专题1.6 直线与方程易错必刷题型专训（60题15个考点）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019选修第一册）

专题1.6 直线与方程易错必刷题型专训（60题15个考点） 【易错必刷一 直线的倾斜角】 1．（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课堂例题）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江温州·期中）直线：的倾斜角是 . 4．（24-25高二·全国·课后作业）分别写出下列直线的倾斜角： (1)垂直于轴的直线； (2)垂直于轴的直线； (3)第一、三象限的角平分线； (4)第二、四象限的角平分线． 【易错必刷二 斜率公式的应用】 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 6．（多选题）（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）已知三点共线，则实数的值为 . 8．（2024高二·全国·专题练习）已知 ，，三点在同一条直线上，求的值． 【易错必刷三 直线与线段的相交关系求斜率范围】 9．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[1,4] 10．(多选题)（24-25高二上·四川雅安·期中）直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·天津南开·期中）设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是 . 12．（2024高三·全国·专题练习）已知直线：，，，若直线与线段恒有公共点，求的取值范围. 【易错必刷四 直线的点斜式方程及辨析】 13．（23-24高二上·北京昌平·期中）经过点，且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2024高二·全国·专题练习）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为 ． 16．（23-24高二下·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【易错必刷五 直线两点式方程及辨析】 17．（22-23高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 18．（多选题）（23-24高二上·江苏·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B．直线的斜率为，则其倾斜角为 C．斜率相等的两直线的倾斜角一定相等 D．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示. 19．（24-25高二上·上海·课前预习）两个坐标对称形式的两点式方程，只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有意义．但不等于说只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有两点式方程．我们把直线的两点式方程改写为 ，这样得到的结果也可以表示与坐标轴平行或重合的直线． 20．（24-25高二·江苏·课后作业）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程： (1)A(3, 1), B(2, －3)； (2)A(2, 1), B(0, －3)； (3)A(0, 5), B(4, 0). 【易错必刷六 直线的一般式方程及辨析】 21．（24-25高二上·全国·课后作业）直线：，：（，）在同一坐标系中的图形大致是（   ） A． B． C． D． 22．（多选题）（23-24高二上·宁夏银川·期中）直线（A，B不同时为0）下列说法正确的是（    ） A．则该直线与两坐标轴都相交 B．，则该直线与轴平行 C．则该直线为轴所在直线 D．，则该直线过原点 23．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 24．（2023高二上·江苏·专题练习）设直线l的方程为，若直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值. 【易错必刷七 由斜率判断两条直线平行】 25．（22-23高二上·北京·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 26．（多选题）（23-24高二上·全国·课后作业）下列各直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二下·全国·随堂练习）下列直线与直线 (与不重合)平行的有 .(填序号) ①经过点，，经过点，； ②的斜率为2，经过点，； ③的倾斜角为，经过点，； ④经过点，，经过点，. 28．（22-23高二·全国·课堂例题）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)平行于y轴，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【易错必刷八 由斜率判断两条直线垂直】 29．（24-25高二上·重庆·阶段练习）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（   ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 30．（多选题）（23-24高二下·全国·课后作业）【多选】以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 31．（22-23高二上·河南商丘·期中）若，，，则的外接圆面积为 ． 32．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知平面直角坐标系中三点，，．证明：是直角三角形．    【易错必刷九 求直线交点坐标】 33．（22-23高三下·河北石家庄·期中）已知直线，，给出命题：直线和与轴的交点关于轴对称，：直线与的交点在直线上．则（    ） A．假真 B．真真 C．假假 D．真假 34．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）与直线相交，且交点在第四象限的直线方程是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高二上·湖南长沙·期中）直线与直线的交点坐标为 36．（23-24高二上·上海·课后作业）给定直线和，是任意实数，求证：不论取何值，直线一定经过平面上的一个定点． 【易错必刷十 求平面两点间的距离】 37．（2023高二上·全国·专题练习）已知点，，，若，，是的三个顶点，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 38．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 39．（23-24高二下·全国·课后作业）直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， . 40．（22-23高二·全国·课堂例题）在直角三角形中，点为斜边的中点，试建立适当的直角坐标系，求证：． 【易错必刷十一 用两点间的距离公式求函数最值】 41．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 42．（多选题）（2022·吉林长春·模拟预测）如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，以x轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，P，则下列说法正确的是（    ） A． B．扇形的面积为 C． D．当时，四边形的面积为 43．（2023高一上·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 44．（24-25高二·全国·课后作业）若点在直线上运动，求的最小值． 【易错必刷十二 求点到直线的距离】 45．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 46．（多选题）（2025·江西景德镇·模拟预测）已知为坐标原点，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“1距直线”，下列直线是“1距直线”的是（   ） A． B． C． D． 47．（2024高三·全国·专题练习）点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线的距离 . 48．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点是直线上任意一点，求点与点之间距离的最小值． 【易错必刷十三 求点关于直线的对称点】 49．（2024·重庆·模拟预测）已知直线 和曲线 ，若点 是曲线 关于直线 的对称曲线 的任意点，则点 满足（    ） A． B． C． D． 50．（多选题）（22-23高二上·山东淄博·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点(0，2)关于直线y=x+1的对称点为(1，1) C．过(x1,y1)，(x2,y2)两点的直线方程为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－ 51．（24-25高二上·上海闵行·期末）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值为 ． 52．（24-25高二·全国·课后作业）已知关于直线的对称点为，求点的坐标． 【易错必刷十四 将军饮马问题求最值】 53．（23-24高二上·重庆万州·阶段练习）唐代诗人李的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 54．（多选题）（24-25高二上·四川雅安·期中）已知点，，在直线上，则的值可能为（   ） A． B． C． D．3 55．（23-24高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知点，，P是x轴上的点，则的最小值等于 ． 56．（22-23高二·全国·课后作业）已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值． 【易错必刷十五 直线关于直线对称问题】 57．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 58．（多选题）（22-23高二上·福建厦门·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．若直线过，且的横截距是纵截距的2倍，则直线的方程为 C．直线关于轴对称直线方程为 D．经过点，且与，两点距离相等的直线的方程为 59．（22-23高二上·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线方程是 . 60．（24-25高三·河北衡水·周测）已知直线，直线，若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 直线与方程易错必刷题型专训（60题15个考点） 【易错必刷一 直线的倾斜角】 1．（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率的取值范围，利用直线倾斜角与斜率的关系可得出直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课堂例题）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解. 【详解】根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：AB 3．（23-24高二上·浙江温州·期中）直线：的倾斜角是 . 【答案】 【分析】求出斜率，根据斜率可求得倾斜角. 【详解】因为直线：，斜率， 故倾斜角为. 故答案为：. 4．（24-25高二·全国·课后作业）分别写出下列直线的倾斜角： (1)垂直于轴的直线； (2)垂直于轴的直线； (3)第一、三象限的角平分线； (4)第二、四象限的角平分线． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】直接倾斜角的定义依次求解各直线的倾斜角即可得答案. 【详解】（1）解：当直线垂直于轴时，直线的向上方向与轴正方向形成的夹角为，所以所求直线的倾斜角为. （2）解：当直线垂直于轴时，此时，直线与轴平行或重合， 所以所求直线的倾斜角为. （3）解：当直线为第一、三象限的角平分线时，直线的向上方向与轴正方向形成的夹角为， 所以所求直线的倾斜角为. （4）解：当直线为第二、四象限的角平分线时，直线的向上方向与轴正方向形成的夹角为 所以所求直线的倾斜角为. 【易错必刷二 斜率公式的应用】 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由三点中任意两点的直线斜率相等列式求解即可． 【详解】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得，解得． 故答案为：D. 6．（多选题）（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求解作答. 【详解】依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等， 于是，整理得，所以或. 故选：AC 7．（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）已知三点共线，则实数的值为 . 【答案】4 【分析】根据确定直线斜率存在，再根据三点共线可得斜率相等，即可得实数的值. 【详解】因为的横坐标不相同，故三点共线 可得，则，解得. 故答案为：. 8．（2024高二·全国·专题练习）已知 ，，三点在同一条直线上，求的值． 【答案】2或 【分析】利用点共线的定义求解参数即可. 【详解】三点共线， ，，解得或． 故所求的a的值为2或． 【易错必刷三 直线与线段的相交关系求斜率范围】 9．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[1,4] 【答案】D 【分析】记为点，求出的斜率，结合图象可得结论． 【详解】记为点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率， 因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是[1,4]. 故选：D． 10．(多选题)（24-25高二上·四川雅安·期中）直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别计算出直线过点、时的斜率，结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】当直线过点时，设直线的倾斜角为，则 ， 当直线过点时，设直线的倾斜角为，则 ， 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为或. 故选：ACD. 11．（24-25高二上·天津南开·期中）设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出直线所过定点坐标，再求得定点与连线的斜率，结合图形可得结论． 【详解】易知直线过定点，是该直线的斜率， 又，， 由图可知的取值范围是． 故答案为：． 12．（2024高三·全国·专题练习）已知直线：，，，若直线与线段恒有公共点，求的取值范围. 【答案】 【分析】先判断直线所过定点，再数形结合求的取值范围 【详解】 故直线过定点 如下图所示： ， 若直线与线段恒有公共点，则或 即 【易错必刷四 直线的点斜式方程及辨析】 13．（23-24高二上·北京昌平·期中）经过点，且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】因为所求直线的倾斜角为，所以所求直线的斜率， 所以直线方程为，即，故ACD错误. 故选：B. 14．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可知直线的斜率为，分两种情况，由点斜式得到直线方程. 【详解】由题意可知直线的斜率为， 当直线的斜率为1时，直线方程为，化简得； 当直线的斜率为时，直线方程为，化简得. 故选：BC 15．（2024高二·全国·专题练习）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为 ． 【答案】或． 【分析】首先求出已知直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角，即可求出直线方程. 【详解】因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，且过点． 又直线与直线的夹角为，且过点， 如图所示，直线的倾斜角为或． 故直线的方程为：或． 故答案为：或 16．（23-24高二下·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】倾斜角求出斜率，进而由点斜式写出直线的斜截式方程. 【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）由于倾斜角，则斜率， 由斜截式可得所求直线方程为 （3）由于直线的倾斜角为，则其斜率. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 则直线在y轴上的截距或， 故所求直线方程为或. 【易错必刷五 直线两点式方程及辨析】 17．（22-23高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解. 【详解】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即. 故选：D 18．（多选题）（23-24高二上·江苏·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B．直线的斜率为，则其倾斜角为 C．斜率相等的两直线的倾斜角一定相等 D．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示. 【答案】CD 【分析】利用反例说明A、B，根据倾斜角与斜率的共线判断C，根据两点式方程判断D； 【详解】对于A：如倾斜角为的直线的斜率为，而倾斜角的直线的斜率为，故A错误； 对于B：如直线的斜率为，但是其倾斜角为，故B错误； 对于C：斜率相等的两直线的倾斜角一定相等，故C正确； 对于D：当时，经过的直线方程为，此时适合； 当时，经过的直线方程为，此时适合； 当，时，经过的直线方程为， 也即， 故经过任意两个不同的点的直线方程可以表示为：，D正确； 故选：CD 19．（24-25高二上·上海·课前预习）两个坐标对称形式的两点式方程，只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有意义．但不等于说只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有两点式方程．我们把直线的两点式方程改写为 ，这样得到的结果也可以表示与坐标轴平行或重合的直线． 【答案】 【分析】理解两点式方程，然后将等式交叉相乘即可． 【详解】将变形得到， 故答案为：． 20．（24-25高二·江苏·课后作业）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程： (1)A(3, 1), B(2, －3)； (2)A(2, 1), B(0, －3)； (3)A(0, 5), B(4, 0). 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】根据直线的两点式方程的求法即可求得答案. 【详解】（1）直线的两点式方程为. （2）直线的两点式方程为. （3）直线的两点式方程为. 【易错必刷六 直线的一般式方程及辨析】 21．（24-25高二上·全国·课后作业）直线：，：（，）在同一坐标系中的图形大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的大致图象判断参数大小或符号，判断符合要求的答案. 【详解】将与的方程化为斜截式得，， A：对应，又，则，显然不符合； B：对应，而在y轴上截距为正，不符； C：对应，结合易知，符合； D：对应，而的斜率为正，不符； 故选：C 22．（多选题）（23-24高二上·宁夏银川·期中）直线（A，B不同时为0）下列说法正确的是（    ） A．则该直线与两坐标轴都相交 B．，则该直线与轴平行 C．则该直线为轴所在直线 D．，则该直线过原点 【答案】ACD 【分析】根据，，与零的关系得到直线方程的形式，然后判断即可. 【详解】若，则，，该直线与两坐标轴都有交点，故A正确； ，则直线方程为，该直线与轴平行或重合，故B错； ，，则直线方程为，表示轴所在的直线，故C正确； ，则直线方程为，经过原点，故D正确. 故选：ACD. 23．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解. 【详解】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 24．（2023高二上·江苏·专题练习）设直线l的方程为，若直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值. 【答案】 【分析】先求出直线的横纵截距，再构建方程，解之即可. 【详解】因为直线l的方程为， 即， 由题意可知：，即， 即直线l的方程为， 所以，当时，， 当时，， 由直线l在x轴和y轴上的截距相等，可知， 解得. 【易错必刷七 由斜率判断两条直线平行】 25．（22-23高二上·北京·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断． 【详解】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确； 由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确， 所以正确的命题个数是4． 故选：D． 26．（多选题）（23-24高二上·全国·课后作业）下列各直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据直线平行的充要条件一一判定即可. 【详解】两直线， 其平行的充要条件为且或， 对于A项，易知且，即A正确； 对于B项，易得，有且，即B正确； 对于C项，易知且，即C正确； 对于D项，易知，D项不符合. 故选：ABC 27．（23-24高二下·全国·随堂练习）下列直线与直线 (与不重合)平行的有 .(填序号) ①经过点，，经过点，； ②的斜率为2，经过点，； ③的倾斜角为，经过点，； ④经过点，，经过点，. 【答案】①③④ 【分析】利用斜率定义及坐标公式计算判断①②③；求出直线倾斜角判断④. 【详解】对于①，直线的斜率，直线的斜率，，所以； ②直线的斜率，所以不平行于； ③直线的斜率，直线的斜率，，所以； ④轴，轴，即直线与直线的倾斜角都为，所以. 故答案为：①③④ 28．（22-23高二·全国·课堂例题）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)平行于y轴，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行 (2)平行 (3)重合 【分析】 （1）分别求直线与直线的斜率，进而分析判断； （2）注意到恰好与y轴重合，结合题意分析判断， （3）分别求直线与直线以及的斜率，结合题意分析判断. 【详解】（1）因为，，即，所以与不平行． （2）由题意可知恰好与y轴重合，所以． （3）由题意可知，，即， 所以与平行或重合． 又因为，可知E，F，G，H四点共线，所以与重合． 【易错必刷八 由斜率判断两条直线垂直】 29．（24-25高二上·重庆·阶段练习）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（   ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 【答案】C 【分析】设两直线的斜率分别为，利用根与系数的关系，即可得到，即可判断. 【详解】设两直线的斜率分别为，因为是方程的两根， 利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直. 故选：C 30．（多选题）（23-24高二下·全国·课后作业）【多选】以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 31．（22-23高二上·河南商丘·期中）若，，，则的外接圆面积为 ． 【答案】 【分析】由斜率得，从而可得是直角三角形的斜边，也是的外接圆的直径，求得长后得圆半径，从而得圆面积． 【详解】，，，∴，是直角三角形的斜边，也是的外接圆的直径， ，外接圆半径为， 圆表面积为． 故答案为：． 32．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知平面直角坐标系中三点，，．证明：是直角三角形．    【答案】证明见解析 【分析】根据直线和直线的斜率以及两直线的位置关系等知识证得结论成立. 【详解】证明：由条件可知，，． 因为，所以，即是直角三角形． 【易错必刷九 求直线交点坐标】 33．（22-23高三下·河北石家庄·期中）已知直线，，给出命题：直线和与轴的交点关于轴对称，：直线与的交点在直线上．则（    ） A．假真 B．真真 C．假假 D．真假 【答案】D 【分析】令分别求得直线和与轴的交点即可判断命题p，求出两直线交点，再判断点是否在直线上即可判断命题q. 【详解】因为直线和与轴的交点分别为，，所以为真命题． 因为，所以直线与的交点为，且，所以为假命题． 故选：D. 34．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）与直线相交，且交点在第四象限的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】联立直线方程求出交点坐标判断即可. 【详解】联立，得交点坐标为，在第一象限，故错误； 联立，得交点坐标为，在第一象限，故错误； 联立，得交点坐标为，在第四象限，故C正确； 联立，得交点坐标为，在第四象限，故D正确． 故选：. 35．（24-25高二上·湖南长沙·期中）直线与直线的交点坐标为 【答案】 【分析】联立两条直线方程，即可求解. 【详解】联立，得， 所以交点坐标为. 故答案为： 36．（23-24高二上·上海·课后作业）给定直线和，是任意实数，求证：不论取何值，直线一定经过平面上的一个定点． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意若直线恒过定点，则的系数为零，即，同时，联立解方程组可求出定点坐标，即可证明. 【详解】证明：联立直线和可得，解得； 即直线和的交点坐标为， 则在中， 当时，恒成立，与的取值无关； 因此直线一定经过平面上的一个定点. 即不论取何值，直线一定经过平面上的一个定点. 【易错必刷十 求平面两点间的距离】 37．（2023高二上·全国·专题练习）已知点，，，若，，是的三个顶点，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】计算，，，且，得到答案. 【详解】， ，故，且， 故为等腰三角形. 故选：B. 38．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 【答案】BD 【分析】利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意，可得， 可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离， 故选：BD 39．（23-24高二下·全国·课后作业）直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， . 【答案】 【分析】设，，利用中点坐标公式即可得出a，b， 【详解】设，， ∵P为AB中点，∴， 解得，， 即，， 所以 故答案为：. 40．（22-23高二·全国·课堂例题）在直角三角形中，点为斜边的中点，试建立适当的直角坐标系，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】以直角的直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，设两点的坐标分别为和，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】如图所示，以直角的直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系， 设两点的坐标分别为，， 因为点是的中点，所以点的坐标为，即， 由两点间距离公式得， ． 所以，即．    【易错必刷十一 用两点间的距离公式求函数最值】 41．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点间的距离公式求解即可． 【详解】， 可以看做平面上点与点，的距离和， 连接AB，与x轴交于， ∴的最小值为． 故选：C． 42．（多选题）（2022·吉林长春·模拟预测）如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，以x轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，P，则下列说法正确的是（    ） A． B．扇形的面积为 C． D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】由题意圆的半径 在平面直角坐标系中写出的坐标用两点间的距离公式计算即可得A选项；选项B，利用扇形的面积公式计算即可；选项C，利用两点间的距离公式写出化简即可；选项D，分别表示出来化简即可 【详解】由题意圆的半径 选项A：由题意得 所以 所以，故A正确； 选项B：因为， 所以扇形的面积， 故B错误； 选项C， 故C正确； 选项D： 因为， 所以 故D正确 故选：ACD. 43．（2023高一上·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 【答案】 【分析】函数表示点到点和的距离之差，结合图形即可得解. 【详解】因为， 所以它表示点到点和的距离之差，如图所示： 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 44．（24-25高二·全国·课后作业）若点在直线上运动，求的最小值． 【答案】13 【分析】，表示轴上一点到两点的距离之和，因为AB在x轴两侧，所以P就是直线AB和x轴交点，即可得出结论. 【详解】 表示轴上一点到两点的距离之和， 中，两边之和大于第三边， 当在一直线且P在AB之间时，PAB退化为线段， 此时，即有最小值AB； AB在轴两侧，所以P就是直线AB和轴交点， 最小值存在，就是AB距离 故答案为：13. 【易错必刷十二 求点到直线的距离】 45．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】原点到直线的距离为, 故选：. 46．（多选题）（2025·江西景德镇·模拟预测）已知为坐标原点，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“1距直线”，下列直线是“1距直线”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意可得原点O到直线的距离小于或等于1，利用点到直线距离公式去判断四个选项，得到答案. 【详解】由题意可得原点O到直线的距离小于或等于1， A选项，原点O到的距离， 点在上，且到原点O到距离为1，满足要求，A正确； B选项，原点O到的距离为1，B正确； C选项，原点O到的距离，满足要求，C正确； D选项，原点O到的距离，D错误. 故选：ABC 47．（2024高三·全国·专题练习）点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线的距离 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 48．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点是直线上任意一点，求点与点之间距离的最小值． 【答案】3 【分析】依题意可知，当与直线垂直时点与点之间距离的最小，求出点到直线的距离即可. 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离的最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 【易错必刷十三 求点关于直线的对称点】 49．（2024·重庆·模拟预测）已知直线 和曲线 ，若点 是曲线 关于直线 的对称曲线 的任意点，则点 满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点关于直线的对称点为，则，解之即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 又点在曲线上，所以， 所以. 故选：D 50．（多选题）（22-23高二上·山东淄博·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点(0，2)关于直线y=x+1的对称点为(1，1) C．过(x1,y1)，(x2,y2)两点的直线方程为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－ 【答案】BD 【分析】对选项A，根据直线与两坐标轴的交点即可判断A错误，对选项B，首先设出对称点，再解方程组即可判断B正确，对选项C，根据直线两点式公式即可判断C错误，对选项D，设直线方程为，根据题意得到，再解方程即可判断D正确. 【详解】对选项A，直线，当时，，当时，， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积，故A错误. 对选项B，设关于直线的对称点为， 则，解得，即对称点为，故B正确. 对选项C，当或时，直线方程无意义，故C错误. 对选项D，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为， 直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则， 所以，解得，故D正确. 故选：BD 51．（24-25高二上·上海闵行·期末）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据题意画出示意图，进而求解结论． 【详解】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中； 当是图一时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为； 如图；根据直线的对称性可得：； 当是图2时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为， 如图：根据直线的对称性可得：； 因为，则，故只有. 故答案为：1． 52．（24-25高二·全国·课后作业）已知关于直线的对称点为，求点的坐标． 【答案】 【分析】设点，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】解：设点，直线的斜率为，线段的中点为， 由题意可得，解得，故点. 【易错必刷十四 将军饮马问题求最值】 53．（23-24高二上·重庆万州·阶段练习）唐代诗人李的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方程及坐标，确定关于的对称点的坐标，则是“将军饮马”的最短路程，利用两点距离公式求距离即可. 【详解】若是关于的对称点，如下图示：“将军饮马”的最短总路程为， ∴，解得，即. ∴. 故选：C 54．（多选题）（24-25高二上·四川雅安·期中）已知点，，在直线上，则的值可能为（   ） A． B． C． D．3 【答案】BC 【分析】利用对称性以及两点间的距离公式来求得正确答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即关于的对称点为，且， 所以，当三点共线时取等号， 故BC选项符合题意， 故选：BC 55．（23-24高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知点，，P是x轴上的点，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】过点作轴的对称点，即等于所求最小值，根据对称性求出坐标，根据两点间的距离公式，即可求出答案. 【详解】    如图，过点作轴的对称点，连接与轴的交点即为点， 此时有最小值. 又坐标为，所以. 故答案为：. 56．（22-23高二·全国·课后作业）已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值． 【答案】，最小值 【分析】求得关于直线的对称点，结合两点间的距离公式求得的最小值. 【详解】设关于直线的对称点为， 线段的中点为， 所以， 解得，即， 所以的最小值为， 此时直线的方程为， 由解得，所以. 【易错必刷十五 直线关于直线对称问题】 57．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为所求直线上任一点，则关于轴对称的点为，将其代入中化简可得答案. 【详解】设为所求直线上任一点，则关于轴对称的点为， 由题意可得点在直线上， 所以，即， 所以与直线关于轴对称的直线的方程为， 故选：B 58．（多选题）（22-23高二上·福建厦门·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．若直线过，且的横截距是纵截距的2倍，则直线的方程为 C．直线关于轴对称直线方程为 D．经过点，且与，两点距离相等的直线的方程为 【答案】AC 【分析】根据直线的截距、直线对称、点线距离等知识确定正确答案. 【详解】A选项，直线的横截距为，纵截距为， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，A选项正确. B选项，直线过点，且的横截距是纵截距的2倍，所以B选项错误. C选项，直线关于轴对称直线方程为（横坐标相同，纵坐标相反），C选项正确. D选项，直线经过点，且与，两点距离相等（都为），所以D选项错误. 故选：AC 59．（22-23高二上·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线方程是 . 【答案】 【分析】在直线上任取一点，求该点关于的对称点的坐标，并代入直线即可得出所求方程. 【详解】设所求直线上任一点的坐标为，该点关于的对称点的坐标为， 则,得对称点的坐标为， 又点在直线上， 所以，即. 所以所求直线方程为. 故答案为：. 60．（24-25高三·河北衡水·周测）已知直线，直线，若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． 【答案】. 【分析】由两条直线平行设，利用对称点连线与对称轴垂直及中点在对称轴上求得，进而求直线. 【详解】由题意知：，设直线， 在直线上取，设关于直线的对称点， 于是有，解得，即． 把代入的方程，得， 所以直线的方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $$