以圆M: (x－3)2＋y2＝2. 对于A和B，圆M的圆心(3, 0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝3，所以圆上的点到直线x－y＋3＝0的最小距离为3－＝2，最大距离为3＋＝4，故A正确，B错误． 对于C，令z＝x＋y，即x＋y－z＝0.当直线x＋y－z＝0与圆M相切时，圆心(3, 0)到直线的距离为＝，解得z＝3＋2或z＝3－2，则x＋y的最小值是3－2，故C正确． 对于D，圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8的圆心坐标为(a＋1, a)，半径为2.若该圆与圆M有公共点，则2－≤≤2＋，即2≤(a－2)2＋a2≤18，解得1－2≤a≤1＋2，故D正确 【变式3】设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，然后根据可表示点与点连线斜率，利用数形结合法求解. 【解析】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示： 可表示点与点连线斜率 当直线与圆相切时：设直线方程为，即 圆心到直线距离， 解得或， 又，所以， 当直线经过点时，， 综上 故选：B. 【变式4】直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由曲线，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），然后根据直线与半圆的位置关系，利用数形结合法求解. 【解析】曲线，即， 表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）， 如图， 设、、， 当直线经过点A时，， 当直线经过点、点时，，此时有2个公共点，不符合题意； 所以当时，直线与曲线有一个公共点； 当直线和半圆相切时， 则圆心到直线的距离等于半径， 即，求得或（舍去）， 即时，只有一个公共点，符合题意， 综上得，实数的取值范围为或， 故选：D． 【变式5】若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据题意确定出动点的轨迹，利用数形结合，转化为原点与线段上动点的距离的平方求解即可. 【解析】由直线方程可知两直线斜率相等，所以， 由平行线的几何性质知的轨迹为平行于且与等距离的直线， 故直线方程为， 又点在圆上及圆的内部，故的轨迹是如图所示的线段，如图， 即原点和距离的平方．由图可知，，，， 故答案为： 题型06 与圆有关的轨迹问题 【典例1】点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【答案】（1）(x－1)2＋y2＝1；（2）x2＋y2－x－y－1＝0 【分析】（1）设出点M坐标，找到要求点M与已知点P的关系，代入已知点P满足的关系式由题意计算即可得.（2）设出点N(x，y)，直接根据题目提供的条件列出方程化简整理即得 【解析】(1)设线段AP的中点M(x，y)， 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2,2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 求轨迹方程的常见方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点法：由相关点法求轨迹方程时，先设所求曲线上一点的坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果．有时也需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果． 【变式1】点为圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由圆的切线性质，结合已知有和圆心的距离恒为，设即可写出的轨迹方程. 【解析】∵， ∴点和圆心的距离恒为，又圆心，设， ∴由两点间的距离公式，得. 故选：B 【变式2】已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出点坐标，由题意计算即可得. 【解析】设，由，故， 化简得：，故P的轨迹方程为. 故答案为： 【变式3】已知P是圆C: (x－3)2＋y2＝4上的一个动点，点A(－3, 0), M是线段AP的中点，求点M的轨迹方程． 【答案】x2＋y2＝1. 【分析】设点M的坐标为(x, y)，根据条件寻求x与y的关系式． 【解析】设M(x, y)为所求轨迹上的任意一点，点P的坐标为(x1, y1)， 则(x1－3)2＋y＝4.　① 因为M是线段AP的中点，所以 即代入①式得x2＋y2＝1. 故点M的轨迹方程为x2＋y2＝1. 题型07 圆的综合性问题 【典例1】已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析. 【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案； （ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【解析】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a， 又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：. （2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点， 所以，即k的取值范围是. （ⅱ）设，由根与系数的关系：， 所以. 即直线OA,OB斜率之和为定值. 【变式1】已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为． （1）求圆C方程； （2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析． 【分析】（1）设圆C的方程为，圆C与y轴相切，则，圆心C在射线上，所以，根据弦长公式得，解方程组即可得结果； （2）依题意得在线段的中垂线上，则，根据斜率关系即可求出参数值． 【解析】（1）设圆C的方程为 圆心C在射线上，所以 圆C与y轴相切，则 点到直线的距离 ， 由于截直线所得弦长为，所以 则得，又 所以(舍去)， 故圆C的方程为； （2）假设m存在，由（1）得，因为， 所以在线段的中垂线上，则， 因为，所以 解得； 当时，直线方程为即， 圆心到该直线的距离，该直线与圆相离，不合题意； 所以不存在实数m满足题干要求. 【变式2】已知圆M：，圆N：，过圆M的圆心M作圆N的切线，切线长为5． （1）求m的值，并判断圆M与圆N的位置关系； （2）过圆N的圆心N作圆M的切线l，求l的方程． 【答案】（1），圆M与圆N相交 （2）或， 【分析】（1）先用配方法确定圆的圆心和半径，然后根据切线长公式计算出m的值，再根据圆心距和半径之间的大小关系判断位置关系；（2）过圆外一点可作圆的两条切线，在我们求解的过程中需要对直线的斜率是否存在进行讨论. 【解析】（1）由题意知，，，圆N的半径， 由勾股定理得， 即， 解得． 所以，，，． 因为，所以圆M与圆N相交； （2）当l的斜率不存在时，l的方程为．检验知满足相切. 当l的斜率存在时，设l的方程为，即， 因为l与圆M相切，所以，解得， 所以l的方程为，即． 综上所述，l的方程为或， 【变式3】长为4的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程，并说明其形状； （2）过点作两条直线分别与曲线C交于P、Q两点，若直线MP，MQ的斜率之积为，线段PQ的中点为D，求证：存在定点E，使得为定值，并求出此定值． 【答案】（1），是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； （2）证明见解析，此定值为． 【分析】（1）利用几何法直接求出轨迹方程，进而判断出形状；（2）设直线方程为与联立求出，由的斜率为，同理求出.根据对称性可知，判断出过. 由直角三角形的性质判断出为的中点为定值. 【解析】（1）∵，P为线段AB中点， ∴，设，则，即. 则曲线C是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； （2） 根据题意，直线MP的斜率存在且不为0，MP设斜率为k， 则直线方程为代入中，整理得， 故，，即， 因为直线，的斜率之积为，所以的斜率为，同理：. 根据对称性可知，直线所过定点在轴上， 不妨令，得， 此时，即过， 则，所以过定点. 连接，在圆O中，由垂径定理可得：. 当D、F不重合时，即，所以为直角三角形，取的中点，则． 当D、F重合时，取的中点，则也成立． 故存在定点E，使得为定值，此定值为 【变式4】已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，当时，求实数的值； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）设圆的方程为，根据直线与圆相切于点列方程组求解； （2）求出圆心到直线的距离为，求出； （3）求出，设直线的斜率为，求出直线的方程，联立直线与圆的方程，求出点的坐标，求出点的坐标，求出点和点的坐标，求出、的表达式，即可求出得表达式，根据基本不等式求出的最大值. 【解析】（1）由题可知，设圆的方程为， 由直线与圆相切于点， 得，解得， 所以圆的方程为； （2）设圆心到直线的距离为， 因为，所以， 所以， 解得； （3）由题意知，， 设直线的斜率为， 则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为， 同理可得：点的坐标为， 由题可知：， ， 又， 同理，， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 1．以点，为直径端点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】求得圆心和半径，从而求得圆的方程. 【解析】的中点坐标为，即圆心为， ，所以圆的半径为， 所以圆的方程为. 故选：D 2．若方程表示的曲线是圆，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列式可解得结果. 【解析】因为方程表示的曲线是圆， 所以，即， 解得. 故选：D 3．若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ） A. 0或4 B. 0或3 C. 或6 D. 或 【答案】A 【分析】根据直线被圆所截得的弦长为，利用“”法求解. 【解析】由圆的方程可知，圆心坐标为，半径． 又直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离． 又，所以， 解得或． 4．从圆外一点向圆引切线，则此切线的长是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【分析】利用勾股定理可求切线长. 【解析】 设切点为，圆心为，连接，则， 而， 故选：B 5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】设所求圆的圆心坐标为(a，b)，根据与x轴相切，可得b值，根据两圆内切，圆心距等于半径差，列出方程，可得a值，即可得答案. 【解析】设所求圆的圆心坐标为(a，b)， 因为圆与x轴相切，所以b＝6=r， 因为两圆内切， 所以圆心距，解得， 故所求圆的方程为. 故选：D 6．过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】求出点P的轨迹为圆，再由圆心到直线的距离减去半径即可得出最小值. 【解析】∵过圆C: 外一点向圆C引两条切线， 切点分别为A，B，由PA⊥PB可知，四边形CAPB为边长为1的正方形，所以， 所以点的轨迹E是以C(1,0)为圆心，为半径的圆， 圆心到直线的距离， 所以点P到直线的最短距离为， 故选：B 7．（多选）已知圆：，直线：．圆上恰有个点到直线的距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【分析】由圆上恰有个点到直线的距离为可确定圆心到直线距离为，由此构造方程求得结果. 【解析】由圆的方程知：圆心，半径； 圆上恰有个点到直线的距离为，圆心到直线的距离， 即，解得：或. 故选：BC. 8．（多选）已知圆C：，直线l：.下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 圆C被y轴截得的弦长为 C. 直线l被圆C截得弦长存在最大值，此时直线l的方程为 D. 直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为 【答案】BD 【分析】对A，将直线整理为，联立方程即可求出定点；对B，令即可求出；对C，根据直线不过圆心可判断；对D，根据直线垂直于圆心到定点连线可求. 【解析】将直线l方程整理为，由，解得.则无论m为何值，直线l恒过定点，故A不正确； 令，则，解得，故圆C被y轴截得的弦长为，故B正确； 无论m为何值，直线l不过圆心，即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，故C错误； 当截得的弦长最短时，此时直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为，即，故D正确. 故选：BD. 9．（多选）已知点在直线：上，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. 存在点，使得四边形为菱形 B. 四边形的面积最小值为 C. 的外接圆恒过两个定点 D. 原点到直线的距离不超过 【答案】BCD 【分析】由到直线距离结合已知条件可判断AB；由点共圆以及点求出直线，利用点到直线的距离可判断CD 【解析】对于A：当四边形为菱形时，， 则， 又到直线的距离为， 所以不存在点，使得四边形为菱形，故A错误； 对于B：由A可知，， 所以四边形的面积， 所以四边形的面积最小值为，故B正确； 对于C：设，由图象可知四点在以为直径的圆上， 圆的方程为， 即， 令，解得或， 所以的外接圆恒过两个定点，故C正确； 对于D：过的圆的方程为， 由得直线的方程为：， 则原点到直线的距离为 ，故D正确； 故选：BCD. 10．已知圆，圆，过点两条互相垂直的直线，，其中与圆交于A，B，与圆交于C，D，且，则为__________． 【答案】 【分析】首先写出过定点的两条直线方程，并求得圆心到对应直线的距离，结合弦长公式，，以及，列式求直线的斜率，最后求弦长的值. 【解析】设，到直线AB，CD的距离分别为，， 若过定点的直线分别为和，则，不满足条件， 当两直线的斜率都存在时，设直线，斜率分别为，，则， 直线，方程分别为，， 由点到直线距离公式可得： ,， 又，， 整理可得， 所以． 故答案为： 11．已知是直线上一动点，，是圆的两条切线，A，B是切点，若四边形的最小面积是，则k的值为__________． 【答案】 【分析】先由圆的方程求出圆的半径，而由圆的性质知：，当直线垂直于直线时，四边形的面积最小，即可求出切线长，从而得到是圆心到直线的距离，即可得到的值． 【解析】圆的圆心，半径， 由圆的性质知：，因为，是切线长， 而，所以当直线垂直于直线时， 四边形的面积最小，此时， 圆心到直线的距离就是的最小值，即，而， 故答案为：． 12．已知P是直线l：上一点，M，N分别是圆：和：上的动点，则的最小值是为__________． 【答案】 【分析】先由两圆的标准方程，求出圆心和半径，然后判断两圆与直线l的位置关系，求出圆心关于直线l：的对称点，则当M，N，P三点共线且经过两圆圆心时，取最小值，求解即可. 【解析】圆：，则圆心，， 圆：，则圆心，， 因为，则两圆心在直线l的同侧. 又圆心到直线l的距离， 圆心到直线l的距离， 则两圆在直线l的同侧且与直线相离， 圆心关于直线l：的对称点为， 则，解得，， 所以， 则当M，N，P三点共线且经过两圆圆心时，取最小值， 所以的最小值为. 故答案为： 13．已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线'与圆相交于两点． （1）求圆的标准方程； （2）当时，求直线'的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【分析】(1)根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求出圆的半径，结合圆心即可求出圆的方程； (2)如图取的中点Q，连接AQ，则，结合点直线的距离公式和几何法求弦长可得，根据直线斜率存在和不存在分类讨论，即可求解. 【解析】（1）设圆A的半径为r，由题意知， 圆心到直线l的距离为，即， 所以圆A的方程为； （2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即， 点A到直线的距离为1，此时，符合题意； 当直线与x轴不垂直时，设，即， 取的中点Q，连接AQ，则， 因为，所以， 又点A到直线的距离为， 所以，解得，所以直线方程为. 综上，直线的方程为或. 14．已知圆过点，且与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程； （3）在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在点或，使为正三角形 【分析】（1）设圆心为，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径，由此可得圆的方程； （2）由等腰直角三角形性质可知圆心到直线的距离；分别在直线斜率不存在和存在的情况下，根据构造方程求得结果； （3）由等边三角形性质可知，设，利用两点间距离公式可构造方程求得，进而得到点坐标 【解析】（1）设圆心坐标为，则，解得：， 圆的半径， 圆的方程为：. （2）为直角三角形，，， 则圆心到直线的距离； 当直线斜率不存在，即时，满足圆心到直线的距离； 当直线斜率存在时，可设，即， ，解得：， ，即； 综上所述：直线的方程为或. （3）假设在直线存在点，使为正三角形，，， 设，，解得：或， 存在点或，使为正三角形. 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$