2025年吉林省长春五十二中赫行实验学校中考数学模拟试卷-自定义类型

2025年吉林省长春五十二中赫行实验学校中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，数轴上点P表示的数的相反数是（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2.如图是一个立体图形的表面展开图，则这个立体图形是（　　） A. 六棱柱 B. 六棱锥 C. 五棱柱 D. 六面体 3.下列说法中，正确的是（　　） A. -2不是单项式 B. -a表示负数 C. -2a2b的次数是2 D. 不是多项式 4.如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（　　） ​​​​​​​​​​​​​​ A. 26° B. 36° C. 46° D. 56° 5.如图是一把圆规的平面示意图，使用时，点A为支撑点，笔尖B可绕点A旋转画出圆弧.已知OA=OB=10厘米，若∠AOB=2θ°，则圆规所画圆的半径AB的长度为（　　） A. 20tanθ厘米 B. 厘米 C. 20sinθ厘米 D. 厘米 6.下列说法错误的是（　　） A. 如果a＞b＞0，那么 B. 如果a＞b＞c＞0，那么ab＞ac＞bc C. 如果a＞b＞c,那么a+b＞c D. 如果a＞b,c＞d,那么a+c＞b+d 7.如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC.按下列要求作图： ①以点B为圆心，小于线段AC的长为半径画弧，交线段BC于点N，交AB于点M； ②以点A为圆心，线段BN长为半径画弧，交AC于点Q； ③以点Q为圆心，MN长为半径画弧，交②中的弧于点P，作射线AP交线段BC于点D.则∠BAC和∠ADC的关系是（　　） A. ∠BAC＜∠ADC B. ∠BAC=∠ADC C. ∠BAC＞∠ADC D. 不能确定 8.如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D.若矩形OABC的面积是10，，则k的值为（　　） A. B. -2 C. D. -4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.计算a2•a3=______. 10.某多项式按字母a的降幂排列为：2a4+3am-a+1，则整数m的值可能为______.（写出一个即可） 11.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC______S△ABD（填“＞”，“=”或“＜”）． 12.如图，在矩形ABCD中，若AB=3，AC=5，=，则AE的长为______． 13.如图，AB是半径为2的⊙O的一条弦，∠AOB=90°.将△OAB绕点A逆时针旋转，当点O的对应点O'第一次落在⊙O上时，点B运动的路径长是______.（结果保留π） 14.如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD.则下列结论中： ①当∠BOP=45°时，四边形OBPD为正方形； ②当∠BOP=30°时，△OAD的面积为15； ③当P在运动过程中，CD的最小值为； ④当OD⊥AD时，BP=1. 其中结论正确的有______.（把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题6分) 先化简，再求值：的值，其中. 16.(本小题6分) 学校通过开展丰富多彩的中医药文化活动，推动了中医药文化传承发展.如图是四味中药材图片，分别为紫苏、天麻、马齿苋和灵芝，除正面内容外，其余完全相同，现从这四张图片中随机抽取两张进行研究，用列表法或画树状图法求抽到灵芝和天麻的概率. 17.(本小题6分) 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动全国青少年学生读书行动广泛深入开展，某学校计划逐步增加学校图书馆的图书数量.已知学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 18.(本小题7分) 如图，在▱ABCD中，点M、N分别在边AB、CD上，且BM=DN.求证：AC与MN互相平分. 19.(本小题7分) 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、C均在格点上，D、E是线段AB与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹. （1）在图①中，过点B作AC的垂线； （2）在图②中，在AC上找一点M，连结DM，使； （3）在图③中，在AC上找一点N，连结EN，使. 20.(本小题7分) 为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）： b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：10.0、10.0、10.1、10.9、11.4、11.5、11.6、11.8； c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 甲城市 10.8 m 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1，在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2，比较p1，p2的大小，并说明理由； （3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）. 21.(本小题8分) 某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试.测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程s（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图①所示，电池的剩余电量y（kW•h）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图②所示. （1）s与x的函数关系式为______；（不要求写出自变量x的取值范围） （2）求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） （3）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的10%时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤.求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程. 22.(本小题9分) 【问题情境】将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°，∠A=∠D.将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）.当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G.试判断四边形BCGE的形状，并说明理由. 【深入探究】将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部， （1）如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明.请你解答此问题； （2）如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9，AC=12，求AH的长.请你思考此问题，直接写出结果. 23.(本小题10分) 如图，，点A是∠MON的边OM上一点，OA=4.点B、C分别是射线OM、射线ON上的动点，BC⊥OM.点P是线段BC的中点，连结AP，过点P作AP的垂线，当该垂线与射线ON有交点时，记交点为Q，以AP、PQ为邻边作矩形APQD. （1）的值是______. （2）当AP⊥ON时，求OB的长； （3）当四边形APQD是正方形时，求tan∠BAP的值（求出一个即可）； （4）当点Q在线段OC上，且矩形APQD与△OBC重合部分的图形是轴对称图形时，直接写出OB的取值范围. 24.(本小题12分) 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x-3经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长． 1.【答案】  【解析】解：点P表示的数的相反数是-1． 故选：A． 先确定点P表示的数，然后确定其相反数即可解答． 本题考查用数轴上的点表示有理数、相反数等知识点，掌握相反数的概念是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：这个几何体有8个面，两个底面是全等的六边形，6个侧面是长方形， 因此这个几何体为六棱柱， 故选：A． 根据展开图的面数，面的形状和大小进行判断即可． 本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱的特征和展开图的形状是正确判断的前提． 3.【答案】  【解析】解：A、-2是单项式，原说法错误，故此选项不符合题意； B、-a可以表示正数、0、负数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、-2a2b的次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意； D、不是多项式，说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 根据单项式的定义、单项式的次数、多项式的定义分别判断即可． 本题考查了单项式、多项式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 4.【答案】  【解析】【分析】 ​​​​​​​如图，首先运用平行线的性质求出∠5的大小，然后借助平角的定义求出∠3即可解决问题． 该题主要考查了平行线的性质及其应用问题；应牢固掌握平行线的性质，这是灵活运用、解题的基础和关键． ​​​​​​​【解答】 解：如图， ∵直线l4∥l1， ∴∠1+∠5=180°，而∠1=124°， ∴∠5=56°， ∴∠3=180°-∠2-∠5 =180°-88°-56° =36°， 故选：B． 5.【答案】  【解析】解：作OC⊥AB于点C，则∠OCB=90°， ∵OA=OB=10厘米，∠AOB=2θ°， ∴∠COB=∠AOB=θ°，AB=2BC， ∴BC=OB•sin∠COB=10sinθ厘米， ∴AB=20sinθ厘米， 故选：C． 作OC⊥AB于点C，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠COB=∠AOB=θ°，AB=2BC，进而根据∠COB的正弦值可得BC的值，进而可得AB的长度． 本题考查解直角三角形的应用．构造直角三角形解决相关问题是解决本题的关键． 6.【答案】  【解析】解：如果a＞b＞0，两边同除以b得＞1，则A不符合题意， 如果a＞b＞c＞0，那么ab＞ac,ac＞bc,因此ab＞ac＞bc,则B不符合题意， 如果a＞b＞c,若a=-5，b=-6，c=-7，那么a+b=-12＜c,则C符合题意， 如果a＞b,c＞d,那么a-b+c-d＞0，因此a+c＞b+d,则D不符合题意， 故选：C． 利用不等式的性质逐项判断即可． 本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：由作图可知∠B=∠DAC， ∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠BAC=∠BAD+∠DAC， ∴∠BAC=∠ADC． 故选：B． 利用三角形的外角的性质判断即可． 本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8.【答案】  【解析】解：∵矩形OABC的面积是10， ∴S△AOC=5， ∵， ∴设AD=3x,AO=5x, 由勾股定理可得OD=4x, ∵cos∠OAC=cos∠DOC==， ∴OC=x, ∵=S△AOC， ∴5x•x=5， 解得x2=， ∴S△AOD===6x2=6×=， ∴|k|=2S△AOD=， ∴k=-． 故选：C． 根据矩形性质得到S△AOC=5，设AD=3x,AO=5x,根据勾股定理得到OC=x,利用三角形面积建立关于x的方程求出x2=，利用反比例函数k值的几何意义得到k值即可． 本题考查了反比例函数k值的几何意义、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 9.【答案】  【解析】解：a2•a3=a5． 故答案为：a5． 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算求解． 本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． 10.【答案】  【解析】解：某多项式按字母a的降幂排列为：2a4+3am-a+1，则整数m的值可能为2（答案不唯一）， 故答案为：2（答案不唯一）． 根据降幂排列的意义解答即可． 本题考查了多项式，理解降幂排列的意义是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：∵S△ABC=×2×4=4， S△ABD =2×5-×5×1-×1×3-×2×2 =4， ∴S△ABC=S△ABD， 故答案为：=． 分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 12.【答案】  【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AD∥BC， ∵AB=3，AC=5， ∴BC===4， ∵AD∥BC，=， ∴， ∴， ∴AE=1， 故答案为：1． 由矩形的性质得出∠ABC=90°，AD∥BC，利用勾股定理求出BC=4，利用相似三角形的性质，即可求出AE的长． 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 13.【答案】  【解析】解：旋转后点O′在⊙O上，故O′O=2． 旋转前OA=2，旋转后O'A=OA=2， ∴△OAO′为等边三角形，旋转角． 在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB=2， 由勾股定理得：． 点B绕点A旋转弧度，路径为圆弧，半径AB=2，弧长为：弧长=AB•θ=2.． 故答案为：． 当点O′第一次落在⊙O上时，△OAO'为等边三角形，旋转角θ=60°（即弧度）．点B绕点A旋转的路径是圆弧，其半径为AB的长度，弧长公式为r•θ． 本题考查旋转的性质、弧长计算以及几何图形的变换，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14.【答案】  【解析】解：①∵四边形OACB为矩形， ∴∠OBC=90°， ∵将△OBP沿OP折叠得到△OPD， ∴OB=OD，∠PDO=∠OBP=90°，∠BOP=∠DOP， ∵∠BOP=45°， ∴∠DOP=∠BOP=45°， ∴∠BOD=90°， ∴∠BOD=∠OBP=∠ODP=90°， ∴四边形OBPD为矩形， ∵OB=OD， ∴四边形OBPD为正方形； ∴①正确； ②过点D作DH⊥OA于点H， ∵点A（10，0），点B（0，6），∠BOP=30°， ∴O A=10，OB=6， ∴OD=OB=6，∠BOP=∠DOP=30°， ∴∠BOD=60°， ∴∠DOA=30°， ∴， ∴△OAD的面积为， ∴②正确； ③连接OC， ∵OD+CD≥OC，OD=OB=6，当OD+CD=OC时，CD取得最小值， ∵AC=OB=6，OA=10， ∴， ∴， ∴CD的最小值为， ∴③正确； ④∵OD⊥AD， ∴∠ADO=90°， ∵∠ODP=∠OBP=90°， ∴∠ADP=180°， ∴P、D、A三点共线， ∵OA∥CB， ∴∠OPB=∠POA， ∵∠OPB=∠OPD， ∴∠OPA=∠POA， ∴AP=OA=10， ∵AC=6， ∴， ∴BP=BC-CP=10-8=2． ∴④错误； 综上所述，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． 由矩形的性质得到∠OBC=90°，由折叠的性质得到OB=OD，∠PDO=∠OBP=90°，∠BOP=∠DOP，得到四边形OBPD为矩形，推出四边形OBPD为正方形，即可判断①；过点D作DH⊥OA于点H，根据题意得到OA=10，OB=6，根据折叠的性质和矩形性质推出∠DOA=30°，根据直角三角形性质得到，利用即可判断②；连接OC，根据三角形三边关系得到OD+CD≥OC，推出当OD+CD=OC时，CD取得最小值，利用勾股定理得到，根据CD=OC-OD，即可判断③；根据已知条件推出P、D、A三点共线，利用平行线性质和折叠的性质，结合等量代换得到∠OPA=∠POA，推出AP=OA=10，根据勾股定理算出CP，推出BP=BC-CP即可判断④． 本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形三边关系，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质并灵活运用即可解题． 15.【答案】  【解析】解：原式=•- =- = =， 当x=2-2时，原式==． 先把除法运算化为乘法运算，再约分，接着进行同分母的减法运算得到原式=，然后把x的值代入计算即可． 本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式；解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法． 16.【答案】  【解析】解：将紫苏、天麻、马齿览和灵芝分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中抽到灵芝和天麻的结果有：（B，D），（D，B），共2种， ∴抽到灵芝和天麻的概率是． 列表可得出所有等可能的结果数以及抽到灵芝和天麻的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 17.【答案】  【解析】解：设该学校图书馆这两年的年平均增长率为x, 由题意得：5（1+x）2=7.2， 解得：x1=-2.2（不符合题意，舍去），x2=0.2=20%， 答：这两年的年平均增长率为20%． 设这两年的年平均增长率为x,根据学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程组是解题的关键． 18.【答案】  【解析】证明：连结AN、CM． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵BM=DN， ∴CD-DN=AB-BM， 即CN=AM， ∵CN∥AM， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∴AC与MN互相平分． 连结AN、CM．根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 19.【答案】  【解析】（1）如图①中，直线BE即为所求； （2）如图②中，点M即为所求； （3）如图③中，点N即为所求． （1）取格点E，直线BE即可； （2）取格点H，连接BH交AC于点M，连接DM，点M即为所求（利用直角三角形斜边中线的性质证明）； （3）取格点T，J，连接JT交AC于点N，连接EN，点N即为所求（利用直角三角形斜边中线的性质证明）． 本题考查作图-应用与设计作图，直角三角形的斜边中线的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 20.【答案】  【解析】（1）根据中位数的意义，求出甲城市抽样25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，得出处在第13位的数据即可； （2）根据p1，p2所表示的意义，结合两个城市抽取的邮政企业4月份的营业额的具体数据，得出答案； （3）根据乙城市邮政企业4月份营业额的平均数以及企业的数量进行计算即可． 本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义是正确解答的前提． 21.【答案】  【解析】（1）该新能源汽车的行驶速度为（160-80）÷（2-1）=80（km/h）， ∴s与x的函数关系式为s=80x. 故答案为：s=80x. （2）该新能源汽车的功率为（80-65）÷1=15（kW）， ∴y与x的函数关系式为y=-15x+80． （3）当y=80×10%=8时，即-15x+80=8， 解得x=4.8， 当x=4.8时，s=80×4.8=384． 答：这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为384km. （1）根据速度=路程÷时间和路程=速度×时间计算即可； （2）根据功率=电量÷时间和剩余电量=最初电量-功率×行驶时间计算即可； （3）求出剩余电量为总电量的10%时对应x的值，从而求出对应s的值即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 22.【答案】  【解析】【问题情境】解：四边形BCGE为正方形． 理由如下： ∵∠BED=90°， ∴∠BEG=180°-∠BED=90°， ∵∠ABE=∠A， ∴AC∥BE． ∴∠CGE=∠BED=90°， ∵∠C=90°， ∴四边形BCGE为矩形． ∵△ACB≌△DEB， ∴BC=BE． ∴矩形BCGE为正方形． 【深入探究】（1）AM=BE． 证明：∵∠ABE=∠BAC， ∴AN=BN． ∵∠C=90°， ∴BC⊥AN． ∵AM⊥BE，即AM⊥BN， ∴． ∵AN=BN， ∴BC=AM． 由（1）得出BE=BC， ∴AM=BE． （2）解：如图：设AB，DE 的交点为M，过M作MG⊥BD于G， ∵△ACB≌△DEB， ∴∠A=∠D，∠ABC=∠DBE，BE=BC=9，DE=AC=12， ∴∠CBE=∠DBM； ∵∠CBE=∠BAC， ∴∠D=∠BAC， ∴MD=MB， ∵MG⊥BD， ∴点G是BD的中点， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵AH⊥DE，BE⊥DE，∠AMH=∠BME， ∴△AMH∽△BME， ∴， ∴， 即AH的长为． 【问题情境】证明四边形BCGE为矩形．由全等三角形的性质得出BC=BE，则可得出结论； 【深入探究】（1）证明BC=AM．由（1）得出BE=BC，则可得出结论； （2）设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，由勾股定理求出AB=15，证明△AMH∽△BME，得出，则可得出答案． 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 23.【答案】  【解析】（1）∵BC⊥OM， ∴∠OBC=90°， ∴tan∠MON=， ∵点P是BC的中点， ∴BC=2PB， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1， 设AP⊥ON于W，设OB=3a,则BP=PC=2a, ∵∠OBC=∠AWO=90°， ∴∠MON∠BPW=360°-∠OBC-∠AWO=180°， ∵∠APB+∠BPW=180°， ∴∠APB=∠MON， ∴tan∠APB=tan∠MON=， ∴， ∴AB=， ∵OB+AB=OA， ∴3a+=4， ∴a=， ∴OB=3a=； （3）如图2， 设OB=3a,则BP=CP=2a, 当Q在OC的延长线上时， 作QE⊥BC，交BC的延长线于E， ∴∠E=∠ABP=90°， ∴∠BAP+∠APB=90°， ∵∠APQ=90°， ∴∠APB+∠QPE=90°， ∴∠BAP=∠QPE， ∵AP=PQ， ∴△ABP≌△PEQ（AAS）， ∴EQ=BP=2a,AB=PE， ∵tan∠CQE=tan∠MON， ∴， ∴CE=， ∴PE=PC+CE=， ∴AB=， ∴tan∠BAP== 如图3， 当点Q在OC上时， 作QE⊥BC于E， 由上可知， EQ=BP=2a,CE=， ∴AB=PE=CE-PC=， ∴tan∠BAP==3， 综上所述：tan∠BAP=或3； （4）如图4， 当矩形APQD与△OBC重合部分的图形是矩形APQD时，符合条件， 当点D在OM上时，点B在A处时， 如图4-2， 当D在ON上时， ∵AP∥DQ， ∴， ∴OB=2OA=8， ∴4≤OB≤8， 如图4-3， 设DQ交OA于V， 当V时OAD中点时，四边形BPQV是轴对称图形， 此时PQ=BP=CP， 作PX⊥BC，交OC于X，作QZ⊥PX于Z，作PR⊥OC于R， ∴tan∠PXC=tanMON=，CQ=2CR，sin∠PCR=，cos∠PCR=，sin∠QXZ=sin∠MON=，cos∠QXZ=， ∴， 设CP=4k,PX=3k,则CX=5k, ∴CR=CP•cos∠PCR=4k•=k, ∴CQ=2CR=， ∴QX=CQ-CX=， ∴QZ=QX•sin∠QXZ=， XZ=QX•cos∠QXZ=， ∴PZ=PX+XZ=3k+=， ∴tan∠APB=tan∠QPZ=， ∴， ∵BP=OB，AB=OA-OB=4-OB， ∴， ∴OB=， 综上所述：或4≤OB≤8． （1）根据tan∠MON=，BC=2PB得出结果； （2）设AP⊥ON于W，设OB=3a,则BP=PC=2a,可得出tan∠APB=tan∠MON=，从而，从而得出AB=，根据OB+AB=OA列出3a+=4，进一步得出结果； （3）设OB=3a,则BP=CP=2a,当Q在OC的延长线上时，作QE⊥BC，交BC的延长线于E，可证得△ABP≌△PEQ（AAS），从而EQ=BP=2a,AB=PE，进而根据tan∠CQE=tan∠MON，得出，从而表示出CE和PE及AB，进一步得出结果；同样得出当点Q在OC上时得情形； （4），当矩形APQD与△OBC重合部分的图形是矩形APQD时，符合条件，得出临界：当点D在OM上时，点B在A处时的结果和当D在ON上时的结果，进而得出OB的范围；设DQ交OA于V，当V时OAD中点时，四边形BPQV是轴对称图形，此时PQ=BP=CP，作PX⊥BC，交OC于X，作QZ⊥PX于Z，作PR⊥OC于R，设CP=4k,PX=3k,则CX=5k,依次表示出CR，CQ，QX，QZ，XZ，PZ，进而得出tan∠APB=tan∠QPZ=，进一步得出结果． 本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是分类推论． 24.【答案】  【解析】（1）首先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据S△ABC=S△AMC+S△AMB，由三角形面积公式可求y与m之间的函数关系式； （3）如图2，由抛物线对称性可得D（2，-3），过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，可得四边形OCKB为正方形，过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R，可得四边形OHQI为矩形，可证△OBQ≌△OCH，△OSR≌△OGR，得到tan∠QCT=tan∠TBK，设ST=TD=m，可得SK=2m+1，CS=2-2m，TK=m+1=BR，SR=3-m，RK=2-m，在Rt△SKR中，根据勾股定理求得m，可得tan∠PCD=，过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，得到P（t，-t-3），可得-t-3=t2-2t-3，求得t，再根据MN=d求解即可． 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$