5.3.2 第一课时 函数的极值课件-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 明确目标 发展素养 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值． 3.会求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与最大(小)值的关系． 4.会利用导数解决实际问题中(几何体的面积、体积，费用、成本、利润)的最大(小)问题. 1.通过利用导数研究函数单调性、极值的关系，培养逻辑推理、数学运算素养． 2.通过利用导数研究函数的最大(小)值，培养数学运算、逻辑推理素养． 3.通过应用导数解决实际问题，培养数学运算、数学建模素养. 知识点　函数的极值 (一)教材梳理填空 1．极小值、极大值的概念   极小值 极大值 定义 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 _________.我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 .我们把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值 f′(x)<0 f′(x)>0 f′(x)>0 f′(x)<0 第一课时　函数的极值 图象 极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为极值． 续表 极值点 [微提醒] (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值． (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个． (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系． (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． (5)单调函数一定没有极值． 2．求函数y＝f(x)极值的方法 一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是： 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是 ； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是 ． [微提醒]　一般来说，“f′(x0)＝0”是“函数y＝f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y＝f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则点x0不一定是函数y＝f(x)的极值点． 极大值 极小值 2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立 的是 (　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 解析：由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． 答案：D　 题型一　极值的图象特征 【学透用活】 [典例1]　已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x) (　　) A．在(－∞，0)上为减函数 B．在x＝0处取极小值 C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值 [解析]　由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0；x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以函数f(x)在x＝0处取得极大值，x＝2处取得极小值，x＝4处取得极大值，因此选C. [答案]　C [方法技巧] 解决函数极值与函数、导函数图象的关系问题时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，图象在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的； (2)对于函数的图象，重点考查函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点．　　 【对点练清】 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如下，若f(x)在x＝x0处有极值，则x0的值为 (　　) A．－3　　　　　B．0 C．3 D．7 解析：由f′(x)的图象知，x＝0时，f′(0)＝0，－3<x<0时，f′(x)>0,0<x<3时，f′(x)<0，所以0是极值点．虽然有f′(7)＝0，但在7的两侧，f′(x)<0，所以7不是极值点．故选B. 答案：B　 题型二　求已知函数的极值 【学透用活】 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． [典例2]　求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝x－aln x(a∈R)． [解]　(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 10 单调递减 －22 单调递增 [方法技巧] (1)解答本题时应注意f′(x0)＝0只是函数f(x)在x0处有极值的必要条件，只有再加上x0左右导数符号相反，方能断定函数在x0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误． (2)对于可导函数而言，它的单调递减区间和单调递增区间的分界点应是其导数符号正负交替的分界点．解题时，按照求函数极值的步骤，要注意表格的使用，利用表格，可使极值点两边的增减性一目了然，便于求极值．　　 题型三　函数极值的应用 【分类例析】 角度(一)　已知函数在某点处有极值求参数　 [典例3]　已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值． 当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去． 当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)·(x＋3)，当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数．当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数； 所以f(x)在x＝－1时取得极小值．所以a＝2，b＝9. [方法技巧] 已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．　　 角度(二)　利用函数极值解决函数零点(方程根)问题 [典例4]　已知f(x)＝2ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值． (1)求实数a的值； (2)若关于x的方程f(x)＋b＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围． x (－2,0) 0 (0，＋∞) g′(x) ＋ 0 － g(x) ↗ 2ln 2＋b ↘ [方法技巧] (1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标． (2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便． 【对点练清】 1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________. 3．已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围． 解：因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1. 所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3， 由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1. 当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0； 当x>1时，f′(x)>0.所以由f(x)的单调性可知， f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1， 在x＝1处取得极小值f(1)＝－3. 作出f(x)的大致图象及直线y＝m如图所示． 因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个 不同的交点，结合图象可知，m的取值范围是(－3,1)． 三、创新性——强调创新意识和创新思维 如何用二阶导数判断极值？ 能不能用一个简单的条件来判断导函数的图象是穿过x轴，还是碰一下就回头？如果碰一下就回头，那触碰点就成了导函数的极值点了，导函数的导函数在这一点就应当为0.反过来，如果导函数的导函数在此点处非零，此点就不是导函数的极值点，导函数的图象会在这里穿过x轴． 上面的讨论说明：函数f(x)在驻点c处的导数f′(c)＝0而f″(c)≠0，则x＝c是f(x)的极值点． 若f″(c)＞0，则f′(x)在x＝c附近递增到f′(c)＝0再递增，由负变正，所以f(x)由递减变为递增，在x＝c处取得极小值． 若f″(c)＜0，则f′(x)在x＝c附近递减到f′(c)＝0再递减，由正变负，所以f(x)由递增变为递减，在x＝c处取到极大值． 以函数f(x)＝ex－1－x为例． 由f′(x)＝ex－1＝0得f(x)的唯一驻点x＝0. f″(x)＝ex＞0，说明导函数f′(x)在x＝0附近递增(穿x轴而过)，即f′(x)在x＝0附近由负变正，因此x＝0是f(x)的极值点，且f(0)＝0为极小值． 进一步，我们还可以得出f(x)＝ex－1－x≥f(0)＝0恒成立，当且仅当x＝0时等号成立．因此，ex＞1＋x对所有x≠0均成立． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值． ( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合． ( ) (3)函数f(x)＝eq \f(1,x)有极值． ( ) √ √ × 3．函数f(x)＝x＋2cos x在上的极大值点为 (　　) A．0　　　　　　　　　 B. C. D. 答案：B 因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22. (2)f(x)＝x－aln x的定义域为(0，＋∞)， 由f′(x)＝1－＝，x>0，知 ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a. 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值． 【对点练清】 求下列函数的极值： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x＋＋1，a∈R. 解：(1)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)， 且f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 单调递减 因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，函数f(x)没有极小值． (2)函数的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝1－＝. 当a≤0时，显然f′(x)>0，这时函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，此时函数无极值． 当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝±. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－) － (－，0) (0，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 由上表可知，当x＝－时，函数取得极大值f(－)＝－2＋1； 当x＝时，函数取得极小值f()＝2＋1. 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝－处取得极大值－2＋1，在x＝处取得极小值2＋1. [解]　因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b， [解]　(1)f′(x)＝－2x－1， 因为当x＝0时，f(x)取得极值， 所以f′(0)＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意． (2)令g(x)＝f(x)＋b＝2ln(x＋2)－x2－x＋b， 则g′(x)＝－2x－1＝－(x>－2)． 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： 由上表可知函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b. 如图，要使f(x)＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根， 所以－2ln 2<b≤2－2ln 3. 故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]． 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0， 故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以 不符合题意，应舍去． 而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11. 答案：4　－11 2．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)上有两个极值点，求实数m的取值范围． 解：f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6. 因为函数f(x)在(1，＋∞)上有两个极值点，所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)上与x轴有两个不同的交点，如图所示． 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＝m＋32－4m＋6>0，,f′1＝1－m＋3＋m＋6>0，,\f(m＋3,2)>1，))解得m>3. 故实数m的取值范围是(3，＋∞)． 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围． 解：由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，可得f′(x)＝3x2－12x＋9， ∴ f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m. 则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根， 即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点． ∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4. 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： x 4 (4，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 则函数g(x)的极大值为g＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.由g(x)的图象与x轴有三个不同的交点， ∴实数m的取值范围为. 二、应用性——强调学以致用 2．已知函数f(x)＝xln x－eq \f(a,2)x2－x＋a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点，求a的取值范围． 解：f′(x)＝ln x－ax，由题意知，方程ln x－ax＝0在(0，＋∞)内有两个不等的实数根，可以转化为函数g(x)＝eq \f(ln x,x)与函数y＝a的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点． 又g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，当0＜x＜e时，g′(x)＞0； 当x＞e时，g′(x)＜0， 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减． 从而g(x)极大值＝g(e)＝eq \f(1,e). 又g(x)有且只有一个零点是1， 且在x→0时，g(x)→－∞，在x→＋∞时，g(x)→0，所以g(x)的草图如图所示，要想函数g(x)＝eq \f(ln x,x)与函数y＝a的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，只需0＜a＜eq \f(1,e). 故a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))). $$