16.1.2　幂的乘方与积的乘方 课件-2025-2026学年人教版2024八年级数学上册

16.1.2　幂的乘方与积的乘方 1.理解并掌握幂的乘方法则. 2.会运用幂的乘方法则进行幂的乘方的运算. 学习目标 3.了解并掌握积的乘方的法则，熟练运用幂的乘方的运算法则进行实际计算. 4.掌握积的乘方的运算法则的推导. 5.体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用. 探究二： 填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？ （1）(ab)2=(ab)•(ab)=(a•a)•(b•b)=a( )b( ) （2）(ab)3= = =a( )b( ) 2 2 (ab)•(ab)•(ab) (a•a•a)•(b•b•b) 3 3 那么，(ab)n=？（n为正整数） 新知探究 思考：积的乘方(ab)n =? (ab)n 即：(ab)n=anbn (n为正整数) =(ab)· (ab)· ··· ·(ab) =(a·a···a)·(b·b···b) =anbn n个ab n个a n个b 新知探究 积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (ab)n =anbn（n为正整数） 积的乘方法则： 推广：三个或三个以上的积的乘方等于什么？ (abc)n = anbncn （n为正整数） 新知探究 积的乘方的性质可以逆用，即anbn= (ab)n（n为正整数）. 重点： (1)在积的乘方中，底数中的a，b可以是单项式，也可以是多项式； (2)在进行积的乘方的运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项. 新知探究 知识点1 幂的乘方 1．计算(x2)3的结果为( ) A．x5    B．x6    C．x8    D．x9 2．下列各式的括号内，应填入b4的是( ) A．b12＝(　)8    B．b12＝(　)6 C．b12＝(　)3    D．b12＝(　)2 B C 3．计算： (1)(105)3;     (2)－(x7)4；       (3)－(xm)3;     (4)(x2n+1)2；        (5)(a3)4·a6;     (6)[(x＋y)2]3. 解：原式＝1015; 解：原式＝－x28； 解：原式＝－x3m; 解：原式＝x4n+2； 解：原式＝a18; 解：原式＝(x＋y)6. 知识点2 幂的乘方的逆运算 4．逆用幂的乘方的运算法则填空： (1)a18＝a2×_____＝(_______)9＝(________)2； (2)a3x＝a3×_____＝(_______)3＝(_______)x. 【变式】思想方法　整体思想已知(am)n＝2，则(an)m＝ ______，(an)3m＝_____，a4mn＝_______． 9 a2 a9 x ax a3 2 8 16 5．(教材习题变式)已知xm＝4，xn＝3，求： (1)x2m；　(2)x3n. 解：(1)x2m＝(xm)2＝42＝16； (2)x3n＝(xn)3＝33＝27. 知识点3 积的乘方 6．计算(ab2)2的结果正确的是( ) A．a2b2    B．a2b4    C．2a2b4    D．2ab2 7．下列运算正确的是( ) A．(2y)3＝6y3    B．(x3y2)2＝x5y4 C．(－2x5)3＝－8x15    D．(x2y)n＝x2nyn+1 B C 8．计算： (1)(3x)4;     (2)(－xy)4；      (3)(－2a2b3)3;     (4)(－3×102)4.     解：原式＝81x4;  解：原式＝x4y4； 解：原式＝－8a6b9; 解：原式＝8.1×109. 0.25 4 2 026 1 11．若k为正整数，则  ＝( ) A．k2k    B．k2k+1    C．2kk    D．k2+k 12．若(a2b3)n＝a4bm，则m，n的值分别是( ) A．m＝3，n＝2    B．m＝6，n＝2     C．m＝5，n＝2    D．m＝3，n＝1 13． (教材习题变式)已知x－3y＋2＝0，则2x＋y·4y－x＝______． B A 4 14．计算： (1)a3·a4·a－(a2)4＋(－3a4)2； 解：原式＝a8－a8＋9a8 ＝9a8；   (2)[3(x＋y)3]2－[2(x＋y)2]3； 解：原式＝9(x＋y)6－8(x＋y)6 ＝(x＋y)6；  15．为了保护生态环境，造纸厂产生的废水排放前必须进行净化．已知某天产生的废水为7.9×106 dm3，正方体储水池的棱长为2×102 dm，请判断这些废水能否一次性注入储水池内净化，并说明理由． 解：能．理由： ∵(2×102)3＝23×106＝8×106(dm3)>7.9×106(dm3)， ∴这些废水能一次性注入储水池内净化． [核心素养：推理能力　运算能力] 16．(教材习题变式)若am＝an(a＞0且a≠1，m，n是正整数)，则m＝n.利用上面的结论解决下面的问题： (1)若2×4x×8x＝221，则x的值为________； (2)如果3a+2·6a+2＝182a-4，求a的值； (3)已知am＝bn＝ab(a＞0，b＞0，a≠1，b≠0，m，n是正整数)，判断m＋n和mn的大小关系． 解：(1)4； (2)∵3a+2·6a+2＝182a-4， ∴(3×6)a+2＝182a-4. ∴18a+2＝182a-4. ∴a＋2＝2a－4，解得a＝6； (3)∵am＝bn＝ab， ∴(am)n＝(ab)n①，(bn)m＝(ab)m②. 由①×②，得(am)n·(bn)m＝(ab)n·(ab)m，即(ab)mn＝(ab)m＋n， ∴mn＝m＋n. (类型1)　化为同指数幂比较 【方法指导】当几个数的指数有公因数时，可化成同指数幂比较大小． 1.在比较216和312的大小时，我们可以这样来处理： ∵216＝(24)4＝164，312＝(33)4＝274，,又∵16＜27，∴164＜274，即216＜312. 你能类似地比较3555，4444与5333的大小吗？ 解：∵3555＝(35)111＝243111，4444＝(44)111＝256111，5333＝(53)111＝125111， 又∵125＜243＜256， ∴125111＜243111＜256111，即5333＜3555＜4444. (类型2)　化为同底数幂比较 【方法指导】当几个数的底数可以化成同一个数的n次方时，可化成同底数幂比较大小． 2.已知a＝8131，b＝2741，c＝961，试比较a，b，c的大小． 解：∵a＝8131＝(34)31＝3124，,b＝2741＝(33)41＝3123，c＝961＝(32)61＝3122， 又∵124＞123＞122， ∴3124>3123>3122，即a>b>c. 运算性质 公式 同底数幂的乘法 幂的乘方 底数不变 底数不变 指数相加 指数相乘 am·an=am+n (am)n=amn 同底数幂的乘法和幂的乘方的联系与区别： 归纳总结 1.填一填：(1) a10 =(a2)(   )=(a5)(  ) (2) 若am =3，那么：a2m = = . 幂的乘方法则的逆用： 想一想：amn可以写成什么形式？ amn = (am)n= (an)m 5 2 (am)2 9 例2：计算： (1)(2a)3; (2)(-5b)3; (3)(xy2)2; (4)(-2x3)4. 解：(1)(2a)3 =23·a3=8a3 ; (2)(-5b)3 =(-5)3·b3=-125b3 ; (3)(xy2)2 =x2·(y2)2=x2y4 ; (4)(-2x3)4 =(-2)4·(x3)4=16x12 . 要把“-”号一并考虑，把“-5”看作一个整体. 典例精析 1.下列计算中，错误的是 ( ) A.[(a＋b)2]3＝(a＋b)6 B.[(a＋b)2]5＝(a＋b)7 C.[(a－b)3]n＝(a－b)3n D.[(a－b)3]2＝(a－b)6 B 随堂检测 2.计算:(ab3)2的结果是( ) A.a2b2 B.a2b3 C.a2b6 D.ab6 3.下列等式错误的是( ) A.(2mn)2=4m2n2 B.(-2mn)2=4m2n2 C.(2m2n2)3=8m6n6 D.(-2m2n2)3=-8m5n5 C D 4.计算： (1); (2) 解:(1)原式= =＝0． (2)原式= 随堂检测 解：(1)(ab)4=a4b4 (2) (3)(-3×102)3=(-3)3×(102)3=-27×106=-2.7×107 (4)(2ab2)3=23·a3·(b2)3=8a3b6 5.计算： (1)(ab)4 (2) (3)(-3×102)3 (4)(2ab2)3 随堂检测 6.计算： (1) (2) 解：原式= = = = 解：原式＝ ． 随堂检测 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方 （am）n=amn (m,n都是正整数） 积的乘方 幂的乘方法则的逆用： amn=(am)n=(an)m 课堂小结 (ab)n=anbn（n为正整数）. 积的乘方法则的逆用： anbn=(ab)n（n为正整数）. 1.(1)已知x2n=3，求(x3n)4的值； (2)已知2x＋5y－3=0，求4x·32y的值. 解：(1)(x3n)4=x12n=(x2n)6=36=729. (2)∵2x＋5y－3=0， ∴2x＋5y=3. ∴4x·32y=(22)x·(25)y=22x·25y=22x＋5y=23=8. 能力提升 2.（1）已知xn＝5，yn＝3，求(－xy)2n的值． （2）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，那么a，b，c是否满足a＋c＝2b的关系？请说明理由． 解：（1）(－xy)2n＝x2n·y2n＝(xn)2·(yn)2＝52×32＝225. （2）满足a＋c＝2b的关系． 理由：由2a＝3，2c＝12，得2a+c＝2a×2c＝3×12＝36． 因为2b＝6， 所以22b＝(2b)2＝62＝36． 所以2a＋c＝22b，即a＋c＝2b． 能力提升 知识点4 积的乘方的逆运算 9．计算：(0.25)2 026×42 026＝(________×_______)_________＝_______． 10．计算：(－ eq \f(5,12))2 026×( eq \f(12,5))2 027＝__________． eq \f(12,5) (3)( eq \f(12,5))2 025×(－ eq \f(5,6))2 027×( eq \f(1,2))2 026. 解：原式＝(－ eq \f(12,5)× eq \f(5,6)× eq \f(1,2))2 025×(－ eq \f(5,6))2× eq \f(1,2) ＝－1× eq \f(25,36)× eq \f(1,2)＝－ eq \f(25,72). $$