专题1.8 直线与方程140道计算题专项训练（12大题型）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019选修第一册）

专题1.8 直线与方程140道计算题专项训练（14大题型） 题型一 已知两点求斜率 题型二 已知斜率求参数 题型三 斜率公式的应用 题型四 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型五 由两条直线平行求方程 题型六 由两条直线垂直求方程 题型七 直线过定点问题 题型八 已知直线平行求参数 题型九 已知直线垂直求参数 题型十 由直线的交点坐标求参数 题型十一 求平面两点间的距离 题型十二 用两点间的距离公式求函数最值 题型十三 已知点到直线距离求参数 题型十四 求平行线间的距离 【经典计算题一 已知两点求斜率】 1．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值 2．（24-25高二上·新疆喀什·阶段练习）设直线过点．求直线的斜率及倾斜角的范围. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知直线经过点，且与线段MN相交，又，，求直线的斜率k的取值范围． 4．（23-24高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知 (1)求直线AB的斜率k； (2)已知实数，求直线AB的倾斜角的取值范围． 6．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）如图，直线的倾斜角，直线，求，的斜率； （2）求经过两点，的直线的斜率． 7．（23-24高二下·全国·课后作业）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 8．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l过点，，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围． 9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 10．（23-24高二上·上海·课后作业）已知，求经过、两点的直线的斜率． 【经典计算题二 已知斜率求参数】 11．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 12．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的斜率，，，是这条直线上的三个点，求的值． 13．（23-24高二上·全国·课后作业）经过两点的直线的倾斜角为．若点在直线上，求的值． 14．（2023高二下·山东潍坊·阶段练习）直线的倾斜角为，且该直线经过点，，求k的值. 15．（22-23高二·全国·课后作业）已知斜率为3的直线过点（1，1）和（x，-2），求实数x的值. 16．（24-25高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若直线的斜率，求点的坐标． 17．（24-25高二·全国·课后作业）已知点，，且直线PQ的斜率为1，求实数m的值． 18．（22-23高二·江苏·课后作业）已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，求实数x和y的值． 19．（23-24高二·全国·课后作业）已知经过的直线的斜率为3，求实数a的值． 20．（23-24高二·全国·课后作业）（1）直线l过A（﹣a，8），B（2，2a）两点且k＝12，求实数a的值. （2）已知经过两点A（5，m），B（m，8）的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围. 【经典计算题三 斜率公式的应用】 21．（2025高二·全国·专题练习）一束光线从点射入，经过轴（镜面）上的点反射后，过点，求点的坐标． 22．（2022高二·全国·专题练习）若，且三点共线，求的值． 23．（22-23高二·全国·课堂例题）已知，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 24．（2023高三·全国·专题练习）设，比较的大小． 25．（24-25高一下·全国·课后作业）若三点共线，求的值. 26．（23-24高一下·全国·课后作业）已知交于点的四条直线的倾斜角之比为，又知过点，求这四条直线的倾斜角. 27．（23-24高二·全国·课后作业）光线从点射到轴上的点，经轴反射后过点，试求点的坐标及入射光线的斜率． 28．（24-25高二上·全国·单元测试）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 29．（23-24高二上·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 30．（23-24高二上·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【经典计算题四 直线与线段的相交关系求斜率范围】 31．（2025高三·全国·专题练习）若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 32．（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 33．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，求直线的斜率的取值范围． 34．（24-25高二·全国·课后作业）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 35．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，已知点、、，点是线段上任意一点，求直线的斜率的取值范围．    36．（22-23高二·全国·课堂例题）已知点在函数的图象上，当时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 37．（24-25高二·全国·课后作业）已知． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 38．（22-23高二上·广东汕尾·阶段练习）已知，，. (1)求直线和的斜率； (2)若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的取值范围. 39．（22-23高二上·黑龙江七台河·阶段练习）经过点作直线，且直线与连接点，的线段没有公共点，求直线的倾斜角和斜率的取值范围． 40．（23-24高二·全国·课后作业）已知点，直线与线段有交点，求l的斜率的取值范围． 【经典计算题五 由两条直线平行求方程】 41．（23-24高二上·吉林四平·阶段练习）一条直线经过点分别求出满足下列条件的直线方程： (1)与直线平行： (2)交x轴､y轴的正半轴于A，B两点，且取得最小值. 42．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一条直线经过点. (1)求与直线平行的直线方程及与坐标轴的交线长； (2)若该直线与轴、轴的正半轴交于两点，求的最小值. 43．（23-24高二上·四川巴中·期中）已知直线过点（1，2）. (1)若直线与平行，求直线的方程； (2)若直线与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，求的面积的最小值. 44．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知直线与直线交于点P. (1)求过点P且平行于直线的直线的方程；（结果写成直线方程的一般式） (2)求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线的方程.（结果写成直线方程的一般式） 45．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）求符合下列条件直线的方程： (1)过点A（-3，-1），且倾斜角为． (2)过点P（3，4），且两点到这直线距离相等． 46．（24-25高二·江苏·课后作业）已知点不在直线上，直线过点，且它的斜率与直线的斜率相等，证明：直线的方程可以写成． 47．（22-23高二上·浙江绍兴·期中）已知中，，，.求： (1)中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程； (2)BC边的中线所在直线的截距式方程. 48．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 49．（22-23高二·全国·课堂例题）已知直线l的方程为，求直线的方程，使满足： (1)过点，且与l平行； (2)过点，且与l垂直； (3)与l垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4. 50．（22-23高二下·江苏扬州·开学考试）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 【经典计算题六 由两条直线垂直求方程】 51．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)求的值. 52．（24-25高二上·吉林长春·期中）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线在轴上的截距是14． (1)求菱形的对角线所在直线的方程； (2)求边所在直线的方程． 53．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知的顶点坐标为. (1)若点是边上的中点，求直线的方程； (2)求边上的高所在的直线方程. 54．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 55．（23-24高二上·北京·期中）已知三角形的顶点为，，. (1)求BC边上的中线所在直线方程； (2)求BC边上的高线所在直线方程. 56．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点和． (1)若是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程； (2)若是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程． 57．（22-23高二上·广西防城港·期末）已知直线与轴，轴的交点分别为.直线经过点且倾斜角为. (1)求直线的一般方程； (2)求线段的中垂线方程. 58．（23-24高二上·北京西城·期中）已知的顶点坐标为 (1)求边所在的直线方程； (2)过点作边上的高，求高所在的直线方程． 59．（23-24高二上·北京·期中）已知直线均过点P(1，2). (1)若直线过点A(-1，3)，且求直线的方程； (2)如图，O为坐标原点，若直线的斜率为k，其中，且与y轴交于点N，直线过点，且与x轴交于点M，求直线与两坐标轴围成的四边形PNOM面积的最小值. 60．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为. (1)求对角线所在直线方程； (2)已知直线过点，与直线的夹角为，求直线的方程. （以上所求方程都以直线的一般式方程作答） 【经典计算题七 直线过定点问题】 61．（2024高三·全国·专题练习）求证：动直线（其中）恒过定点，并求出定点坐标. 62．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 63．（2023高三·全国·专题练习）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点，若直线过定点M，且M是线段AB的中点，求实数的值． 64．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线的方程是.求证：对于任意，直线均经过定点，并求此定点的坐标. 65．（22-23高二上·吉林·期末）设直线的方程为. (1)求直线所过定点的坐标； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程. 66．（22-23高二·全国·课后作业）已知为直线的方程，求证：不论取何实数，直线必过定点，并求出这个定点的坐标． 67．（2022高三·全国·专题练习）已知，直线：，求直线经过的定点的坐标. 68．（23-24高二·江苏·课后作业）证明：无论k取任何实数，直线必经过一个定点，并求出定点的坐标． 69．（24-25高三上·云南文山·期末）已知直线． (1)求恒过的定点的坐标； (2)若经过点，求直线的方程． 70．（23-24高二上·全国·期末）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【经典计算题八 已知直线平行求参数】 71．（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 72．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 73．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 74．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线. (1)当为何值时，？ (2)当为何值时，？ 75．（24-25高二上·青海海南·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的值． 76．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 77．（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 78．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 79．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线：和直线：．若与平行，求a的值． 80．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知：，：，求当m为何值时，与相交、平行或重合． 【经典计算题九 已知直线垂直求参数】 81．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 82．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 83．（23-24高二上·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值；（2）直线与直线垂直，求的值. 84．（2024高二·全国·专题练习）已知定点，以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标． 85．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知直线，直线，其中． (1)若直线经过点，且，求m，n； (2)若直线，当与之间的距离取最大值时，求直线的方程． 86．（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 87．（22-23高二上·辽宁·期中）已知直线：，直线： (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 88．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线经过点，直线经过点.若，求a的值. 89．（22-23高二上·安徽黄山·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 90．（23-24高二上·四川·期中）已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 【经典计算题十 由直线的交点坐标求参数】 91．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知三条直线，和. (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值. 92．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与的交点在y轴上，求m的值． 93．（22-23高二上·山东泰安·期中）已知直线：，：，且． (1)求k的值； (2)若直线与的交点的直线上，求直线的方程． 94．（22-23高二上·江苏常州·期中）设为实数，已知直线：，：. (1)若与平行，求的值； (2)若与的交点在直线上，求的值. 95．（23-24高二·全国·课后作业）平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分为六个部分，求实数的所有可能的取值． 96．（24-25高二·全国·单元测试）若直线与直线的交点在第四象限，求实数m的取值范围． 97．（22-23高二·全国·课后作业）两条直线与互相垂直，交于点，求的值． 98．（23-24高二上·全国·课后作业）三条直线，与相交于一点，求a的值． 99．（22-23高二·全国·课后作业）已知两定点，M和N是过原点的直线l上的两个动点，且，，如果直线AM和BN的交点C在y轴上，求M、N及C点的坐标． 100．（22-23高二·全国·课后作业）若两条直线和的交点在第四象限，求的取值范围． 【经典计算题十一 求平面两点间的距离】 101．（2025高三·全国·专题练习）若，求的最大值. 102．（22-23高二下·河北石家庄·期末）已知，，求的值. 103．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点． (1)若，求直线的方程； (2)若点在直线上，求的最小值． 104．（23-24高二上·福建三明·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求： (1)直线的一般式方程； (2)求的边的长． 105．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线和． (1)求经过原点与垂直的直线方程； (2)若直线和与x轴分别交于A，B两点，求|AB|． 106．（23-24高二上·北京西城·期中）已知的顶点坐标为、、． (1)求边的中线长； (2)求边的高线所在直线方程． 107．（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知：，和. (1)若A，B，C三点共线，求t的值； (2)若，求t的值. 108．（23-24高二·江苏·课后作业）已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，求线段AB的长． 109．（23-24高二上·江苏·课后作业）在直线上求一点P，使它到点的距离为5，并求直线PM的方程. 110．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）求，两点间的距离； （2）已知点，在轴上的点与点的距离等于，求点的坐标． 【经典计算题十二 用两点间的距离公式求函数最值】 111．（2024高三·全国·专题练习）求证：． 112．（22-23高二·全国·课后作业）求函数的最小值． 113．（22-23高二上·山西晋中·阶段练习）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点：对于函数，求的最小值. 114．（23-24高二上·全国·期中）求函数的最大值． 115．（24-25高二上·吉林白城·期中）已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 116．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 117．（24-25高三下·北京·强基计划）求的值域. 118．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数   (1)求函数在区间上的解析式； (2)已知点，点是函数在区间上的图象上的点，求的最小值. 119．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最大值. 120．（22-23高二·全国·随堂练习）求函数的最大值． 【经典计算题十三 已知点到直线距离求参数】 121．（24-25高二上·浙江丽水·期中）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为2，求直线的方程． 122．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知直线及点. (1)若与垂直的直线过点，求与的值； (2)若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 123．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 124．（23-24高二上·浙江·期中）已知直线和直线的交点为 (1)求过点且与直线平行的直线方程； (2)若点到直线距离为，求的值. 125．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知两条直线与的交点，求： (1)过点且过原点的直线的方程； (2)在（1）的条件下，若直线与l平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程. 126．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线与直线相交于点，且点在直线上. (1)求点的坐标和实数的值； (2)求与直线平行且与点的距离为的直线方程. 127．（23-24高二上·重庆开州·阶段练习）已知点，直线过点， (1)若A到直线距离为2，求直线的方程； (2)若A、B到直线距离相等，求直线的方程. 128．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点到直线的距离等于4，求实数的值． 129．（22-23高二上·辽宁鞍山·期中）已知直线的斜率为，且直线经过直线所过的定点． (1)求直线的方程； (2)若直线平行于直线，且点到直线的距离为，求直线的方程． 130．（22-23高二上·河南·期中）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，点． (1)若直线过点，求直线的方程; (2)若点到直线的距离为，求直线的方程． 【经典计算题十四 求平行线间的距离】 131．（24-25高二上·天津红桥·期中）已知、为直线上两点， 直线:. (1)求直线的方程； (2)若 ，求直线与之间的距离． 132．（24-25高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知直线与直线. (1)当为何值时，与平行，并求与的距离; (2)当为何值时，与垂直. 133．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线：和：． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若与互相平行，求与间的距离． 134．（24-25高二上·上海·课后作业）经过点，分别作两条平行直线、，如果、之间的距离为3，求这两条直线的方程． 135．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线与直线． (1)若这两条直线垂直，求实数的值； (2)若这两条直线平行，求这两条平行线间的距离． 136．（23-24高二上·四川成都·期末）已知直线，． (1)若直线，求m的值； (2)若直线，求l1与l2的距离． 137．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）直线在轴的截距为，且过点． (1)求直线的方程； (2)已知点，直线过且与平行，求直线直线间的距离． 138．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）已知直线：，直线：，且. (1)求实数的值； (2)求、之间的距离. 139．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与直线的距离为，求实数的值． 140．（23-24高二上·上海·课后作业）求下列两条平行线之间的距离： (1)，； (2)，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.8 直线与方程140道计算题专项训练（14大题型） 题型一 已知两点求斜率 题型二 已知斜率求参数 题型三 斜率公式的应用 题型四 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型五 由两条直线平行求方程 题型六 由两条直线垂直求方程 题型七 直线过定点问题 题型八 已知直线平行求参数 题型九 已知直线垂直求参数 题型十 由直线的交点坐标求参数 题型十一 求平面两点间的距离 题型十二 用两点间的距离公式求函数最值 题型十三 已知点到直线距离求参数 题型十四 求平行线间的距离 【经典计算题一 已知两点求斜率】 1．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 【答案】(1)1 (2)3 【分析】（1）利用斜率与倾斜角的关系式及斜率公式即可求解； （2）三点共线，则，结合斜率公式即可求解. 【详解】（1）过两点的直线斜率， 所以，解得. （2），， 若三点共线，则， 即，解得， 所以当时，三点共线. 2．（24-25高二上·新疆喀什·阶段练习）设直线过点．求直线的斜率及倾斜角的范围. 【答案】当时，直线的斜率不存在，当时，直线的斜率； 【分析】分斜率存在和不存在两种情况求解，利用不等式的性质求出斜率的范围，再由正切函数的性质求出倾斜角的范围 【详解】当时，直线的斜率不存在， 当时，直线的斜率； 当时，，当时，，所以， 所以， 综上，直线的倾斜角的范围为. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知直线经过点，且与线段MN相交，又，，求直线的斜率k的取值范围． 【答案】 【分析】当直线垂直轴时设为，此时直线不存在斜率，可分“从PN位置转到位置、当从位置转到PM位置”两种情况分开讨论. 【详解】如图所示，直线相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，是过P点且与x轴垂直的直线． 当从PN位置转到位置时，倾斜角增大到，而，所以． 又当从位置转到PM位置时，倾斜角大于， 由正切函数的性质知，，所以． 综上所述，． 故答案是：. 4．（23-24高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3 (2) 【分析】（1）由斜率公式直接求解； （2）由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． （2）当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知 (1)求直线AB的斜率k； (2)已知实数，求直线AB的倾斜角的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合斜率公式可得； （2）分和两种情况，当时，根据m的取值范围求出斜率k的范围，然后结合正切函数图象可解. 【详解】（1）当时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为； 当时，由斜率公式得. （2）当时，直线AB的倾斜角为； 当时，因为， 所以， 所以. 由正切函数图象可知，    综上，倾斜角的取值范围为. 6．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）如图，直线的倾斜角，直线，求，的斜率； （2）求经过两点，的直线的斜率． 【答案】（1）120°，（2）答案见解析 【分析】（1）由斜率与倾斜角的关系可解； （2）分斜率不存在和存在两种情况进行讨论即可得答案. 【详解】（1）的斜率． ∵的倾斜角， ∴的斜率． （2）当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率． 7．（23-24高二下·全国·课后作业）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意线段∥，∥，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：∥，∥，设， 则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点A时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点A时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：， 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 8．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l过点，，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围． 【答案】直线l的倾斜角的取值范围是，斜率的取值范围是． 【分析】根据斜率公式即可结合的取值求解. 【详解】设l的斜率为k，倾斜角为，当时，斜率k不存在，， 当时，，此时为锐角，， 当时，，此时为钝角， 所以直线l的倾斜角的取值范围是，斜率的取值范围是． 9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】． 【分析】根据角度关系得，再根据两点斜率公式即可求出的坐标，则得到直线倾斜角. 【详解】设．．． 又， ，即． 又，垂直于轴． 直线的倾斜角为． 10．（23-24高二上·上海·课后作业）已知，求经过、两点的直线的斜率． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜率与倾斜角之间的关系可知，分别讨论斜率是否存在，并计算时的斜率即可. 【详解】根据题意可知， ①当时，， 即，此时直线的倾斜角为，斜率不存在； ②当时，利用两点间的斜率公式可得，直线的斜率为； 综上可知，当时，直线的斜率不存在；当时，直线的斜率为. 【经典计算题二 已知斜率求参数】 11．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线l与x轴平行，则直线的斜率，据此可以求m的值； （2）直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，据此可以得出m的值； （3）直线的倾斜角为，则直线的斜率，据此可以求m的值； （4）直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率，据此可以求出m的范围. 【详解】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率， 所以. （2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在， 所以. （3）由题意可知，直线l的斜率，即， 解得. （4）由题意可知，直线l的斜率，即，解得. 12．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的斜率，，，是这条直线上的三个点，求的值． 【答案】 【分析】依题意可得，由斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】依题意可得，即，解得，， 所以. 13．（23-24高二上·全国·课后作业）经过两点的直线的倾斜角为．若点在直线上，求的值． 【答案】， 【分析】由求得，然后由列式求解. 【详解】，解得，所以． 又三点共线，所以，所以． 即，. 14．（2023高二下·山东潍坊·阶段练习）直线的倾斜角为，且该直线经过点，，求k的值. 【答案】 【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出k的值． 【详解】直线的倾斜角为，且该直线经过点，， 所以，解得. 15．（22-23高二·全国·课后作业）已知斜率为3的直线过点（1，1）和（x，-2），求实数x的值. 【答案】0 【分析】由斜率计算公式可得答案. 【详解】由斜率公式，. 故实数. 16．（24-25高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若直线的斜率，求点的坐标． 【答案】或. 【分析】分别可假设或，利用两点连线斜率公式可构造方程求得点坐标. 【详解】若在轴上，则可设，，解得：，； 若在轴上，则可设，，解得：，； 综上所述：点的坐标为或. 17．（24-25高二·全国·课后作业）已知点，，且直线PQ的斜率为1，求实数m的值． 【答案】 【分析】由直线斜率的公式，代入即得解 【详解】由题意，直线PQ的斜率 解得： 18．（22-23高二·江苏·课后作业）已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，求实数x和y的值． 【答案】， 【分析】依题意可得，根据两点的斜率公式得到方程，解得即可； 【详解】解：因为，，三点在斜率的直线上，所以，即，解得， 19．（23-24高二·全国·课后作业）已知经过的直线的斜率为3，求实数a的值． 【答案】 【分析】根据两点间的斜率公式求解即可. 【详解】解：由两点的斜率公式得，即，解得 所以实数a的值为 20．（23-24高二·全国·课后作业）（1）直线l过A（﹣a，8），B（2，2a）两点且k＝12，求实数a的值. （2）已知经过两点A（5，m），B（m，8）的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用斜率计算公式即可得出； （2）利用斜率计算公式与不等式的解法即可得出. 【详解】（1）k＝12，∴a. （2）1，化为：（m﹣5）（m）＜0，解得. ∴实数m的取值范围是. 【经典计算题三 斜率公式的应用】 21．（2025高二·全国·专题练习）一束光线从点射入，经过轴（镜面）上的点反射后，过点，求点的坐标． 【答案】 【分析】解法一：设，由光的反射原理建立等式求解即可；解法二：求出点关于轴的对称点，设，由建立等式计算即可. 【详解】解法1：由光的反射原理易知，设， 则，解得，即． 解法2：因为点在入射光线上，所以点关于轴的对称点在反射光线上， 设，则， 所以，解得，即． 22．（2022高二·全国·专题练习）若，且三点共线，求的值． 【答案】10 【分析】根据斜率相等列方程，由此求得的值. 【详解】由题意，可知直线的斜率存在， 又三点共线，则， 即， 解得． 23．（22-23高二·全国·课堂例题）已知，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 【答案】A，B，C共线，A，B，D不共线． 【分析】若三点共线，则任过两点的直线的斜率相等，根据斜率公式求解判断即可. 【详解】因为， 所以，因此A，B，C共线，而A，B，D不共线． 24．（2023高三·全国·专题练习）设，比较的大小． 【答案】 【分析】构造函数，将问题转化为函数上的点到点的斜率的大小比较，从而结合图象即可得解. 【详解】令， 而可统一成格式， 表示函数上的点到点的斜率，    结合图象与条件，则构造的斜率都是正数， 所以图象的倾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大，可得. 25．（24-25高一下·全国·课后作业）若三点共线，求的值. 【答案】 【分析】由三点共线，应用斜率的两点式列方程可得，进而可求目标式的值. 【详解】由题意知，直线的斜率存在，则. 由得：，即，又， ∴. 26．（23-24高一下·全国·课后作业）已知交于点的四条直线的倾斜角之比为，又知过点，求这四条直线的倾斜角. 【答案】，，，. 【分析】应用斜率的两点公式求，即知的倾斜角，再根据四条直线倾斜角的比例关系求其它直线倾斜角. 【详解】∵， ∴的倾斜角为，又直线的倾斜角之比为， ∴这四条直线的倾斜角分别为，，，. 27．（23-24高二·全国·课后作业）光线从点射到轴上的点，经轴反射后过点，试求点的坐标及入射光线的斜率． 【答案】坐标为, 斜率为 【分析】由题得点关于轴的对称点为，得出的斜率，求得的斜率，再利用斜率公式，求得的坐标． 【详解】方法一:设，则由题意得. ∵，，∴. 解得，即点的坐标为， ∴入射光线的斜率. 方法二:如图，点关于轴的对称点为，   ， 由题意得,三点共线. 从而入射光线的斜率为. 设，则入射光线的斜率. 解得，即点的坐标为. 故点的坐标为, 入射光线的斜率为. 28．（24-25高二上·全国·单元测试）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析． 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率，解得． 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率，解得或． 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为， 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 29．（23-24高二上·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】首先求出的斜率，再分、两种情况讨论，由得到不等式，解得即可. 【详解】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上可得实数的取值范围. 30．（23-24高二上·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【答案】或 【分析】依题意可得，利用两点的斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】因为三个不同的点、、在同一条直线上， 所以，即，解得或，经检验符合题意. 【经典计算题四 直线与线段的相交关系求斜率范围】 31．（2025高三·全国·专题练习）若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】首先考虑直线过两个端点的情况，再计算直线过线段中间点的情况，利用定比分点的向量公式进行求解即可. 【详解】当直线过点时，，直线过点时，， 当直线与线段的交点在之间时， 设这个交点分的比为， 由定比分点向量公式有， 点的坐标为， 又直线过点，， ，又点在线段上，， ，解得或， 实数的取值范围是. 32．（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围； （2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】（1） 如图，由于点满足关系式，且， 所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 由于的几何意义是直线的斜率，且，， 所以的取值范围是． （2） 因为的几何意义是过，两点的直线的斜率， 由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 则，，所以． 所以的取值范围为． 33．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，求直线的斜率的取值范围． 【答案】． 【分析】根据的范围，取点的两端点，利用斜率公式，求出相应的斜率，即可求直线的斜率的取值范围． 【详解】因为，所以设，如下图： 点在线段上运动， 当点与点重合时，； 当点与点重合时，， 由图可知，直线的斜率的取值范围为． 34．（24-25高二·全国·课后作业）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角； （2）根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围． 【详解】（1）解：因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 35．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，已知点、、，点是线段上任意一点，求直线的斜率的取值范围．    【答案】 【分析】利用点的坐标并结合图形可知，分别计算出和之间的斜率即可. 【详解】根据题意可知，两点之间的斜率为， 两点之间的斜率为， 又点是线段上任意一点，由倾斜角与斜率之间的关系可知， 即直线的斜率的取值范围为. 36．（22-23高二·全国·课堂例题）已知点在函数的图象上，当时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可看作过点与点的直线的斜率，结合图形分析求解； （2）整理得，可看作过点与点的直线斜率，结合图形分析求解. 【详解】（1）因为点M在函数的图象上，且，记点，． 由题意可知点在线段AB上移动．记点， 则可看作过点与点的直线的斜率， 又因为，， 由于，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在， 所以的取值范围为．    （2）因为，记点， 则可看作过点与点的直线斜率， 又因为，，所以的取值范围为．    37．（24-25高二·全国·课后作业）已知． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为 (2) 【分析】（1）根据斜率公式运算求解； （2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解. 【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. （2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是．    38．（22-23高二上·广东汕尾·阶段练习）已知，，. (1)求直线和的斜率； (2)若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用斜率的坐标公式可求两条直线的斜率. （2）求出线段的两个端点与点构成直线的斜率，根据图形的变化可求直线的斜率的变化范围. 【详解】（1）由斜率公式可得直线的斜率， 直线的斜率. （2）如图所示，当点在AB上运动时，，，直线的斜率由负无穷增大到，由增大到正无穷大，所以直线的斜率的变化范围是. 39．（22-23高二上·黑龙江七台河·阶段练习）经过点作直线，且直线与连接点，的线段没有公共点，求直线的倾斜角和斜率的取值范围． 【答案】倾斜角的范围是，斜率的范围是. 【分析】先求出与线段相交时直线的倾斜角的范围与斜率范围，再讨论不相交的情况即可. 【详解】解：因为，， 所以，当直线与线段相交时，由图可知，，即， 所以或， 由于在及均为增函数， 所以直线的倾斜角的范围为：. 故倾斜角的范围为，斜率的范围是. 所以，直线与连接点，的线段没有公共点时，倾斜角的范围为，斜率的范围是. 40．（23-24高二·全国·课后作业）已知点，直线与线段有交点，求l的斜率的取值范围． 【答案】 【分析】判断出直线l过定点P(0,2)，分别求出，，即可求出l的斜率的取值范围． 【详解】直线过定点P(0,2).如图：    因为，. 要使直线与线段有交点， 则直线l的斜率的取值范围是. 【经典计算题五 由两条直线平行求方程】 41．（23-24高二上·吉林四平·阶段练习）一条直线经过点分别求出满足下列条件的直线方程： (1)与直线平行： (2)交x轴､y轴的正半轴于A，B两点，且取得最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行求出所求直线的斜率，再由点斜式方程可得答案； （2）设直线方程为，分别令、得到、坐标可得，再根据基本不等式取等条件求得斜率． 【详解】（1）由于直线的斜率，所以所求直线的斜率为， 故过点且斜率为的直线方程为， 即所求直线方程为； （2）由题意设过点的直线方程为， 令，得；令，得，即，， 所以， 当且仅当，即（舍去）时，取得最小值. 此时所求直线方程为. 42．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一条直线经过点. (1)求与直线平行的直线方程及与坐标轴的交线长； (2)若该直线与轴、轴的正半轴交于两点，求的最小值. 【答案】(1)， (2)6 【分析】（1）由平行直线斜率间关系和点斜式方程得到所求直线方程，再由两点间距离公式得到交线长即可； （2）分别求出交点坐标，再由基本不等式求出最值即可； 【详解】（1）直线的斜率为， 所以过点且与直线平行的直线方程为， 即. 当时，，当时，，所以所求的交线长为. （2）设直线方程为. 当时，；当时，. 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为6. 43．（23-24高二上·四川巴中·期中）已知直线过点（1，2）. (1)若直线与平行，求直线的方程； (2)若直线与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由两直线平行可得直线的斜率，利用点斜式即可写出直线的方程； （2）由题意，直线的斜率存在，设，且，令，求出A、B两点的坐标，然后根据面积公式可求得的面积，最后利用均值不等式即可求得的面积的最小值. 【详解】（1）解：因为直线与平行，所以直线的斜率为2， 又直线过点（1，2）， 所以直线的方程为，即； （2）解：由题意，直线的斜率存在，设，且， 令，可得，令，可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的面积的最小值为4. 44．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知直线与直线交于点P. (1)求过点P且平行于直线的直线的方程；（结果写成直线方程的一般式） (2)求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线的方程.（结果写成直线方程的一般式） 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出点坐标，由平行得斜率，然后可稈直线方程； （2）根据截距是否为0分类讨论设出直线方程求解． 【详解】（1）由，解得，即， 直线的斜率为， 所以所求直线方程为，即； （2）当截距为0时，直线方程为，即． 当截距不为0时，设直线方程为，所以，， 所以直线方程为，即． 45．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）求符合下列条件直线的方程： (1)过点A（-3，-1），且倾斜角为． (2)过点P（3，4），且两点到这直线距离相等． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据倾斜角得出直线斜率，利用点斜式求解即可； （2）分所求直线与MN平行，过MN中点两种情况求解即可. 【详解】（1）∵倾斜角为 ∴斜率为 由点斜式直线方程可得 即. （2）①与直线MN平行 ∴斜率 由点斜式直线方程可得 即 ②过MN中点 可求MN中点是（3，2） 又直线过P（3，4），则直线方程为x=3 综上得直线方程为或 46．（24-25高二·江苏·课后作业）已知点不在直线上，直线过点，且它的斜率与直线的斜率相等，证明：直线的方程可以写成． 【答案】证明见解析 【分析】设点是直线上除点的任意一点，化简即得证. 【详解】证明：由题得直线的斜率为. 设点是直线上除点的任意一点，所以， 化简得. 显然点也满足此方程， 所以直线的方程可以写成. 故得证. 47．（22-23高二上·浙江绍兴·期中）已知中，，，.求： (1)中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程； (2)BC边的中线所在直线的截距式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出边中点坐标及直线斜率，写出直线方程并化简； （2）求出边中点坐标，写出直线方程后变形即得． 【详解】（1）由题意中点为，， 所求中位线所在直线方程为，整理得． （2）由已知边中点为，直线的斜率为， 直线方程为，整理得截距式方程为． 48．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可. （2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可. 【详解】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 49．（22-23高二·全国·课堂例题）已知直线l的方程为，求直线的方程，使满足： (1)过点，且与l平行； (2)过点，且与l垂直； (3)与l垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据直线平行斜率满足的关系，结合经过的点即可求解， （2）根据直线垂直斜率满足的关系，结合经过的点即可求解， （3）根据直线垂直关系，可设直线的方程，根据面积即可求解. 【详解】（1）方法一 l的方程可化为，∴l的斜率为. ∵与l平行，∴的斜率为. 又过点，∴由点斜式得直线的方程为，即. 方法二 由与l平行，可设的方程为（）， 将代入得.∴所求直线方程为. 方法三 由与l平行，且过点，则的方程为，即. （2）方法一 l的方程可化为，∴l的斜率为， 由与l垂直，得的斜率为. 又过点，∴由点斜式得直线的方程为，即. 方法二 由与l垂直，可设的方程为， 将代入得.∴所求直线方程为. （3）方法一 l的方程可化为，∴l的斜率为. ∵，∴. 设在y轴上的截距为b，则直线的方程为， 令，可得在x轴上的截距为， 由题意可知，围成的三角形面积，∴. ∴直线的方程为或. 即或. 方法二 由与l垂直，可设直线的方程为， 则在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， 由题意可知，围成的三角形面积，得. ∴直线的方程为或. 50．（22-23高二下·江苏扬州·开学考试）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据两直线平行充要条件即可解决； （2）依据两直线垂直充要条件即可解决. 【详解】（1）因为，且，所以直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即. （2）因为，且， 所以直线的斜率为，又直线过点， 所以直线的方程为，即. 【经典计算题六 由两条直线垂直求方程】 51．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，即可得，结合点，即可得直线的方程； （2）设，代入边上的高所在的直线方程可得的值，即可得中点坐标，结合边上的中线所在的直线方程即可得解. 【详解】（1）由边上的高所在的直线方程为，其斜率为， 则，即，又， 则，即； （2）设，由在上，即，即， 则中点坐标为，故有，即. 52．（24-25高二上·吉林长春·期中）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线在轴上的截距是14． (1)求菱形的对角线所在直线的方程； (2)求边所在直线的方程． 【答案】(1)； (2)边所在直线的方程为；边所在直线的方程为. 【分析】（1）根据菱形，求出，利用点斜式求出直线方程； （2）根据菱形的性质可知，利用点斜式求出直线方程. 【详解】（1）线段的中点为， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. （2）由菱形的性质可知，则， 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. 53．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知的顶点坐标为. (1)若点是边上的中点，求直线的方程； (2)求边上的高所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由中点坐标公式得到，再由两点求出斜率，最后有点斜式方程求出即可； （2）由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程即可； 【详解】（1）因为点是边上的中点，则， 所以， 所以直线的方程为， 即； （2）因为， 所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 54．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线垂直的直线的斜率乘积为和点斜式求解即可； （2）求出线段垂直平分线的方程为，故点在直线上，设点为，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为建立等式求解即可． 【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即． （2）的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或， 所以点坐标为或， 则直线的方程为或． 55．（23-24高二上·北京·期中）已知三角形的顶点为，，. (1)求BC边上的中线所在直线方程； (2)求BC边上的高线所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点及A即可求解直线方程； （2）根据高所在直线斜率及A求解即可. 【详解】（1）设中点为，则，又， 所以中线的斜率不存在，所以中线所在直线方程为. （2）因为， 所以边的高所在直线的斜率为， 所以边上高所在直线为，即直线方程为. 56．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点和． (1)若是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程； (2)若是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）先求出直线的斜率，注意到正方形中的邻边所在直线与直线垂直，由直线垂直的斜率表示可以求出的邻边所在直线的斜率，由直线的点斜式方程即可求解. （2）注意到正方形的两条对角线互相垂直且平分，由中点坐标公式以及斜率的垂直表示可以分别求出方形另外一条对角线所经过的点（即正方形的中心）的坐标和斜率，由点斜式即可求解. 【详解】（1）由题意， 所以， 注意到与直线垂直的直线的斜率为， 所以， 整理得所求两条直线为和. （2）由（1）可知直线方程为，且注意到正方形的两条对角线互相垂直平分， 所以另外一条对角线的斜率为， 又， 所以中点为，则另一条对角线过点， 所以正方形的另一条对角线方程为，整理得． 57．（22-23高二上·广西防城港·期末）已知直线与轴，轴的交点分别为.直线经过点且倾斜角为. (1)求直线的一般方程； (2)求线段的中垂线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出点的坐标和斜率，利用点斜式方程求解即可； （2）求出中点坐标和斜率，利用点斜式方程求解即可. 【详解】（1）设直线的斜率为，则 过令，得，所以， 由直线的点斜式方程，代入可得，， 化简得，所以所求的直线方程为. （2）设线段的中垂线斜率为，线段的中点为，设直线的斜率为， 由直线可得，则， 由垂直关系可知，，解得； 令，得，所以， 由中点坐标公式可知，，即， 由直线的点斜式方程，代入可得，， 化简得，即线段的中垂线方程是. 58．（23-24高二上·北京西城·期中）已知的顶点坐标为 (1)求边所在的直线方程； (2)过点作边上的高，求高所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点斜式即可得出直线的方程． （2）由直线的斜率，由此可得边的高所在直线的斜率为，再利用点斜式即可得出． 【详解】（1）解：， 直线的方程为：， 化为： 则边所在的直线方程为: （2）解：直线的斜率，由此可得边的高所在直线的斜率为， 高所在的直线方程：． 化为：． 故高所在的直线方程为：. 59．（23-24高二上·北京·期中）已知直线均过点P(1，2). (1)若直线过点A(-1，3)，且求直线的方程； (2)如图，O为坐标原点，若直线的斜率为k，其中，且与y轴交于点N，直线过点，且与x轴交于点M，求直线与两坐标轴围成的四边形PNOM面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易得 ，由，得到，写出直线的方程； （2）由直线的方程，分别令，，得到直线与坐标轴的交点，同理得到直线与x的交点，再转化为三角形面积求解. 【详解】（1）解：因为直线均过点P(1，2)，且直线又过点A(-1，3)， 所以 ，因为， 所以，则直线的方程，即； （2） 如图所示： 由题意得：直线的方程为：， 令，得，即， 令，得，即直线与x轴的交点为， 直线又过点， 所以直线的方程为：， 即， 令，得，即， 所以， ，， 因为， 所以当时， PNOM面积的最小值为. 60．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为. (1)求对角线所在直线方程； (2)已知直线过点，与直线的夹角为，求直线的方程. （以上所求方程都以直线的一般式方程作答） 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由的中点在直线上，结合垂直关系得出对角线所在直线方程； （2）由点在直线上，得出直线的倾斜角为或，再由点斜式写出方程. 【详解】（1）由题意可知，的中点在直线上， 对角线所在直线方程为，即 （2）点在直线上，设直线的倾斜角为，直线与直线的夹角为 则直线的倾斜角为或 ， 当直线的倾斜角为时，，即 故直线的方程为： 当直线的倾斜角为时，，则直线的方程为，即 【经典计算题七 直线过定点问题】 61．（2024高三·全国·专题练习）求证：动直线（其中）恒过定点，并求出定点坐标. 【答案】证明见解析， 【分析】方法一：特值法，令和，得到关于的方程组，解方程组即可； 方法二：动直线转化为，利用，则关于的方程系数为，列出方程组求解即可. 【详解】方法一：令，则直线方程为①. 再令，则直线方程为②. ①②联立得方程组，解得， 将点代入动直线中， 即， 故点恒满足动直线方程， 所以动直线恒过定点． 方法二：将动直线方程按降幂排列整理，得， 则关于的方程的解为， 因此，解得， 故动直线恒过定点． 62．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）利用直线求定点的方法直接列方程求解即可. （2）首先得出，然后根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）直线， 则， 定点. （2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0（否则直线在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾）， 令，可得， 令，可得， 由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2， 故或2． 63．（2023高三·全国·专题练习）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点，若直线过定点M，且M是线段AB的中点，求实数的值． 【答案】 【分析】根据题意可得定点，所以可以求出，由此即可求解. 【详解】由题意易得直线AB过定点， 由M为AB的中点，故， 故直线斜率． 64．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线的方程是.求证：对于任意，直线均经过定点，并求此定点的坐标. 【答案】 【分析】合并包含的项，再令的系数为0，结合方程恒等求解即可. 【详解】即，故. 令，则.故对于任意，直线均经过定点 65．（22-23高二上·吉林·期末）设直线的方程为. (1)求直线所过定点的坐标； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）将方程变形为，解方程组，就可得到直线所过的定点坐标. （2）首先根据直线方程求出过原点时，满足题意的的值；再根据它在两坐标轴上的截距相等(不过原点时)，求出的值，进而分别得出直线的方程. 【详解】（1）因直线的方程为， 可得，， 解得，即直线所过定点的坐标为. （2）直线过原点时，在轴和轴上的截距为零. 符合题意，∴，方程即为. 当直线不过原点时，由截距存在且均不为， ∴，即. ∴，方程即为. 因此直线的方程为或. 66．（22-23高二·全国·课后作业）已知为直线的方程，求证：不论取何实数，直线必过定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】证明见解析，定点 【分析】根据直线恒过定点，则该定点与取值无关，列出方程组求解即可. 【详解】解　整理直线的方程得. 无论取何值，该式恒成立， 所以 解得， 所以直线经过定点． 67．（2022高三·全国·专题练习）已知，直线：，求直线经过的定点的坐标. 【答案】. 【分析】先化简得到，再求定点即可. 【详解】由，知， ，解得：， 所以直线经过定点. 68．（23-24高二·江苏·课后作业）证明：无论k取任何实数，直线必经过一个定点，并求出定点的坐标． 【答案】证明见解析，定点坐标为 【分析】根据直线过定点的知识进行证明，并求得定点坐标. 【详解】直线方程为， ， ， 所以直线过定点，且定点坐标为. 69．（24-25高三上·云南文山·期末）已知直线． (1)求恒过的定点的坐标； (2)若经过点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理直线方程，得到关于实数的方程组，求解方程组即可； （2）根据直线过点，将点代入直线方程，求出，得到直线方程.. 【详解】（1）由可得， 由解得，所以直线恒过点. （2）若经过点，所以，解得 所以直线的方程为. 70．（23-24高二上·全国·期末）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出直线在x轴、y轴上的截距，再列式求解即得. （2）直线过的定点在第四象限，由直线的斜率大于等于0，求出a的范围． 【详解】（1）直线：在y上的截距为， 由在两坐标轴上的截距相等，知，且直线在x轴上的截距为， 于是，解得或， 所以直线的方程为或. （2）直线：，由，得，即直线过定点， 显然点P在第四象限，要使直线不经过第二象限，而直线的斜率存在， 因此直线的斜率不小于0，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 【经典计算题八 已知直线平行求参数】 71．（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一般式方程两条直线平行的条件可得答案； （2）利用一般式方程两条直线垂直的条件可得答案． 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以当时，； （2）因为，所以，解得， 所以当时，． 72．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【详解】（1）因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 73．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值； （2）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值． 【详解】（1）若与平行，则，解得：或， 当时，直线和，与平行； 当时，直线和，与重合. 综上：. （2）当时，即时，与垂直， 即时，与垂直. 74．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线. (1)当为何值时，？ (2)当为何值时，？ 【答案】(1) (2) 【分析】根据两直线平行和垂直时，斜率与截距的关系列式即可得解. 【详解】（1）设直线的斜率分别为， 则.当时，有，解得. （2）当时，，即， 所以，所以. 75．（24-25高二上·青海海南·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线平行列式求解，并代入检验即可； （2）根据直线垂直列式求解即可. 【详解】（1）因为，则， 整理得，解得或， 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意． 综上所述：． （2）因为，所以，解得或． 76．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可求出结果； （2）根据可求出结果. 【详解】（1）因为直线AC与直线BD平行，所以， 所以，经检验两直线不重合， 所以 （2）因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在， 所以， 所以， 77．（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【详解】（1）因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； （2）若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故 78．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用直线平行的判定列方程求参数值，需要验证所得参数是否符合要求. （2）利用直线垂直的判定列方程求参数值即可. 【详解】（1）由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题意； 当，，，符合题意； 综上，. （2）由，则，即， 所以，即或. 79．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线：和直线：．若与平行，求a的值． 【答案】 【分析】方法一 ：求出直线的斜截式方程，利用两直线斜率相等，且纵截距不相等时互相平行，解出a的值； 方法二：由一般式方程，两直线平行系数关系得到方程组，求解即可得到a的值. 【详解】方法一 ： 当时，：，：，不平行于； 当时，：，：，不平行于； 当且时，两直线可化为：，：， 则当时，有， 解得， 综上可知，当时，． 方法二：对于两直线， 当它们平行时，有  ， 所以对于直线：和直线：， 当时，则， 则， 可得，故当时，． 80．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知：，：，求当m为何值时，与相交、平行或重合． 【答案】答案见解析 【分析】利用一般式方程判断两直线平行的等价条件来进行研究求解. 【详解】若直线与相交，则，即，解得且且； 若直线与平行或重合，则，解得或或． 当时，：，：，满足与平行； 当时，：，：，满足与平行； 当时，：，：，满足与重合； 综上，当且且时，与相交；当或时，与平行；当时，与重合． 【经典计算题九 已知直线垂直求参数】 81．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直的充要条件列出方程解之即得； （2）根据两直线平行的充要条件列出不等式组解之即得 【详解】（1）由可得，，解得. 此时，，有，故； （2）由可得，解得，. 此时即，，有， 与之间的距离. 82．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，求出参数的值，再代入检验； （2）根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，即， 解得或． 当时，，此时与重合，不符合题意； 当时，，符合题意． 故． （2）因为，所以， 解得． 83．（23-24高二上·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值；（2）直线与直线垂直，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据两直线平行的充要条件计算即可； （2）根据两直线垂直的充要条件计算即可. 【详解】（1）因为直线与直线平行， 所以，解得， 经检验，当时，两直线重合， 所以； （2）因为直线与直线垂直， 所以，解得或. 84．（2024高二·全国·专题练习）已知定点，以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标． 【答案】或 【分析】本题中有三个点A，B，C，由于AB为直径，C为圆上的点，所以，因此，必有，列出方程，求解即可. 【详解】以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则， 当AC或BC的斜率不存在时，不满足， 设，则，，∴， 去分母解得或2， ∴C的坐标为或. 85．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知直线，直线，其中． (1)若直线经过点，且，求m，n； (2)若直线，当与之间的距离取最大值时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用点在直线上，求出再利用两直线垂直的充要条件求出即可； （2）与之间的距离的最大值问题转化为两直线定点间的距离进行求解即可. 【详解】（1）因为直线经过点，将点代入直线的方程可得，解得， 又因为，所以，解得． 综上所述，． （2）根据题意，直线过定点，直线过定点． 因为，所以与之间的距离 当时，与之间的距离取得最大值． 此时， 又因为直线AB的斜率，直线的斜率为， 所以，解得， 所以直线的方程为． 86．（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行关系得到关于的方程，求解出的值并进行检验； （2）根据垂直关系得到关于的方程，由此求解出结果. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，解得或， 当时，重合，舍去， 当时，，符合题意， 故. （2）因为， 所以， 解得. 87．（22-23高二上·辽宁·期中）已知直线：，直线： (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求. 【详解】（1）由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题设； 当，，，符合题设； 综上， （2）由，则，即， 所以，即或. 88．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线经过点，直线经过点.若，求a的值. 【答案】或 【分析】求出直线的斜率，按直线的斜率存在与否讨论，并结合两条直线垂直的斜率关系计算即得. 【详解】依题意，直线的斜率， 当，即时，直线的斜率不存在，此时，直线不垂直； 因此，直线的斜率存在，， 由，得，则，整理得，解得或， 所以或. 89．（22-23高二上·安徽黄山·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1），，若，则，求出参数后，需代入验证，排除两直线重合的情况； （2），，若，则，由此求参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 当时，， ，即，符合题意； 当时，，即， ，即，此时与重合，不符合题意. 所以. （2）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 所以或. 90．（23-24高二上·四川·期中）已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 【答案】(1) (2)或12或 【分析】（1）根据求解，然后再判断四点不共线即可； （2）根据直线垂直的斜率关系，分三种情况求解即可. 【详解】（1）依题意可得， 即，解得. 又，， 所以，所以A、B、C、D四点不共线， 所以. （2）若A为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 综上，的值为或12或. 【经典计算题十 由直线的交点坐标求参数】 91．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知三条直线，和. (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两条直线平行的条件求解即可； （2）先由两条确定的直线求出交点坐标，然后带入含参直线求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以.解得. 经检验，时，. 所以. （2）由，解得即与的交点为， 因为三条直线相交于一点，所以点在上， 所以.解得. 92．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与的交点在y轴上，求m的值． 【答案】 【分析】首先由两线平行得，联立直线方程求交点坐标，根据交点位置求参数即可. 【详解】当时，，平行，无交点； 所以，此时联立方程有，可得， 由交点在y轴上，则，即.    93．（22-23高二上·山东泰安·期中）已知直线：，：，且． (1)求k的值； (2)若直线与的交点的直线上，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可求解； (2)联立两直线方程求出交点坐标，代入直线的方程即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为k． 因为，所以， 故． （2）由题意可知：联立两直线方程可得：，解得． 将点代入的方程得，解得， 所以直线的方程为． 94．（22-23高二上·江苏常州·期中）设为实数，已知直线：，：. (1)若与平行，求的值； (2)若与的交点在直线上，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线平行则斜率相等，列出等式求解即可； （2）求得两直线的交点坐标，再根据其满足，解方程即可. 【详解】（1）因为两直线平行，则斜率相等， 故可得，解得. （2）联立，解得两直线的交点坐标为， 又因为其满足直线，则， 即，解得或， 当时，两直线平行，无交点，故舍去，则. 95．（23-24高二·全国·课后作业）平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分为六个部分，求实数的所有可能的取值． 【答案】、或 【分析】三条直线将平面划分为六个部分，则这三条直线有两条平行，另一条与这两条平行线相交或三条直线交于一点，然后对直线与其他直线平行或三线交于一点进行分类讨论，即可求得实数的可能取值. 【详解】解：三条直线将平面划分为六个部分，则这三条直线有两条平行，另一条与这两条平行线相交或三条直线交于一点． 当直线与直线平行时，，得． 当直线与直线平行时，，得； 当三条直线相交于同一点时，由，解得， 即直线与交于点， 直线过点时，． 综上，、或. 96．（24-25高二·全国·单元测试）若直线与直线的交点在第四象限，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】先联立两直线的方程，求得交点坐标，再根据交点在第四象限求解. 【详解】由得 所以两直线的交点坐标为. 又此交点在第四象限， 所以 解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 97．（22-23高二·全国·课后作业）两条直线与互相垂直，交于点，求的值． 【答案】 【分析】利用两直线垂直斜率的关系求出，再将点分别代入直线，的方程中求出，即可得出的值. 【详解】直线，相互垂直， ，解得， 将代入，即 解得， 将代入，解得， . 98．（23-24高二上·全国·课后作业）三条直线，与相交于一点，求a的值． 【答案】a＝﹣1 【分析】联立直线4x+3y＝10与2x﹣y＝10，求出交点坐标，再代入直线ax+2y+8＝0，即可求得a的值． 【详解】解：解方程组，得， ∴交点坐标为：（4，﹣2）， 代入直线ax+2y+8＝0，得4a﹣4+8＝0， ∴a＝﹣1． 99．（22-23高二·全国·课后作业）已知两定点，M和N是过原点的直线l上的两个动点，且，，如果直线AM和BN的交点C在y轴上，求M、N及C点的坐标． 【答案】或 【分析】根据直线平行的斜率关系，可得，进而设的坐标，根据点斜式写出直线AM和BN的方程，进而根据截距相等即可求解. 【详解】∵，∴，又，∴， ∴．M、N在直线l上，且，设． （1）若点N在点M右上方，则． ，令； ，令， ，∴， （2）若点N在点M左下方，则，同（1）的方法可得 ， 100．（22-23高二·全国·课后作业）若两条直线和的交点在第四象限，求的取值范围． 【答案】 【分析】联立方程，求得交点，根据第四象限的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】解：联立两直线的方程，解得， ∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限， ∴，解得，即. 则的取值范围为. 【经典计算题十一 求平面两点间的距离】 101．（2025高三·全国·专题练习）若，求的最大值. 【答案】 【分析】先将的表达式进行化简，然后确定题目问题的几何意义，通过图形确定最值. 【详解】，此题实质上是求在约束条件下的最值. 其几何意义为，在直线上有一点M，求点M到点与点的距离之差的最大值. 画出图像如图所示，作关于直线的对称点，连接并延长交直线于点，可知此时取最大值. 因为，所以直线的方程为. 联立两直线方程组为，解得. 设，因为是的中点，所以. 所以点B关于直线的对称点为， 则由平面几何知识可知. 102．（22-23高二下·河北石家庄·期末）已知，，求的值. 【答案】 【分析】根据两点距离公式求即可. 【详解】因为，， 所以， 所以的值为. 103．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点． (1)若，求直线的方程； (2)若点在直线上，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可设，，即可表示出点，利用计算可得，即可得，即可得直线的方程； （2）将点坐标代入直线方程可得，即可借助两点间距离公式用表示出，从而可得其最小值. 【详解】（1）由题意可设，，，，则， 若，则有，化简得， 故，，即， 故直线的方程为，即； （2）由点在直线上，故有， 整理得， 故 ， 即的最小值为. 104．（23-24高二上·福建三明·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求： (1)直线的一般式方程； (2)求的边的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直确定，再计算直线方程得到答案. （2）设，根据的中点在直线上，结合在上，得到答案. 【详解】（1）边上的高所在的直线方程为，斜率，故， 直线方程为，即； （2）设，则的中点坐标为， 则，解得，即，. 105．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线和． (1)求经过原点与垂直的直线方程； (2)若直线和与x轴分别交于A，B两点，求|AB|． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）联立两直线方程可得点，根据垂直求出斜率，即可得出直线方程； （2）令，求出两点坐标，再利用距离公式求出. 【详解】（1）因为直线，所以的斜率为， 设所求直线的斜率为，因为与垂直，所以，解的， 所以所求直线方程为，即； （2）对于直线，令，则，所以， 对于直线，令，则，所以， 所以， 所以. 106．（23-24高二上·北京西城·期中）已知的顶点坐标为、、． (1)求边的中线长； (2)求边的高线所在直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中线的定义，结合中点坐标公式和两点间距离公式进行求解即可； （2）根据互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可. 【详解】（1）设边的中点为，因为、， 所以点的坐标为，即， 所以边的中线长 （2）因为，所以边的高线所在直线的斜率为， 因此边的高线所在直线方程为. 107．（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知：，和. (1)若A，B，C三点共线，求t的值； (2)若，求t的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由A，B，C三点共线，可得，根据斜率公式即可得解； （2）根据两点间的距离公式计算即可. 【详解】（1）， 若A，B，C三点共线，所以， 即，解得； （2）， 则，解得. 108．（23-24高二·江苏·课后作业）已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，求线段AB的长． 【答案】 【分析】根据条件可求出的坐标，然后根据两点间的距离公式可得答案. 【详解】因为点A在x轴上，点B在y轴上，所以设， 因为线段AB的中点M的坐标是，所以，即， 所以，. 109．（23-24高二上·江苏·课后作业）在直线上求一点P，使它到点的距离为5，并求直线PM的方程. 【答案】或，或. 【分析】设，然后根据题意列方程组可求出，再求出直线的斜率，从而可求出直线PM的方程. 【详解】设，由题意，解得或， 所以或， 当时，直线PM的斜率， 因此直线PM方程为，即； 当时，直线PM的斜率， 因此直线PM方程为，即. 110．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）求，两点间的距离； （2）已知点，在轴上的点与点的距离等于，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算可得； （2）设，利用两点间的距离公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，，所以. （2）设，则，解得或， 所以或 【经典计算题十二 用两点间的距离公式求函数最值】 111．（2024高三·全国·专题练习）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】计算得出，可知代数式的几何意义是抛物线上的点到点、的距离之差，数形结合以及三点共线可求得的最大值，即可证得结论成立. 【详解】 则的几何意义为抛物线上动点与两定点、的距离之差，如下所示： 左边． 当且仅当在线段上时取等号． 112．（22-23高二·全国·课后作业）求函数的最小值． 【答案】 【分析】将转化成两线段距离之和，利用三角不等式即可求解. 【详解】因为， 所以为点和之间的距离与和之间的距离之和， 即 如下图： 由三角不等式可知，，当且仅当点、、三点共线时，有最小值. 即的最小值为. 故答案为：. 113．（22-23高二上·山西晋中·阶段练习）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点：对于函数，求的最小值. 【答案】 【分析】 根据给定的条件，利用式子的几何意义，结合两点间距离及对称问题求解作答. 【详解】函数， 因此表示点到点的距离与到的距离之和，而点在轴上，点关于轴的对称点， 于是得，当且仅当点共线，即P与原点重合，时取等号， 所以当时，取得最小值. 114．（23-24高二上·全国·期中）求函数的最大值． 【答案】 【分析】可表示为、的距离减去、的距离，然后可得答案. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离，所以， 因为， 所以. 115．（24-25高二上·吉林白城·期中）已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】存在，， 【分析】设，根据坐标运算可转化为关于的二次函数，利用二次函数的最值求解即可. 【详解】假设直线l上存在一点，使得取得最小值，如图，    则， 因为，所以当，即点P的坐标为时， 取得最小值，且最小值为. 116．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】将函数的解析式中两个根式理解为动点到定点的距离，数形结合即可求解. 【详解】因， 可将函数的值域理解为动点到两定点的距离之和的范围.如图， 因点在轴上，故当且仅当点与点重合时，， 故函数的值域为. 117．（24-25高三下·北京·强基计划）求的值域. 【答案】 【分析】设，问题化为求的范围，数形结合确定值域即可. 【详解】令， 设，如下图示， 则，当且仅当在线段的延长线上时取等号， 当时，直线可近似看作平行关系，此时， 综上，目标式的范围是. 118．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数   (1)求函数在区间上的解析式； (2)已知点，点是函数在区间上的图象上的点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据自变量的范围代入函数解析式即可； （2）设出M坐标，根据两点之间的距离公式列式即可. 【详解】（1）由题可知在上，，     而，所以， 即在上，； （2）设， ，     当且仅当时，取得等号，解得， 故的最小值为. 119．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最大值. 【答案】 【分析】将函数中的根式转化为两点间距离公式的形式，再利用几何意义即可求解. 【详解】将函数中的被开方数进行配方， 可得， 所以函数的几何意义为：轴上一点到点与到点的距离之差， 即，如图所示. 根据三角形三边关系，即有，、当且仅当三点共线时取等号，此时在的延长线上. 故. 综上，的最大值为. 120．（22-23高二·全国·随堂练习）求函数的最大值． 【答案】 【分析】可表示为、的距离减去、的距离，然后可得答案. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离，所以， 因为， 所以. 【经典计算题十三 已知点到直线距离求参数】 121．（24-25高二上·浙江丽水·期中）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为2，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出交点坐标，由平行设的方程为，代入交点坐标求解可得． （2）分类讨论，判断斜率不存在的直线是否满足题意，斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求解． 【详解】（1）由，解得， 可得两直线和的交点为, 当直线与直线平行，设的方程为， 把点代入求得， 可得的方程为． （2）当的斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为2． 当的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则点到直线的距离为，求得， 故的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 122．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知直线及点. (1)若与垂直的直线过点，求与的值； (2)若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由垂直关系及点在线上列出等式求解即可； （2）由点到线的距离公式列出等式，求解即可. 【详解】（1）因为直线过点， 所以，解得， 因为与垂直， 所以. （2）因为点与点到直线的距离相等， 由点到直线的距离公式得. 解得， 当时，的斜截式方程为， 当时，的斜截式方程为. 123．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 【答案】或 【分析】当直线斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l的方程为；当直线与x轴垂直时，方程为也符合题意．由此即可得到此直线l的方程． 【详解】当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，即 ∵点到的距离为1， ∴，解之得， 得的方程为． 当直线与x轴垂直时，方程为，点到的距离为1， ∴直线的方程为或． 124．（23-24高二上·浙江·期中）已知直线和直线的交点为 (1)求过点且与直线平行的直线方程； (2)若点到直线距离为，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先求点的坐标，再根据两直线平行，即可求解直线方程； （2）代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）联立方程组，解得，所以点，      又所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率为， 则所求的直线方程为：，即； （2）点到的距离为       解方程可得. 125．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知两条直线与的交点，求： (1)过点且过原点的直线的方程； (2)在（1）的条件下，若直线与l平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意联立直线方程求点的坐标，进而可得直线方程； （2）根据题意可设直线的方程为，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）由，解得， 即直线过点和原点，所求直线方程为. （2）因为直线与直线平行，可设直线的方程为， 由点到直线的距离公式得，解得， 故所求直线方程为或. 126．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线与直线相交于点，且点在直线上. (1)求点的坐标和实数的值； (2)求与直线平行且与点的距离为的直线方程. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）联立直线方程，求交点，再将点代入含参直线方程，求得答案； （2）根据平行，设出所求直线方程，利用点到直线距离公式，可得答案. 【详解】（1）联立，解得，所以. 将P的坐标代入直线中，解得. （2）直线，设与直线平行的直线为. 因此点P到直线l的距离，即，解得或， 所以所求直线的方程为或. 127．（23-24高二上·重庆开州·阶段练习）已知点，直线过点， (1)若A到直线距离为2，求直线的方程； (2)若A、B到直线距离相等，求直线的方程. 【答案】(1)或者 (2)或者 【分析】（1）先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，设出直线写出点到直线的距离公式求解即可； （2）先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，设出直线分别写出两点到直线的距离，相等求解即可； 【详解】（1）①若直线斜率不存在，此时过点的直线为直线，点到直线的距离为2，符合要求； ②若直线斜率存在，设为，则直线方程为， 所以点到直线的距离为，解得， 直线为，即， 所以直线方程为或者； （2）①若直线斜率不存在，此时过点的直线为直线，点到直线的距离为2，点到直线的距离为0，不符合条件； ②若直线斜率存在，设为，则直线方程为， 此时点到直线的距离为， 点到直线的距离为，又，所以， 解得或者，所以直线为或者， 即或者. 128．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点到直线的距离等于4，求实数的值． 【答案】或 【分析】 利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可. 【详解】因为点到直线的距离等于4， 所以，解得或. 129．（22-23高二上·辽宁鞍山·期中）已知直线的斜率为，且直线经过直线所过的定点． (1)求直线的方程； (2)若直线平行于直线，且点到直线的距离为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出点的坐标，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）解：直线的方程整理得， 由，解得，即点， 所以，直线的方程为，即. （2）解：因为直线平行于直线，设直线的方程为， 由题意可得，解得或， 故直线的方程为或. 130．（22-23高二上·河南·期中）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，点． (1)若直线过点，求直线的方程; (2)若点到直线的距离为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）利用截距式可设直线为，再将点代入即可求得直线的方程； （2）结合（1）中结论，利用点线距离公式即可求得，从而得到直线的方程. 【详解】（1）因为不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，所以可设直线， 将点代入得，故， 所以直线l的方程为，即． （2）由直线可化得， 再由点线距离公式得，即， 解得或， 所以直线l的方程为或． 【经典计算题十四 求平行线间的距离】 131．（24-25高二上·天津红桥·期中）已知、为直线上两点， 直线:. (1)求直线的方程； (2)若 ，求直线与之间的距离． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用两点式写出直线的方程. （2）根据两直线平行，利用两平行线的距离公式求直线与之间的距离. 【详解】（1）因为直线过点、，所以直线的方程为： ，即. （2）因为：，也就是， 又，所以直线与之间的距离为： . 132．（24-25高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知直线与直线. (1)当为何值时，与平行，并求与的距离; (2)当为何值时，与垂直. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由两直线平行可利用系数构造方程求得结果，再求两平行线间的距离； （2）由两直线垂直可利用系数构造方程求得结果. 【详解】（1）由直线与平行，则，解得， 所以此时直线， 所以与的距离为. （2）由直线与垂直，则，解得或. 133．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线：和：． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若与互相平行，求与间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件求出的值； （2）利用直线平行的充要条件求出的值，进一步求出两平行线间的距离． 【详解】（1）直线和． 当直线与互相垂直，故， 解得；故； （2）当直线与互相平行，则，故直线的方程为； 所以直线与间的距离． 134．（24-25高二上·上海·课后作业）经过点，分别作两条平行直线、，如果、之间的距离为3，求这两条直线的方程． 【答案】：，：或：，： 【分析】设：，：，根据之间的距离为3建立等式，求出或，有两种情况． 【详解】解：设：，：， 由题意得． 解得或， 故所求直线为：，：或：，：， 135．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线与直线． (1)若这两条直线垂直，求实数的值； (2)若这两条直线平行，求这两条平行线间的距离． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）利用两条直线垂直的充要条件，列式计算即得. （2）由两条直线平行求出，再利用平行线间距离公式计算即可. 【详解】（1）直线，即与直线垂直， 则，解得， 所以实数的值为2. （2）由这两条直线平行，得，解得， 则直线为， 所以这两条平行线间的距离. 136．（23-24高二上·四川成都·期末）已知直线，． (1)若直线，求m的值； (2)若直线，求l1与l2的距离． 【答案】(1)6； (2) 【分析】（1）利用两直线垂直的充要条件列方程即得； （2）利用两直线平行的充要条件列方程求出的值，再运用两平行线之间距离公式求解. 【详解】（1），， ，， m的值为6； （2）， ，解得：或，                     验证，，两直线重合，舍去， 时，，， 故与的距离为． 137．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）直线在轴的截距为，且过点． (1)求直线的方程； (2)已知点，直线过且与平行，求直线直线间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出直线过点，由两点坐标得出斜率，即可求出直线方程. （2）利用直线平行和过点坐标即可得出直线的方程，然后利用平行间的距离公式求解即可. 【详解】（1）根据题意，直线过点， 则直线的斜率为， 则直线的方程为. （2）因为直线过点， 又直线的斜率为，则直线的斜率为， 则直线方程为，变形可得， 则直线直线间的距离， 即直线直线间的距离为1． 138．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）已知直线：，直线：，且. (1)求实数的值； (2)求、之间的距离. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据，由求解； （2）利用两直线间的距离公式求解. 【详解】（1）解：因为直线：，直线：平行， 所以，解得； （2）由（1）知：直线：，直线：， 所以、之间的距离为. 139．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与直线的距离为，求实数的值． 【答案】或 【分析】利用平行线间的距离公式得到关于的方程，从而得解. 【详解】直线可化为， 直线可化为， 所以，解得或． 所以或. 140．（23-24高二上·上海·课后作业）求下列两条平行线之间的距离： (1)，； (2)，． 【答案】(1) (2) 【分析】根据给定条件利用平行线间距离公式直接计算即可得解. 【详解】（1）因为直线可化为， 又直线， 所以直线与的距离为. （2）因为直线可化为：， 又直线， 所以直线与的距离：. 学科网（北京）股份有限公司 $$