专题2.1 圆的方程重难点题型专训（3个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019选修第一册）

专题2.1 圆的方程重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 由圆心(或半径)求圆的方程 题型二 求过已知三点的圆的标准方程 题型三 由标准方程确定圆心和半径 题型四 圆的一般方程与标准方程之间的互化 题型五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 题型六 求圆的一般方程 题型七 由圆的一般方程确定圆心和半径 题型八 圆的对称性的应用 题型九 定点到圆上点的最值(范围) 题型十 圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 题型十一 过圆内定点的弦长最值(范围) 拓展训练一 圆的方程基础及互化 拓展训练二 圆的方程应用及特性 拓展训练三 圆上几何量的最值与计算 知识点一：圆的标准方程 1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆， 定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、确定圆的基本要素是：圆心和半径 3、圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 【即时训练】 1．（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）圆心在x轴上，并且过点和的圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心为，由可求出的值，可得出圆心的坐标，再求出圆的半径，从而得解. 【详解】依题意，设圆心为， 由可得，解得， 所以圆心为，圆的半径为， 故所求圆的标准方程为. 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据对称分析可知圆的圆心坐标为，半径为1，即可得圆的方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 若圆与圆关于直线对称，则圆的圆心坐标为，半径为1， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 知识点二：点和圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 【即时训练】 1．（23-24高二上·吉林·期中）过点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由弦的垂直平分线确定圆心坐标，求得半径即可. 【详解】由题意圆心在的垂直平分线上即在上， 也在的垂直平分线上即在上， 所以圆心坐标为：，， 所以圆的标准方程为：， 故选：A 2．（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【答案】 【分析】分离参数，即可列方程组求解. 【详解】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 知识点三：圆的一般方程 1、定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2、一般方程与标准方程关系： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点. （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 【即时训练】 1．（23-24高一下·陕西渭南·期末）若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称性得出的圆C圆心坐标，进而写出方程. 【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径为 因为关于直线对称的点为，所以圆C的方程为 即 故选：C 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过三点的圆的一般方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆的一般方程. 【详解】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组， 解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 【经典例题一 由圆心(或半径)求圆的方程】 【例1】（24-25高二下·河南周口·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心坐标，得到，再由点在圆上，代入即可求解. 【详解】设圆心坐标为： 由题意可知圆的标准方程为：， 由圆过点， 所以，解得：， 所以圆的标准方程为， 故选：C 【例2】（24-25高二上·河南安阳·期中）（1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解； （2）求出已知圆的圆心关于对称点的坐标，进而可求圆的方程. 【详解】（1）设圆方程：， 由已知，解得， 圆的方程为. （2）设圆的圆心关于直线对称的点为， 则，解得， 即所求圆的圆心为， 故所求圆的方程为. 1．（2025·海南·模拟预测）如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理可构造方程求得半径，进而得到圆心坐标，由此可得圆的方程. 【详解】设该圆的半径为，如图， 由题意知：，，， 由勾股定理得：，即，解得：， ，即圆的圆心为，则圆的方程为. 故选：A. 2．(多选题)（24-25高三下·全国·开学考试）已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆心为，由题意列出相应方程，求出圆心坐标和半径，即得答案. 【详解】设圆心为，由题意可得，且， 解得或 则，即圆方程为或, 故选：BC 3．（24-25高三下·海南·阶段练习）圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据直线交点得出圆心，再结合圆心及切线得出半径，最后应用圆的标准方程即可求解. 【详解】由题设可知圆为直线与的交点，其半径为3， 故圆标准方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·广东深圳·期中）求满足下列条件的圆的标准方程. (1)圆心为，经过点； (2)圆心在直线上，且与轴交于点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆心和圆上的点求圆的半径，可得圆的标准方程. （2）根据垂径定理，圆心在线段的垂直平分线上，又圆心在直线上可求圆心，再求半径，得圆的标准方程. 【详解】（1）由两点间的距离公式可得圆的半径 故圆的标准方程为 （2）因为圆与y轴交于点，所以圆心在直线y=3上. 又圆心在直线上，所以圆心的坐标为， 所以圆的半径， 故圆的标准方程为. 【经典例题二 求过已知三点的圆的标准方程】 【例1】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过三点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法可求圆的一般式方程，再化为标准方程即可. 【详解】设圆的方程为， 因为圆三点，，， 可得，解方程可得， 即圆的方程为，即圆的标准方程为. 故选：A. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 【答案】 【分析】设圆的标准方程，将3个点的坐标代入圆的标准方程，建立方程组，解出a，b，r即可. 【详解】设所求的方程是．① 因为，，三点都在圆上，分别代入方程①． 得即 三式两两相减，整理得解得 代入，得． 所以的外接圆的标准方程是． 1．（24-25高二上·上海·期末）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 2．（24-25高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知圆经过三点，则该圆经过的整点共有（    ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 【答案】D 【分析】先设出圆的一般方程，代入点的坐标得到圆的方程，从而得到圆经过的整点. 【详解】设该圆的方程为， 将代入圆的方程可得： ，解得， 故圆的方程为， 整理得， 当时，；当时，或5； 当时，或6；当时，或7； 当时，或6；当时，或5； 当时，，所以该圆经过的整点共有12个. 故选：D. 3．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知圆经过三个点分别是，，，则圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的方程为，根据条件建立方程组，联立方程求解出，即可求解. 【详解】设圆的方程为， 因为圆过点是，，三点， 所以①，②，③， 由①②得到④，由②③得到⑤， 由④⑤解得，代入①，得， 所以圆的方程为. 故答案为： 4．（24-25高二上·北京石景山·期末）在中，是坐标原点，，，求的外接圆方程. 【答案】 【分析】设的外接圆的方程为（），则把的坐标代入求得的值，可得圆的方程． 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， ∴的外接圆方程为． 【经典例题三 由标准方程确定圆心和半径】 【例1】（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得是直角三角形，且，即可得到答案。 【详解】由题得是直角三角形，且． 所以的外接圆的圆心就是线段的中点， 由中点坐标公式得，． 故选：A 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）求出下列方程表示的圆的圆心和半径： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)圆心为，半径 (2)圆心为，半径 (3)圆心为，半径 (4)圆心为，半径 【分析】由圆的标准方程为，分析即得解 【详解】（1）由于圆的标准方程为 故表示的圆的圆心为，半径 （2）由于圆的标准方程为 故表示的圆的圆心为，半径 （3）由于圆的标准方程为 故表示的圆的圆心为，半径 （4）由于圆的标准方程为 故表示的圆的圆心为，半径 1．（24-25高二上·全国·单元测试）曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论写出圆的标准方程，画图得出结论． 【详解】由题意， 曲线，即: 或 或， 作出曲线如图所示：    曲线是以A，B，C，D四个点为圆心，半径为的四个半圆， ∴曲线的周长为． 故选：B. 2．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．圆的圆心为，半径为5 B．圆的圆心为，半径为b C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 【答案】ABD 【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径即可判断四个选项的正误，进而可得符合题意的选项； 【详解】对于A：由圆可得：圆心为，半径为，故选项A错误； 对于B：由圆可得：圆心为，半径为，故选项B错误， 对于C：由圆可得：圆心为，半径为，故选项C正确； 对于D：由圆可得：圆心为，半径为，故选项D错误， 故选：ABD. 3．（24-25高二上·江苏无锡·期中）圆C的圆心在直线上，且C与x轴、y轴均相切，则C的半径为 . 【答案】2 【分析】设圆心为，由题意列式求解，即得答案. 【详解】因为圆C的圆心在直线上， 故设圆心为，由题意可得圆的半径为或， 则，解得，即得圆的半径为2， 故答案为：2 4．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 【答案】 【分析】求出圆心关于直线的对称点坐标，可求出对称后的圆的方程. 【详解】易知圆的圆心为， 设圆心关于直线对称的点坐标为， 可得，解得， 即圆的圆心坐标为，对称后半径不变， 所以圆的方程为. 【经典例题四 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 【例1】（24-25高二上·北京·期中）圆的圆心和的范围分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程变形为标准方程，进而求解. 【详解】由，得， 所以圆心为，由，得， 故选：A 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点A是圆上一动点，O为坐标原点，连接OA并延长到B，使．问：所有满足条件的点B组成的曲线是什么形状的？ 【答案】以为圆心，以4为半径的圆 【分析】设，由题意A为OB的中点，得，结合点A在圆C上，代入即可求得点B的轨迹． 【详解】由圆得， 该圆的圆心坐标为，半径为2，如图，    设， 由题意A为OB的中点，得， ∵点A是圆上一动点， ∴，则 整理得，即 ∴所有满足条件的点B组成的曲线是以为圆心，以4为半径的圆． 1．（23-24高二上·安徽六安·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将方程变形成圆标准方程的形式，易知即可得出表示的圆的个数为3个. 【详解】将方程变形可得， 若该方程表示圆则可得，即， 所以的取值有共3个，即表示的圆的个数也为3个. 故选：C 2．（多选题）（22-23高二上·辽宁沈阳·期中）若表示圆的一般方程，则实数的值可以是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】将已知方程配方成圆的标准方程的形式，再根据，可得的取值范围，从而可得实数的可能值. 【详解】解：将配方得. 要想表示圆，则，解得. 故选：BD. 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知圆的方程为，其面积为，则 . 【答案】 【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到圆的半径，利用圆的面积即可求得结果. 【详解】由得，圆的半径为， 由圆的面积为得，，解得. 故答案为：. 4．（22-23高二·全国·课堂例题）判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是圆心坐标为，半径为5的圆的方程 (2)是圆心坐标为，半径为的圆的方程 (3)不是圆的方程，理由见解析 【分析】（1）将方程配方成圆的标准方程的形式，可知其表示的是以为圆心，半径为5的圆； （2）将方程两边除以4，化简可得其表示的是圆心坐标为，半径为的圆； （3）通过配方可知方程无解，即其表示的不是圆的方程. 【详解】（1）原方程可以化为， 即，是圆的方程； 圆心坐标为，半径为5． （2）方程两边除以4，得． 将左边配方，得，是圆的方程； 即圆心坐标为，半径为． （3）因为原方程可以化为，即， 又因为满足上述方程的实数x，y不存在，所以原方程不是圆的方程． 【经典例题五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系】 【例1】（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 【例2】（23-24高二下·全国·课堂例题）判断与是否是圆的方程，并说明原因. 【答案】答案见解析 【分析】根据圆的一般方程对表达式进行判断即可得出结论. 【详解】易知即为，其中 满足，其圆心为，半径为的圆； 对于来说，，不是圆的方程. 1．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】若方程表示圆，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高二上·重庆巫溪·期中）方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】AB 【分析】由求出的取值范围，对各选项逐一验证即可. 【详解】由或. 故选：AB 3．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）若方程表示圆，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的一般方程条件，计算即可得到答案. 【详解】根据题意，方程表示圆， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知表示圆，求实数的值． 【答案】 【分析】将方程化为一般方程，利用方程表示的曲线为圆可得出关于实数的等式，求出的值，再代值检验即可得解. 【详解】解：由题意可知，则方程可化为. 所以，即，解得或， 当时，方程为，方程配方得，不符合题意； 当时，方程为，方程配方得，符合题意； 综上所述，. 【经典例题六 求圆的一般方程】 【例1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【详解】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）到两定点和的距离的比等于2（即），求动点的轨迹方程． 【答案】 【分析】根据题设建立方程求解即可. 【详解】，， 代入，得， 化简得， 则动点的轨迹方程为． 1．（23-24高一下·吉林白城·期末）某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（   ）    A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程，求解圆的方程，代入点，得解 【详解】如图，以线段所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为，，．    设圆拱所在的圆的方程是． 因为A，B，P在此圆上，故有 解得 故圆拱所在圆的方程是． 将点的横坐标代入上式， 结合图形解得. 故支柱的长为． 2．（2023·河南·模拟预测）圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心在射线上，设出圆心坐标，利用圆心到原点距离等于半径求得圆心坐标，即可求出圆的方程. 【详解】因为圆心在射线上，故设圆心为， 又半径为5，且经过坐标原点，所以，解得或（舍去）， 即圆的圆心坐标为，则圆的方程为， 即. 故选：C 3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）过三个点，，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法，建立方程组，解之即可求解. 【详解】设圆的一般方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程． 【答案】 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法直接求解即可. 【详解】设圆的方程为， 则有， 解得，即圆的方程为． 【经典例题七 由圆的一般方程确定圆心和半径】 【例1】（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】求两圆的圆心，再求直线方程. 【详解】圆的圆心为， 圆可化为， 所以圆心为，圆心所在直线的斜率为，所以两圆圆心所在直线的方程为. 故选：C 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是圆的方程 (2)不是圆的方程 (3)是圆的方程，圆心， (4)当时，不是圆的方程；当时，是圆的方程，圆心，. 【分析】圆的一般方程为：，其中系数相同，一般方程中不含有项，而且.圆心为，半径. 【详解】（1）由于的系数不相等，所以该二元二次方程表示的不是圆． （2）由于该二次方程中含有项，所以该二元二次方程表示的不是圆． （3）由于，所以该二元二次方程表示的是圆． 又由可得:圆心，半径． （4）， 当时，，不能表示圆的方程； 当时，，能表示圆的方程，此时圆心， 半径. 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先转化为圆的标准方程，求圆心，再求两点间距离. 【详解】根据题意，圆可化为， 所以圆的圆心为，所以圆心到坐标原点的距离为． 故选：B 2．（多选题）（22-23高二上·湖南郴州·期中）圆（　　） A．关于点对称 B．半径为 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】ABD 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由圆的性质求解. 【详解】可化为，即该圆圆心为，半径为. 由圆的性质可知该圆关于点对称，故AB正确； 因为圆心不在直线上，所以该圆不关于直线对称，故C错误； 因为圆心在直线上，所以该圆关于直线对称，故D正确； 故选：ABD 3．（24-25高二下·上海·期末）圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，把圆的方程化成标准方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为， ∴圆的半径为. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）求证：不论为何值，圆的圆心在同一直线上． 【答案】证明见解析 【分析】找出圆心坐标，消去参数即可. 【详解】证明：由圆方程得： ． 设圆心坐标为，则， 由得，代入化简得：， 所以不论为何值，圆心在同一直线上． 【经典例题八 圆的对称性的应用】 【例1】（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可. 【详解】圆关于直线对称, 即圆心在直线上， 由，得圆心， 则，得. 故选：D 【例2】（22-23高二上·吉林长春·阶段练习）某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆如图，已知圆的直径是米，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出点C的坐标，并求出这个圆的标准方程； (2)若一个大型载重卡车宽6米，高4.2米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由. 【答案】(1)， (2)能，理由见解析 【分析】（1）利用数形结合思想，根据圆的标准方程，可得答案； （2）利用圆的对称性，求隧道边缘最高点，比大小，可得答案. 【详解】（1）因为，所以C的，由圆心，，则圆C的方程是. （2）当时，米，因此正常行驶时卡车可以顺利通过. 1．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知A，B是圆的一条直径上的两个端点，则（ ） A．0 B．19 C． D．1 【答案】B 【分析】设，则，利用数量积公式以及圆的方程得出答案. 【详解】圆心坐标为，设，则，. 故选：B 2．（多选题）（23-24高二上·山东·期中）圆（    ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】AC 【分析】先把圆化为标准方程，找到圆心，对于A：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，即可判断；对于B、C、D：根据直径所在直线为圆的对称轴，只需判断直线是否经过圆心即可. 【详解】，所以圆心的坐标为，半径为． A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，所以A正确； B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以B错误； C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，所以C正确； D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以D错误． 故选：AC． 3．（2022·云南·二模）设曲线关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】利用圆的性质，可知圆心在直线上，即可求. 【详解】表示圆心是，半径的圆，由条件可知，圆心在直线上，即，得. 故答案为： 4．（23-24高一下·江西上饶·阶段练习）求满足下列条件的各圆的标准方程： （1）圆心为点，且经过点． （2）经过，两点，且圆心在直线上． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用待定系数法设圆的标准方程为，可得，，再代入点即可得解； （2）根据垂径定理的逆定理线段的中垂线方程为过圆心，再结合条件即可得解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆心为点，即，， 又由圆经过点，则 所以圆的标准方程为． （2）线段的中垂线方程为， 由得圆心的坐标，所以半径， 圆的方程为. 【经典例题九 定点到圆上点的最值(范围)】 【例1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）如果实数满足，那么的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析方程得出圆心和半径，代数式表示圆上的点到原点的距离，通过数形结合得到最小值点，从而求得最小值. 【详解】是以为圆心，半径的圆， 所求代数式可以理解为求圆上的点到原点的距离， 如图： 显然最远距离和最小距离分别为圆与轴的交点和， ∴的最小值为. 故选：C. 【例2】（2023高二上·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据两点间距离公式模型，结合圆的性质进行求解即可. 【详解】如图所示， 可以看成圆上的点到点的距离． 圆心到点的距离．    由图可知，圆上的点到的距离的取值范围是， 即的取值范围是． 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【分析】先确定在圆内，再求出到圆心的距离，然后得到的取值范围即可. 【详解】因为，所以点在圆内， 又圆心，半径为7，点到圆心的距离为， 所以，即的取值范围为， 所以的值可能为7. 故选：B. 2．（多选题）（23-24高二上·江苏无锡·期中）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】ABC 【分析】根据的取值，计算的取值范围，即可判断选项. 【详解】圆，代入点， 则，则点在圆外， 所以的最大值为，最小值为，， 所以的取值范围是，所以的取值是3,5,7. 故选：ABC 3．（2025·陕西汉中·二模）设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出的值，即可得出的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为，所以的最大值为． 故答案为：. 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知为圆上任意一点，且点，求的最大值和最小值. 【答案】，. 【分析】首先根据圆的方程求圆心和半径，再利用几何性质求的最大值和最小值. 【详解】由圆， 可得圆的标准方程为， ∴圆心的坐标为，半径. 又， ∴点在圆外部， ∴，. 【经典例题十 圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)】 【例1】（23-24高三下·安徽·开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得圆心，半径，设，则，可得点的轨迹为正方形，结合圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，由圆，可得， 则圆心，半径， 设，则，可得点的轨迹为如下所示的正方形， 其中，则， 则，所以的最大值为. 故选：D. 【例2】（23-24高二上·全国·单元测试）若动点在圆上，求的最大值. 【答案】48 【分析】利用消元法结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由 得， 所以， 所以当时，取得最大值. 1．（23-24高二上·江苏镇江·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的最大值是（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆上的点到直线的最大距离，再利用面积公式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， ，为点到直线的距离， 又点在圆上， ， 又， ， 面积的最大值是. 故选：A. 2．（22-23高三上·北京通州·期末）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求得圆心的轨迹方程，然后结合点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】由于半径为1的圆（设为圆）经过点， 所以圆的圆心的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 到直线距离为， 所以圆的圆心到直线距离的最大值为. 故选：C 3．（2023高二上·全国·专题练习）圆上的点到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再加上圆的半径即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故答案为： 4．（24-25高二·全国·期中）已知以第二象限内点P为圆心的圆经过点和，半径为． (1)求圆P的方程； (2)设点Q在圆P上，试问使△的面积等于8的点Q共有几个？证明你的结论． 【答案】(1)； (2)2个，证明见解析. 【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，设出圆的标准方程，结合其过点，即可求得方程； （2）求得满足题意的点到直线的距离，结合圆上一点到定直线的距离，结合圆的对称性即可求解和证明. 【详解】（1）因为点和，故其中点坐标为，斜率为， 则线段的垂直平分线方程为：，即， 故可设圆的圆心为，则其标准方程为， 又其过点，即，解得或， 因为圆心在第二象限，故，即圆心坐标为， 故圆的标准方程为：. （2）点Q共有2个，证明如下： 因为，又直线方程为：， 若使得△的面积为8，设点到直线的距离为， 则，解得. 因为圆心到直线的距离为， 故，， 根据圆的对称性可知，使△的面积等于8的点Q共有2个. 【经典例题十一 过圆内定点的弦长最值(范围)】 【例1】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）过点的直线l被圆C：截得的弦长最短，则直线l的斜率是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的性质及弦长公式计算即可. 【详解】由圆，可得圆心坐标为， 根据圆的性质可知：当时，此时弦长最短， 因为，所以直线l的斜率为. 故选:D． 【例2】（23-24高二下·河北·开学考试）已知圆：，直线：． (1)证明：直线恒过定点． (2)设直线交圆于，两点，求弦长的最小值及相应的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)弦长的最小值为，对应的值为． 【分析】（1）先整理直线方程可得，由即可得解； （2）先设圆心到直线的距离为，要使直线被圆截得的线段长度最小，则需最大， 当直线垂直于直线时，取得最大值，最大值为的线段长度，根据垂直求得，结合距离公式和弦长公式即可得解. 【详解】（1）直线的方程可化为， 联立解得故直线恒过定点． （2）可化为，则圆心为，． 设圆心到直线的距离为，要使直线被圆截得的线段长度最小，则需最大， 当直线垂直于直线时，取得最大值，最大值为的线段长度． 因为，所以，解得． 由两点间距离公式可得， 所以直线被圆截得的最短弦长为． 综上，弦长的最小值为，对应的值为． 1．（23-24高二上·山东·期中）已知圆，直线过点，则直线被圆所截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理，过圆内一点的最短的弦，应垂直于该定点和圆心的连线，再结合弦长公式进行求解即可. 【详解】过点的直线被圆所截得的弦长的最小， 即点为弦的中点 所以若要弦长最小，只要圆心到直线的距离即为圆心到定点的距离， 圆心到直线距离的最大值为，所以弦长的最小值为. 故选：D 2．（22-23高二上·山西运城·阶段练习）已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】结合已知条件求出圆的圆心和半径，由圆的弦长公式和性质即可求解. 【详解】由圆的方程可知， 则圆心坐标，半径为， 因为，所以点在圆的内部， 设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长， 显然当最大时，弦长最小， 由圆的性质可知当时最大， 此时， 所以弦长的最小值为， 故选：D 3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时的方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可知，当最短时，直线，即可得到，从而得到结果. 【详解】   由题可知点在圆内， 当最短时，直线，所以. 又，所以， 所以的方程为，即. 故答案为：. 4．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线（为任意实数）与交于两点，求取得最小值时直线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】 （1）根据两点间距离公式进行求解即可； （2）根据直线所过的定点与圆的位置关系，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】（1）设， 因为动点与点的距离是它与点的距离的倍，所以有； （2）， 因为， 所以有， 因此直线过定点， 因为， 所以点在圆内，圆心为， 因此当直线与直线互相垂直时，有最小值， 所以直线的方程为. 【拓展训练一 圆的方程基础及互化】 【例1】（24-25高二上·江苏南通·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，已知圆拱跨度，拱高，桥面每隔有一个支柱，则支柱的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，写出圆的方程，根据的坐标即可求出的长． 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图， 设该圆拱梁所在圆的圆心为，则圆心在轴上，由题知圆拱跨度的一半，设该圆半径为， 则在中，，解得：． 故圆的方程为， 又桥面每隔有一个支柱，故， 将代入圆方程得：，因为， 解得：． 所以支柱的长为， 故选：C． 【例2】（23-24高二下·全国·课堂例题）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________.求圆的方程； 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】选择见解析； 【分析】设圆方程为，利用待定系数法即可得解； 【详解】若选①： 依题意，设圆方程为，，， 则，解得， 所以圆方程为，标准方程为． 若选②： 依题意，设圆方程为，， 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆方程为，标准方程为. 若选③： 依题意，点E为AB中点，故E点坐标为，圆E的半径， 所以圆标准方程为. 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆与直线相切于点，且圆过点，则圆的半径是（   ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】由题意可求得圆心在和上，联立方程组即可求出圆心为，圆心到的距离即为半径. 【详解】与直线垂直且过点的直线为：， 化简为，所以圆心在， 又因为圆心在和的垂直平分线上， 所以和的垂直平分线为， 所以，解得：， 所以所求圆的圆心，半径， 故选：A. 2．（多选题）（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆心，由题意可知，，，求出、的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的方程. 【详解】设圆心，由题意可知，，即，解得， 因为为直角三角形，则为直角三角形，则， 即，解得，则圆的半径为， 圆心为，因此，圆的方程为或， 故选：BC. 3．（2025高三·全国·专题练习）一束光线从点出发经轴反射后与圆相切于点，则光线的最短路程是 ． 【答案】 【分析】先求出点关于轴的对称点为，光线从点出发经轴反射后到圆上的最短路程就是点到圆的切线长，将圆的方程化为标准方程，得出圆心和半径，再利用勾股定理即可. 【详解】点关于轴的对称点为， 将圆化为标准方程，得，圆心，半径， 则的距离为, 设光线的最短路程为，由圆的切线性质可知，切线长、圆心与切线的连线与的连线构成直角三角形， 则. 故答案为：. 4．（22-23高二·全国·课后作业）已知下列方程表示的是圆，写出方程系数a，b的取值范围，并指出各圆的圆心和半径： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）（2）（3）化圆的一般方程为标准方程，利用半径大于0，可求a,b的取值范围，并可得出圆心与半径. 【详解】（1）由可化为：， 所以，圆心为，半径为. （2）由可化为：， 所以，圆心为，半径为. （3）由可化为：， 所以，圆心为，半径为. 【拓展训练二 圆的方程应用及特性】 【例1】（23-24高二上·广东东莞·期末）东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（    ）（参考数据：） A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米 【答案】B 【分析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为，利用待定系数法求出圆的方程，将代入即可求得. 【详解】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 设圆心坐标为，则， 可设圆拱所在圆的方程为, 由题意可得：， 解得：， 所以所求圆的方程为， 将代入圆方程,得: , 因为，所以. 故选：B. 【例2】（23-24高二上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 【答案】(1) (2)过定点，理由见解析 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由圆M过某一定点得，求解即可 【详解】（1）设圆M的方程为：. ∵，，在圆M上， ∴，解得，，， 圆M的方程为： 当时，圆M的方程为：. （2）由（1）圆M的方程可化为：， 要使圆M过某一定点，∴，解得，， ∴圆M过定点. 1．（2024·四川绵阳·二模）已知曲线与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C（A，B，C均不重合）三点的圆的半径不可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】设出圆的方程，利用给定条件用m表示圆的半径，并求出半径的取值范围即得. 【详解】依题意，设点，则是方程的两个实根， ，， 显然点，当时，曲线过原点，点与点之一重合，不符合题意，则， 设过三点的圆方程为，由，得， 显然是的两个根，于是， 又，联立解得，又， 因此，而当或时，， 所以过三点的圆的半径的取值范围是，BCD均可能，A不可能. 故选：A 2．（多选题）（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C．过三点的圆过定点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设过的圆P的方程为列出方程组，利用圆系方程推出圆P恒过定点即可． 【详解】由曲线Γ：， 令，得． 设， 则可得，且． 令，得，即． 设过的圆P的方程为， 满足 代入P得 展开得， 当，即或时方程恒成立， ∴圆P恒过定点或． 故选：AD 3．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）圆 关于直线对称的圆的方程为 . 【答案】 【分析】先求出圆心的对称点，然后求解对称圆的方程即可. 【详解】圆的圆心为， 则关于对称的点设为：，故. 与的中点为：， 中点在直线上，所以. 解得：，所以对称圆的圆心为：. 所以圆 关于直线对称的圆的方程为： . 故答案为：. 4．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若､､分别是圆，，轴上的动点，求的最小值. 【答案】 【分析】先解出与坐标轴的交点，再由三个交点得出圆的方程，在圆上取一点，使得，则，最后由得出的最小值. 【详解】在中，令得曲线与轴的交点 令得出曲线与轴的交点 设圆的方程为 则，解得 故圆的方程为 设圆为，圆关于轴对称的圆的方程为，则 在圆上取一点，使得，则 故的最小值为 【拓展训练三 圆上几何量的最值与计算】 【例1】（2025·重庆·三模）已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由得到点的轨迹方程，再由圆心到原点的距离减去半径可得. 【详解】因为所以点在以为直径的圆上， 圆的方程为， 所以的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即. 故选：B. 【例2】（22-23高二上·四川遂宁·期末）平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在y轴的正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)设，过点作直线，交圆于P、Q两点，不在y轴上，过点作与直线垂直的直线，交圆于、两点，记四边形的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)7 【分析】 (1)设圆心为(0,a)，a>0，结合直线与圆相切，计算出a＝2即可； (2)假设直线方程，借助垂径定理计算出，结合两直线垂直关系同理可得，而，化简后借助基本不等式计算最大值即可. 【详解】（1）设圆心为(0,a)，a>0，则圆的方程为 ∴， ∴a＝2，∴圆C的方程为； （2）设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线斜率不存在，则，，则， （ii）若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，因为，所以S的最大值为7. 1．（2024·重庆·模拟预测）已知点为圆上一点，，则的最大值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设,表示出,继而得,将问题转化为圆上的动点到的距离的最大值问题,可得答案. 【详解】设,则, , 则, 故, 而的几何意义为圆上的动点到的距离, 其最大值为, 的最大值为, 故选：A 2．（24-25高二下·湖南常德·期中）已知圆，过点的直线被圆截得的弦长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出过点的最短弦长和最长弦长，得到弦长的取值范围，即得解. 【详解】解：由题得，所以点在圆内， 所以过点的直线被圆截得的最长弦长为圆的直径6. 过点且与垂直的弦最短，所以， 所以此时弦长为，所以弦长的范围为. 故选：BC 3．（2025·湖北十堰·三模）定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】记为坐标原点，作出图形，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】记为坐标原点，圆的圆心为原点，圆的半径为，    由圆的几何性质可知，， 且，即，即， 当且仅当点时，取最小值，当且仅当点时，取最大值， 故. 故答案为：. 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知x，y满足(x－1)2＋y2＝1，求S＝的最小值． 【答案】 【分析】根据圆的几何性质可得S最小值为定点与圆心的距离减去半径. 【详解】因为， 又点(x，y)在圆(x－1)2＋y2＝1上运动， 即S表示圆上的动点到定点(－1，1)的距离， 显然最小值为定点与圆心的距离减去半径， 即最小值为， 所以的最小值为. 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的泰勒圆，已知点、、，则的泰勒圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定圆心和圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】因为点、、， 则，，， 所以，是正三角形，如下图所示： 设、、分别为边、、的中点，则、、， 则，，， 过点分别作、，垂足分别为点、， 因为，，则， 因为为的中点，则为的中点，同理可知，为的中点， 设的泰勒圆与各边的其它交点分别为、、、， 易得、、、、、， 由对称性知，等边的中心为其泰勒圆的圆心， 且， 同理可得， 因此，等边的泰勒圆的方程为， 故选：C. 2．（24-25高三上·北京昌平·期中）由曲线围成的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论研究曲线的性质并画出示意图，数形结合判断图形构成求面积. 【详解】当时，曲线为， 当时，曲线为， 当时，曲线为， 当时，曲线为， 同时点均在曲线上，如下图示， 所以围成图形是4个半径均为的半圆，与1个边长为的正方形组成， 故图形面积为. 故选：A 3．（23-24高二上·辽宁锦州·期末）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解不等式即可. 【详解】由题意得，即，解得或， 所以k的取值范围是， 故选：C. 4．（24-25高二上·安徽·期中）在平面直角坐标系中，，，点在圆C：上运动，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】设存在定点，使得，化简可得，结合，得出，可得的最小值为，即得结果. 【详解】设存在定点，使得点在圆上运动时均有， 设，则有， 化简可得，①， 又因为，即，②， 将②代入①化简可得：， 即，解得，故， 所以， 所以， 当且仅当三点共线且在线段上时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B. 5．（24-25高二上·贵州·期中）已知实数，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】令，利用判别式法即可. 【详解】令，则， 由， 得， 整理得，， 因为存在实数满足等式， 所以， 解得， 则的最大值为，此时，. 故选：C. 6．（多选题）（23-24高二上·福建福州·期中）圆与轴相切，且经过两点，则圆可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆的圆心为，则半径.根据已知可得，代入坐标化简得出.，整理可得，.联立即可得出圆心以及半径，进而得出答案. 【详解】设圆的圆心为，则半径. 又点，在圆上， 所以有， 即， 整理可得，. 又，即， 整理可得，. 联立可得，或， 所以，圆心坐标为或. 当圆心坐标为时，，圆的方程为； 当圆心坐标为时，，圆的方程为. 综上所述，圆的方程为或. 故选：BC. 7．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点分别为，，，则（    ） A．三角形OMN外接圆的方程为 B．三角形OMN外接圆的半径长为5 C．三角形OMN外接圆的圆心坐标 D．大于三角形OMN外接圆的半径 【答案】ABC 【分析】求出线段的垂直平分线的方程，两条垂直平分线的交点坐标即为圆心坐标，再求得半径后可得圆标准方程，求出后可判断各选项． 【详解】OM中点，中点，OM的垂直平分线PE的直线方程为①．MN的垂直平分线PF的直线方程为②． 联立①②，得解得则点为PE，PF的交点，即为圆心，，即为圆的半径．所以圆的方程为．． 故选：ABC． 8．（多选题）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AD 【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 9．（多选题）（22-23高二上·江苏常州·期末）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离超过 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ABD 【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图象，由图象即可判断各选项. 【详解】当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为， 曲线的图像如图所示； 对于A：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B：曲线由4个半圆组成，故其周长为，故B正确； 对于C：曲线上点与点的距离为，故C错误； 对于D：圆心到直线的距离为，到直线的距离， 若使最小，则有， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选题）（2023·福建泉州·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，点M为圆C上的一动点，点，记M到l的距离为d，则（    ） A． B．d的最大值为 C．是等腰三角形 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据垂径定理以及弦长公式，可得答案； 对于B，根据题意作图，结合圆上点与直线的位置关系，可得答案； 对于C，求弦的中垂线的直线方程，根据中垂线的性质，可得答案； 对于D，由题意，作图，根据线段组合，求得答案. 【详解】对于A，由圆，可得，半径为， 点到直线的距离为，则，故A正确； 对于B，由题意，可作下图： 点为弦的中点，直线，则，故B错误； 对于C，由选项B与题意，如下图： 易知，，则直线的斜率， 由，则直线的斜率，由， 则直线的方程为，则， 即点在直线上，为的中垂线，是等腰三角形， 故C正确； 对于D，由题意，可作图： 则，显然，则， 故D正确； 故选：ACD. 11．（2025·陕西西安·模拟预测）已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，联立两曲线方程，消去可得关于的一元三次方程，设出圆的一般式，分别将曲线代入圆的方程，化简得到关于的一元三次方程，然后对比，列出方程，即可得到圆的方程，从而得到结果. 【详解】联立方程，消去可得， 设过交点的圆的方程为， 将代入圆的方程，可得， 即， 再将代入，即可得到， 对比， 可得，解得， 所以圆的方程为， 配方可得， 则圆的半径为， 所以外接圆的面积为. 故答案为：. 12．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知点为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】取点，计算出，，数形结合得到的最小值为，从而得到的最小值. 【详解】可知圆的圆心为，半径， 设，，则， 所以 ， 所以，， 过点作⊥，交圆于点， 故的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：9. 13．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是 ．半径的最大值为 ． 【答案】 【分析】先对方程配方形成圆的标准式，进而求出实数的取值范围即可；再由，进而求出半径的最大值即可. 【详解】由题意知：，所以， 所以的取值范围为； 由因为，当且仅当时， . 故答案为：；. 14．（23-24高二上·北京顺义·期中）关于曲线，给出下列四个结论：①曲线关于原点对称，也关于轴､轴对称：②曲线围成的面积是；③曲线上任意一点到原点的距离者不大于；④曲线上的点到原点的距离的最小值为1.其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】画出曲线的图象，根据对称性、面积、图象等知识确定正确答案. 【详解】曲线， 则时，， 时，， 时，， 当时，， 由此画出曲线的图象如下图所示， 由图可知： 曲线关于原点对称，也关于轴、轴对称，①正确. 曲线围成的面积是，②错误. 曲线上任意一点到原点的距离者不大于，③正确 曲线上的点到原点的距离的最小值为1，即， 所以④正确. 故答案为：①③④. 15．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知O为坐标原点，点M满足，则点M到直线距离的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由题意可知，点M的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，而直线恒过定点，则点M到直线距离的最大值为：即可求解． 【详解】解：由题意可知，点M的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆， 如图所示： 直线，即， 则直线恒过定点， 则点M到直线距离的最大值为：． 故答案为： 16．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）分别根据下列条件求圆的标准方程： (1)圆心为，且与x轴相切； (2)过三点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由题意可以先求出圆的半径，然后结合圆心即可直接写出圆的标准方程. （2）首先由待定系数法求出圆的一般方程，然后将其化为标准形式即可. 【详解】（1）因为圆与x轴相切，且圆心为， 所以圆的半径为， 所以以为圆心，为半径的圆的标准方程为. （2）不妨设圆的方程为， 由题意将代入圆的方程得， 解方程组得， 所以过三点的圆的方程为， 将其化为标准形式得. 17．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，设圆的圆心C在直线：上，且，都是圆上的点，求圆的标准方程. 【答案】 【分析】用待定系数法设圆的方程为，根据题中的关系，求出，，即可. 【详解】设所求圆的方程为， 由题意得 解得，，， 因此所求圆的方程为. 18．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)表示圆，圆心为，半径为 (2)表示点 (3)表示圆，圆心为，半径为 (4)表示点 【分析】根据、配方法以及圆心坐标公式，半径公式求得正确答案. 【详解】（1）对于方程， ， 所以方程表示圆， 圆心坐标为，即，半径为. （2）对于方程，即， . 方程可化为， 表示点. （3）方程，即， ， 所以方程表示圆， 圆心坐标为，即，半径为. （4）方程即， 故表示点. 19．（24-25高二上·重庆·阶段练习）平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离”，“光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. (1)求的最大值； (2)过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，几何意义为：到的距离，几何意义为：到的距离，即可求解； （2）即与的距离，由最小值转换成点到线的距离即可求解； 【详解】（1）化成标准方程：，圆心为，半径为2， 设， 则，几何意义为到的距离， 其最大值为圆心到的距离加上半径，即：， ，几何意义为到的距离， 其最小值为圆心到的距离减去半径，即：， 所以的最大值为， 即的最大值为； （2）由，即与的距离， 设过点的直线方程为：，因为过圆心，可得：， 即方程为， 由题意，若的最小值为1，即到的距离为1， 可得：， 平方化简可得：， 解得：或，即， 所以直线方程为：或. 20．（22-23高二上·辽宁·期中）已知圆C的圆心在直线l：上并且圆心的横坐标大于0，过点的直线与圆C相交的最短弦长为4，最长弦长为6. (1)求圆C的标准方程； (2)若点在圆C上，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆C的圆心为（），半径为R.由已知建立方程组，求解可得圆的方程； （2）令，则可得，再根据正弦函数的性质可求得所求的范围. 【详解】（1）解：设圆C的圆心为（），半径为R.即圆C：. 依题意有：，，， 解得，，或（舍去）， ∴圆C的标准方程为：. （2）解：令，则， 当时，即时，； 当时，即时，； ∴.的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 圆的方程重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 由圆心(或半径)求圆的方程 题型二 求过已知三点的圆的标准方程 题型三 由标准方程确定圆心和半径 题型四 圆的一般方程与标准方程之间的互化 题型五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 题型六 求圆的一般方程 题型七 由圆的一般方程确定圆心和半径 题型八 圆的对称性的应用 题型九 定点到圆上点的最值(范围) 题型十 圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 题型十一 过圆内定点的弦长最值(范围) 拓展训练一 圆的方程基础及互化 拓展训练二 圆的方程应用及特性 拓展训练三 圆上几何量的最值与计算 知识点一：圆的标准方程 1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆， 定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、确定圆的基本要素是：圆心和半径 3、圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 【即时训练】 1．（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）圆心在x轴上，并且过点和的圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为 . 知识点二：点和圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 【即时训练】 1．（23-24高二上·吉林·期中）过点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 知识点三：圆的一般方程 1、定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2、一般方程与标准方程关系： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点. （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 【即时训练】 1．（23-24高一下·陕西渭南·期末）若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过三点的圆的一般方程为 ． 【经典例题一 由圆心(或半径)求圆的方程】 【例1】（24-25高二下·河南周口·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·河南安阳·期中）（1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 1．（2025·海南·模拟预测）如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．(多选题)（24-25高三下·全国·开学考试）已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·海南·阶段练习）圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 4．（24-25高二上·广东深圳·期中）求满足下列条件的圆的标准方程. (1)圆心为，经过点； (2)圆心在直线上，且与轴交于点. 【经典例题二 求过已知三点的圆的标准方程】 【例1】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过三点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 1．（24-25高二上·上海·期末）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知圆经过三点，则该圆经过的整点共有（    ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 3．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知圆经过三个点分别是，，，则圆的方程为 ． 4．（24-25高二上·北京石景山·期末）在中，是坐标原点，，，求的外接圆方程. 【经典例题三 由标准方程确定圆心和半径】 【例1】（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）求出下列方程表示的圆的圆心和半径： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25高二上·全国·单元测试）曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．圆的圆心为，半径为5 B．圆的圆心为，半径为b C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 3．（24-25高二上·江苏无锡·期中）圆C的圆心在直线上，且C与x轴、y轴均相切，则C的半径为 . 4．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 【经典例题四 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 【例1】（24-25高二上·北京·期中）圆的圆心和的范围分别是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点A是圆上一动点，O为坐标原点，连接OA并延长到B，使．问：所有满足条件的点B组成的曲线是什么形状的？ 1．（23-24高二上·安徽六安·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选题）（22-23高二上·辽宁沈阳·期中）若表示圆的一般方程，则实数的值可以是（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知圆的方程为，其面积为，则 . 4．（22-23高二·全国·课堂例题）判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由． (1)； (2)； (3)． 【经典例题五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系】 【例1】（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二下·全国·课堂例题）判断与是否是圆的方程，并说明原因. 1．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·重庆巫溪·期中）方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ） A． B．2 C．1 D．0 3．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）若方程表示圆，则实数的取值范围为 . 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知表示圆，求实数的值． 【经典例题六 求圆的一般方程】 【例1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）到两定点和的距离的比等于2（即），求动点的轨迹方程． 1．（23-24高一下·吉林白城·期末）某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（   ）    A． B． C． D．不确定 2．（2023·河南·模拟预测）圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（    ）. A． B． C． D． 3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）过三个点，，的圆的方程为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程． 【经典例题七 由圆的一般方程确定圆心和半径】 【例1】（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为（   ） A．或 B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A．1 B． C． D． 2．（多选题）（22-23高二上·湖南郴州·期中）圆（　　） A．关于点对称 B．半径为 C．关于直线对称 D．关于直线对称 3．（24-25高二下·上海·期末）圆的半径为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）求证：不论为何值，圆的圆心在同一直线上． 【经典例题八 圆的对称性的应用】 【例1】（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【例2】（22-23高二上·吉林长春·阶段练习）某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆如图，已知圆的直径是米，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出点C的坐标，并求出这个圆的标准方程； (2)若一个大型载重卡车宽6米，高4.2米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由. 1．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知A，B是圆的一条直径上的两个端点，则（ ） A．0 B．19 C． D．1 2．（多选题）（23-24高二上·山东·期中）圆（    ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 3．（2022·云南·二模）设曲线关于直线对称，则 ． 4．（23-24高一下·江西上饶·阶段练习）求满足下列条件的各圆的标准方程： （1）圆心为点，且经过点． （2）经过，两点，且圆心在直线上． 【经典例题九 定点到圆上点的最值(范围)】 【例1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）如果实数满足，那么的最小值是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2023高二上·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程，求的取值范围． 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 2．（多选题）（23-24高二上·江苏无锡·期中）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（2025·陕西汉中·二模）设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知为圆上任意一点，且点，求的最大值和最小值. 【经典例题十 圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)】 【例1】（23-24高三下·安徽·开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·单元测试）若动点在圆上，求的最大值. 1．（23-24高二上·江苏镇江·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的最大值是（    ） A．6 B．8 C． D． 2．（22-23高三上·北京通州·期末）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023高二上·全国·专题练习）圆上的点到直线的距离的最大值为 . 4．（24-25高二·全国·期中）已知以第二象限内点P为圆心的圆经过点和，半径为． (1)求圆P的方程； (2)设点Q在圆P上，试问使△的面积等于8的点Q共有几个？证明你的结论． 【经典例题十一 过圆内定点的弦长最值(范围)】 【例1】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）过点的直线l被圆C：截得的弦长最短，则直线l的斜率是（    ） A．1 B．2 C． D． 【例2】（23-24高二下·河北·开学考试）已知圆：，直线：． (1)证明：直线恒过定点． (2)设直线交圆于，两点，求弦长的最小值及相应的值． 1．（23-24高二上·山东·期中）已知圆，直线过点，则直线被圆所截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（22-23高二上·山西运城·阶段练习）已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时的方程为 ． 4．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线（为任意实数）与交于两点，求取得最小值时直线方程. 【拓展训练一 圆的方程基础及互化】 【例1】（24-25高二上·江苏南通·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，已知圆拱跨度，拱高，桥面每隔有一个支柱，则支柱的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二下·全国·课堂例题）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________.求圆的方程； 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆与直线相切于点，且圆过点，则圆的半径是（   ） A． B． C．8 D．9 2．（多选题）（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）一束光线从点出发经轴反射后与圆相切于点，则光线的最短路程是 ． 4．（22-23高二·全国·课后作业）已知下列方程表示的是圆，写出方程系数a，b的取值范围，并指出各圆的圆心和半径： (1)； (2)； (3). 【拓展训练二 圆的方程应用及特性】 【例1】（23-24高二上·广东东莞·期末）东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（    ）（参考数据：） A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米 【例2】（23-24高二上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 1．（2024·四川绵阳·二模）已知曲线与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C（A，B，C均不重合）三点的圆的半径不可能为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（多选题）（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C．过三点的圆过定点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）圆 关于直线对称的圆的方程为 . 4．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若､､分别是圆，，轴上的动点，求的最小值. 【拓展训练三 圆上几何量的最值与计算】 【例1】（2025·重庆·三模）已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（22-23高二上·四川遂宁·期末）平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在y轴的正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)设，过点作直线，交圆于P、Q两点，不在y轴上，过点作与直线垂直的直线，交圆于、两点，记四边形的面积为，求的最大值． 1．（2024·重庆·模拟预测）已知点为圆上一点，，则的最大值为（） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南常德·期中）已知圆，过点的直线被圆截得的弦长可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北十堰·三模）定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ． 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知x，y满足(x－1)2＋y2＝1，求S＝的最小值． 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的泰勒圆，已知点、、，则的泰勒圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京昌平·期中）由曲线围成的图形面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·辽宁锦州·期末）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽·期中）在平面直角坐标系中，，，点在圆C：上运动，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（24-25高二上·贵州·期中）已知实数，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．12 6．（多选题）（23-24高二上·福建福州·期中）圆与轴相切，且经过两点，则圆可能是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点分别为，，，则（    ） A．三角形OMN外接圆的方程为 B．三角形OMN外接圆的半径长为5 C．三角形OMN外接圆的圆心坐标 D．大于三角形OMN外接圆的半径 8．（多选题）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 9．（多选题）（22-23高二上·江苏常州·期末）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离超过 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 10．（多选题）（2023·福建泉州·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，点M为圆C上的一动点，点，记M到l的距离为d，则（    ） A． B．d的最大值为 C．是等腰三角形 D．的最小值为 11．（2025·陕西西安·模拟预测）已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为 . 12．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知点为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为 . 13．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是 ．半径的最大值为 ． 14．（23-24高二上·北京顺义·期中）关于曲线，给出下列四个结论：①曲线关于原点对称，也关于轴､轴对称：②曲线围成的面积是；③曲线上任意一点到原点的距离者不大于；④曲线上的点到原点的距离的最小值为1.其中，所有正确结论的序号是 . 15．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知O为坐标原点，点M满足，则点M到直线距离的最大值为 . 16．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）分别根据下列条件求圆的标准方程： (1)圆心为，且与x轴相切； (2)过三点. 17．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，设圆的圆心C在直线：上，且，都是圆上的点，求圆的标准方程. 18．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（24-25高二上·重庆·阶段练习）平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离”，“光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. (1)求的最大值； (2)过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 20．（22-23高二上·辽宁·期中）已知圆C的圆心在直线l：上并且圆心的横坐标大于0，过点的直线与圆C相交的最短弦长为4，最长弦长为6. (1)求圆C的标准方程； (2)若点在圆C上，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$