1.1 集合的概念 同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1 集合的概念 【基础巩固】 1．已知集合，则下列关系正确的为（ ） A． B． C． D．且 2．已知集合，则集合的元素个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若集合中只有一个元素，则实数（ ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 4．已知集合，若且，则（ ） A． B． C． D． 5．（多选）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 6．已知集合，且，则实数的值为__________． 7．已知，集合．则集合中所有元素之和为__________． 8．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则. 【能力拓展】 9．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 10．已知集合，，，且，则（ ） A． B． C． D． 11．有9张卡片反面朝上一字排开放在桌面上，现在进行如下操作：第一轮选择其中的任意k张进行翻动，使其正面朝上，以后每轮都选择k张翻动，使其朝上面发生改变．若使其正面全部朝上的最少翻动轮数是3，则k的取值集合为__________． 【素养提升】 12．已知一个非空数集A，对，且，记B为A去掉x，y后的集合，若有或，则称A是一个好集合．对于一个非空数集P，对，且，记Q为P去掉x，y后的集合，若有或或，则称P是一个坏集合． (1)证明：集合不是好集合； (2)证明：不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念 【基础巩固】 1．已知集合，则下列关系正确的为（ ） A． B． C． D．且 【答案】B 【解析】，所以，. 故选：B. 2．已知集合，则集合的元素个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以，所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 3．若集合中只有一个元素，则实数（ ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【解析】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足，解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 4．已知集合，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知且 解得. 故选：C. 5．（多选）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】A,B,C 【解析】对于A，假设，则令，则， 令，则， 令，不存在，即，矛盾， ∴，故A对； 对于B，由题，，则 ∴，故B对； 对于C，∵，，， ∵故C对； 对于D，∵，，若，则，故D错误． 故选：ABC． 6．已知集合，且，则实数的值为__________． 【答案】3 【解析】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 7．已知，集合．则集合中所有元素之和为__________． 【答案】5 【解析】由题意，得， 则集合中所有元素之和为. 故答案为：5 8．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； 【答案】见解析 【解析】(1)因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. (2)先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； 【能力拓展】 9．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 10．已知集合，，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，因为，所以 所以，故A错误，B正确； 所以，故C错误； 所以，故D错误； 故选：B． 11．有9张卡片反面朝上一字排开放在桌面上，现在进行如下操作：第一轮选择其中的任意k张进行翻动，使其正面朝上，以后每轮都选择k张翻动，使其朝上面发生改变．若使其正面全部朝上的最少翻动轮数是3，则k的取值集合为__________． 【答案】 【解析】由题意，每张卡片需要翻动奇数次才能最终正面朝上， 则总翻动的次数之和为9个奇数之和为奇数，所以总翻动次数为为奇数，即为奇数， 当时，可分三组翻动前三张、中间三张、后三张，每张被翻动1次， 此时9张卡片的正面全部朝上，符合题意； 当时，合理选择三轮翻动的5张卡片组合（如：第一轮翻动15，第二轮翻动37，第三轮翻动3、4、5、8、9），此时9张卡片的正面全部朝上，符合题意； 当时，合理选择三轮翻动的7张卡片组合（如：第一轮翻动17，第二轮翻动28，第三轮翻动27和9），此时9张卡片的正面全部朝上，符合题意； 当时，一轮翻动后，9张卡片的正面就全部朝下，不符合题意， 所以的取值集合为. 故答案为：. 【素养提升】 12．已知一个非空数集A，对，且，记B为A去掉x，y后的集合，若有或，则称A是一个好集合．对于一个非空数集P，对，且，记Q为P去掉x，y后的集合，若有或或，则称P是一个坏集合． (1)证明：集合不是好集合； (2)证明：不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数． 【答案】见解析 【解析】(1)取，，记，则，，故A不是好集合． (2)假设存在这样的有限集A，使得A中的元素均为正实数，元素个数为大于5的奇数，且A为好集合，则设，且，， 因为，设B为集合A去掉元素，，后构成的集合，所以只能，考虑，这个数均属于A，且各不相同，均小于，所以，，…，， 因为，故， 若，即，矛盾，故， 又因为这个数属于A，且均小于， 所以，…，，即，， 再考虑A集合中去掉与记为集合， 因为，所以，即，所以只能； 又，故矛盾，所以原假设不成立， 即不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数． 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$