第二章 圆与方程重难点检测卷-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019选修第一册）

第二章 圆与方程重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高二上·山东泰安·期中）经测得某拱桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（注：）（   ） A．6.48米 B．4.48米 C．2.48米 D．以上都不对 【答案】A 【分析】以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，由已知求得圆的方程，然后将代入圆的方程，求出点N的纵坐标，可计算出MN的长，即可得出结论. 【详解】以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系. 由题意可知，点A的坐标为，设拱桥圆弧所在圆的半径为r. ，由勾股定理可得，即，解得， 圆心坐标为，则圆的方程为. 将代入圆的方程得. ，解得， （米）. 故选：A. 2．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知：圆的方程为，点不在圆上，也不在圆的圆心上，方程，则下面判断正确的是（    ） A．方程表示的曲线不存在 B．方程表示与同心且半径不同的圆 C．方程表示与相交的圆 D．当点在圆外时，方程表示与相离的圆 【答案】B 【分析】通过特殊值法判断出方程表示的曲线. 【详解】因为为圆，设，点，其圆心为，半径为， 而的方程为，即， 因此上述方程中，圆心亦为，半径为，所以与圆是同心且半径不同的圆. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】求出圆的圆心和半径，证明在圆内，证明Q是AB的中点，分直线l的斜率不存在时和直线l的斜率存在两种情况结合向量即可求解. 【详解】 易知圆C：的圆心为，半径， 又， 所以在圆内，因为，垂足为Q， 由垂径定理可知Q是AB的中点， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 易得此时圆心C与Q重合，不符合题意， 由可得， 设点，则，， 所以， 即， 故点Q的轨迹方程为（除点外）， 圆心到直线的距离为， 则点Q到直线的最大距离为． 故选：D. 4．（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆为，根据圆与圆都经过两点，可用表示，又点在圆上，可用表示，进而可得含参数的圆的方程，再由圆系方程求解即可. 【详解】圆方程为，令，得， 设圆的方程为，令，得， 由题意，圆与圆都经过两点， ∴方程与等价，∴，， ∴圆的方程为， ∵点在圆上，∴，∴， ∴圆：，整理得， ∴圆经过直线与圆的交点， ∴当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值， 故选：C. 5．（24-25高二上·湖南怀化·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程，借助切线的性质计算即可得. 【详解】由，可知该圆是以为圆心，3为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切； 设过点的圆的切线为，即， 故圆心到切线的距离，解得， 故选：C 6．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线与：交于A，B两点，在线段AB上取一点Q，使得是和的等差中项，若的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设切点为，则，由切割线定理求得，设AB的中点为D，得，设C到AB的距离为，由已知等式求得，根据最小值得值. 【详解】由题得圆心为，半径为2，则与x轴相切，设切点为，则，则， 如图，设AB的中点为D，连接CD，则，设C到AB的距离为，又， 由题得，所以， 故当时，取得最小值，解得． 故选：A. 7．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】点在圆上，由题意分析可知对称点必是圆与圆的公共点，通过计算，即可得出答案. 【详解】因点的坐标满足，则点在圆上， 因直线过的圆心， 则点关于直线对称的点必然在圆上， 联立，得， 因圆与圆仅有唯一公共点， 因此点关于直线对称的点只能是点， 设直线与线段交于点， 因，， 则由垂径定理可得，， 则在中，， 因此. 故选：C 8．（24-25高二下·浙江·开学考试）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，再根据垂径定理和点到直线的距离公式可得. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 联立与得公共弦所在直线为， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（2025·陕西咸阳·二模）已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．圆C的半径为2 B．满足的点M有1个 C．的最大值为 D．若点P在x轴上，则满足的点P有两个 【答案】AC 【分析】将圆的方程化为标准方程确定圆心坐标与半径，可判断选项A；由圆上任意点到原点距离的最值可判断选项B；令，然后根据点在圆上，借助一元二次方程有解求解的最值，即可判断选项C；设出点的坐标，利用待定系数法可判断选项D． 【详解】选项A：圆的方程可化为，所以圆心，半径等于2，故A正确； 选项B：由于，所以圆上任意一点到原点的最大距离是， 最小距离是，因此满足的点有两个，故B错误； 选项C：令，则，所以， 将点的坐标代入圆的方程并整理，得， 依题意有，即， 解得，因此的最大值为，故C正确． 选项D：不妨设，由于，所以， 整理得． 因为点在圆上，所以，则， 因为为点的横坐标，且点为圆上任意一点， 所以，得， 所以符合要求的点是唯一的，故D错误． 故选：AC. 10．（2023·福建泉州·三模）已知AB为圆的直径，直线与y轴交于点M（A，B，M三点不共线），则（    ） A．l与C恒有公共点 B．是钝角三角形 C．的面积的最大值为l D．l被C截得的弦的长度最小值为 【答案】ABD 【分析】M是一个在圆内的定点，可以判断AB选项；根据AB是定值可以判断到的距离最大时，三角形面积最大，从而判断C选项；l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，从而判断D选项. 【详解】直线与y轴交于点M，， 且M在圆内部， 所以l与C恒有公共点，A正确； 因为点M在圆内部，为钝角，是钝角三角形，B正确； M到AB的最大距离，即到圆心的距离为1， ，故C错误； l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大， 且此距离为M到圆心的距离为1，故弦长为，故D正确. 故选：ABD 11．（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列说法中正确的是（    ） A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的长为 D．过点，的圆系方程可以记为 【答案】ABC 【分析】选项A根据两圆相交于两点，故存在两条公切线；选项B根据两圆的方程相减得出直线的方程；选项C根据点到直线距离公式求出圆心到的距离d，再根据勾股定理求出的长度；选项D根据，将圆系方程变形为标准方程，通过恒成立，证明圆系方程真实存在，但此圆系中不包含圆. 【详解】因为圆和圆：相交于，两点， 所以两圆有两条公切线，故A正确． 圆和圆的方程相减得， 所以直线的方程为，故B正确． 圆心到直线的距离为，所以线段的长为： ，故C正确． 因为，，所以，恒成立， 即过，两点的圆的方程可化为， 而恒成立， 所以方程表示圆系， 但此圆系不包括圆，故D不正确． 故选：ABC． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高二上·北京房山·期中）已知点，，，在同一个圆上，则这个圆的方程为 . 【答案】 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可求得答案. 【详解】设圆的方程为, 将点，，代入得, 解得,满足，则， 将代入也适合， 故所求圆的方程为， 故答案为： 13．（24-25高二上·河南·期中）设直线与圆交于A，B两点，对于任意的实数，在轴上存在定点，使得的平分线在轴上，则的值为 . 【答案】3 【分析】将直线与圆的方程联立，将问题转化为，然后根据韦达定理求解. 【详解】设，由题得，即， 整理得，又， 所以，整理得， 由联立得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：本题考查的是直线与圆的综合问题，关键是把轴是这句话转化为，进而利用韦达定理求解，在利用韦达定理的求解的过程中，运用了设而不求的思想. 14．（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或（写一条即可） 【分析】结合图形可得其中一条公切线方程，然后利用过两圆心的直线可求出另一条公切线所过点P，设出切线方程，根据圆心到切线距离等于半径即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 化为标准方程得，圆心为，半径， 如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为， 直线的斜率为，直线方程为， 联立解得， 易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即， 则，解得， 则公切线的方程为，即. 故答案为：或（写一条即可） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2025高三·全国·专题练习）点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据目标式的几何意义，结合图形，利用圆的性质求解即可. 【详解】（1）点在以为圆心，为半径的半圆上，记， 表示点到点的距离平方减1，如图1． 因为， ，所以． （2）设直线，为直线在轴上的截距，如图2． 圆心到直线的距离为，解得． 当过点时，有，结合图象可知． （3）令，表示过点和的直线斜率， 将点代入，得． 又由，得． 圆心到直线的距离为1，即，即， 化简并整理得． 解得． 由图3可知，取，故． （4）如图4，令，化简得，即． 表示过点和的直线斜率加2， 由得． 令，即， 由得， 化简并整理得，解得． 由图4可知，故． 16．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． (1)当，，，时，分别求线段和的长度； (2)①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求出各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线和的方程，并求它们与轴的交点坐标，可得和的长度． （2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立；②猜测，分别求出点和点的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立． 【详解】（1）当，，，时， 圆，直线，由解得或， 故，； 直线，由解得或， 故，． 所以直线，令得，即； 直线，令得，即， 所以． （2）①由原点在圆内，知, 由得，即， 则，是上述方程的两个解，由根与系数的关系得， 同理可得， 所以. ②猜测，证明如下： 设点，， 因为三点共线，所以，解得， 又因为点在直线上，所以，点在直线上，所以， 所以， 同理因为三点共线，可得, 由①可知， 所以,即， 所以成立． 17．（24-25高二上·上海·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线和互相垂直，且分别在轴负半轴和正半轴上，分别在轴负半轴和正半轴上.    (1)试用平面解析几何的方法证明：； (2)设四边形的一条边的中点为，试用平面解析几何的方法证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）设出点的坐标，借助韦达定理计算推理即得. （2）由（1）中信息，利用斜率坐标公式及垂直关系的判定推理即得. 【详解】（1）圆：，则， 设，则，且为方程的两根， 于是，即有， 设，则，且为方程的两根， 于是，即有， 所以. （2）由（1）知，，则直线的斜率，而直线的斜率 又，则，因此， 所以. 18．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）设圆心，其中，根据圆与圆的位置关系可得出，可求出的值，即可得出点的坐标，同理可得出点的坐标； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用几何法求出直线截三个圆所得的弦长，可得出关于的方程，解出的值，即可求出的值. 【详解】（1）圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为，则，解得， 即点，同理可得点. （2）若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为，所以，直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，.    19．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆C1：，圆C2：，其中－1<m<5. （1）若m=1，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程； （2）设圆C1与圆C2的公共弦所在直线为l，且圆C2的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长. 【答案】（1）两圆内切，；（2），. 【分析】（1）由，分别得到圆和圆的圆心，半径，然后利用圆圆的位置关系判断，再由两圆方程相减得到公切线； （2）先得到两圆公共弦所在直线l的方程，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）当时，由得， 由得， ∴圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ∴圆心距，所以两圆内切； 因为两圆内切，所以公切线只有一条， 两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：； （2）两圆公共弦所在直线l的方程为：， 圆的圆心到直线l的距离， 于是，或舍， 所以直线l的方程为； 因为圆半径，弦心距， 由勾股定理可得半弦长为， 所以公共弦长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 圆与方程重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高二上·山东泰安·期中）经测得某拱桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（注：）（   ） A．6.48米 B．4.48米 C．2.48米 D．以上都不对 2．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知：圆的方程为，点不在圆上，也不在圆的圆心上，方程，则下面判断正确的是（    ） A．方程表示的曲线不存在 B．方程表示与同心且半径不同的圆 C．方程表示与相交的圆 D．当点在圆外时，方程表示与相离的圆 3．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（    ） A． B．1 C． D． 4．（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南怀化·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线与：交于A，B两点，在线段AB上取一点Q，使得是和的等差中项，若的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 8．（24-25高二下·浙江·开学考试）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（2025·陕西咸阳·二模）已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．圆C的半径为2 B．满足的点M有1个 C．的最大值为 D．若点P在x轴上，则满足的点P有两个 10．（2023·福建泉州·三模）已知AB为圆的直径，直线与y轴交于点M（A，B，M三点不共线），则（    ） A．l与C恒有公共点 B．是钝角三角形 C．的面积的最大值为l D．l被C截得的弦的长度最小值为 11．（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列说法中正确的是（    ） A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的长为 D．过点，的圆系方程可以记为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高二上·北京房山·期中）已知点，，，在同一个圆上，则这个圆的方程为 . 13．（24-25高二上·河南·期中）设直线与圆交于A，B两点，对于任意的实数，在轴上存在定点，使得的平分线在轴上，则的值为 . 14．（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2025高三·全国·专题练习）点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． (1)当，，，时，分别求线段和的长度； (2)①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 17．（24-25高二上·上海·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线和互相垂直，且分别在轴负半轴和正半轴上，分别在轴负半轴和正半轴上.    (1)试用平面解析几何的方法证明：； (2)设四边形的一条边的中点为，试用平面解析几何的方法证明：. 18．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 19．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆C1：，圆C2：，其中－1<m<5. （1）若m=1，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程； （2）设圆C1与圆C2的公共弦所在直线为l，且圆C2的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长. 学科网（北京）股份有限公司 $$