陕西省西安市新城区西安秦川机械厂子弟中学2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题

2024-2025学年陕西省西安市秦川机械厂子弟中学七年级（下）月考数学试卷（5月份）（1） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数，，，中，最大的数是 A. B. C. D. 2.若分式有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.下列从左边到右边的变形，是因式分解的是(    ) A. B. C. D. 4.随着汽车电气化、网联化程度不断加深，汽车逐渐成为万物互联的重要入口之一，原本用于驾驶的时间及精力也将逐渐被高级辅助驾驶释放，数字智能座舱在汽车中显得越来越重要高通骁龙芯片，是高通第四代骁龙汽车数字座舱平台中的产品，采用的是纳米技术，已知为，则用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 5.下列说法正确的是(    ) A. 的立方根为 B. 算术平方根等于它本身的只有 C. 立方根等于这个数本身的数只有 D. 的平方根是 6.已知，下列不等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 7.若，则下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 8.下列算式中，适合运用平方差公式计算的是(    ) A. B. C. D. 9.中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的倍．设特快列车的平均行驶速度为，则下面所列方程中正确(    ) A. B. C. D. 10.已知，则的平方根是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.因式分解______． 12.不等式的解集为______． 13.若关于的方程有正数解，则的取值范围为______． 14.如果，，是正数，且满足，，则的值为        ． 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 15.解方程：． 四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 计算：． 17.本小题分 先化简，再求值，其中． 18.本小题分 已知代数式． 因式分解； 若，，求的值． 19.本小题分 观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解答下列问题： 写出第个等式：______； 写出你猜想的第个等式用含的等式表示，并证明． 20.本小题分 规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么例如：因为，所以因为，所以． 根据上述规定，填空： ______， ______； 证明：； 若，，，探究，，的关系． 21.本小题分 解方程：； 若关于的方程有增根，试求的值． 22.本小题分 某批发商计划购进甲、乙两种水果，已知每千克甲种水果的进价比每千克乙种水果的进价多元，用元购进甲种水果的质量恰好与用元购进乙种水果的质量相同． 求该批发商购进甲、乙两种水果的单价各是多少元？ 若该批发商计划购进甲、乙两种水果共千克，且决定将甲种水果以每千克元乙种水果以每千克元的价格对外出售，若要获得总利润不低于元，则至少应购进甲种水果多少千克？ 23.本小题分 阅读运用： 对，定义一种新运算，规定其中，均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算，如：． 若，． 求； 若关于的不等式组恰有个整数解，求实数的取值范围． 若对任意实数，都成立，试说明是否为定值，并求出该定值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， 最大的数是：． 故选：． 利用实数大小的比较方法：、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2.【答案】  【解析】解：分式有意义， ， 解得：， 故选：． 根据分式有意义的条件是分母不等于列式计算即可． 本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：根据因式分解定义逐项分析判断如下： A、，是整式的乘法，不符合题意； B、，等式右边不是积的形式，不符合题意； C、，等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意； 故选：． 根据因式分解的定义，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，进行判断即可． 本题考查判断是否是因式分解，熟练掌握定义是关键． 4.【答案】  【解析】解：米纳米， 纳米米米． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 5.【答案】  【解析】解：的立方根为，选项说法错误，不符合题意； B.算术平方根等于它本身的有和，选项说法错误，不符合题意； C.立方根等于这个数本身的数有和，选项说法错误，不符合题意； D.的平方根是，选项说法正确，符合题意． 故选：． 根据立方根，平方根，算术平方根的定义进行判断． 本题考查了立方根，平方根，算术平方根，掌握相应的定义是关键． 6.【答案】  【解析】解：由，根据不等式性质两边减同个数不等号方向不变，考虑与由于减后仍成立，而减数更小结果更大，因此一定成立，所以选项A符合题意； 由，两边乘正数，根据不等式性质，得，故不成立，所以选项B不符合题意； 由，两边乘，根据不等式性质方向改变，得而与的大小取决于的符号．若为正数，则，故；若为负数，可能不成立如，时，不成立因此不一定成立，所以选项C不符合题意； 取反例，，满足，但，故D不成立，所以选项D不符合题意． 故选：． 根据不等式的性质逐一分析各选项是否一定成立即可． 本题考查不等式的性质，绝对值，关键是不等式性质的熟练掌握． 7.【答案】  【解析】解：， 由题意可得：，，， 解得：，，， ，，， 选项结论不正确，符合题意． 故选：． 先计算，结合已知可得，，，再进一步求解即可． 本题考查的是多项式的乘法运算，正确进行计算是解题关键． 8.【答案】  【解析】解：，不适合运用平方差公式计算，不符合题意； B.，不适合运用平方差公式计算，不符合题意； C.不符合平方差公式要求，不适合运用平方差公式计算，不符合题意； D.，适合运用平方差公式计算，符合题意． 故选：． 根据平方差公式的特点逐一分析即可． 本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式的定义是关键． 9.【答案】  【解析】解：设特快列车的平均行驶速度为，则高铁列车的平均行驶速度为， 依题意得：． 故选：． 设特快列车的平均行驶速度为，则高铁列车的平均行驶速度为，利用时间路程速度，结合乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用，即可得出关于的分式方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：设，则，代入原方程得： ， ， ，即，故． 当时，； 当时，无平方根． 的平方根为， 故选：． 通过变量替换简化方程，求出中间变量后求解平方根． 本题考查了完全平方公式，平方根，正确进行计算是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：原式， 故答案为： 原式提取，再利用完全平方公式分解即可． 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12.【答案】  【解析】解：去括号，得， 移项及合并，得， 系数化为，得． 故答案为：． 利用不等式的基本性质，求解不等式即可． 本题考查一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 13.【答案】且  【解析】解：， 方程两边同时乘，得， 解得：． 分式方程有正数解， ， 解得：． ，即， ， 解得：， 且． 故答案为：且． 先解分式方程，得出：，再根据分式方程有正数解，可得，由此可得再根据分式有意义的条件，可得，求出，进而得出结果． 本题考查了解分式方程的解，分式方程的解，解一元一次不等式，掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式的方法是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：， ，，， ， ， 原式． 故答案为：． 把已知等式变形后代入所求分式中，再利用整体思想将分式化简求值即可． 本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是灵活进行分式的变形以及整体思想的运用． 15.【答案】解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，所以原分式方程无解．  【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 16.【答案】．  【解析】解：原式． 先计算负整数指数幂，零指数幂和算术平方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，掌握相应的运算法则是关键． 17.【答案】，．  【解析】解：原式 ， 当时，原式． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，再将代入进行计算即可得到答案． 本题考查了分式的化简求值，平方差公式，熟练掌握分式的运算法则是解此题的关键． 18.【答案】；   ．  【解析】 ； 若，， 则． 将原式去括号再合并同类项，然后利用提公因式法因式分解即可； 将已知数值代入中所得结果中计算即可． 本题考查整式的混合运算，因式分解，熟练掌握相关运算法则及因式分解的方法是解题的关键． 19.【答案】；  ，证明见解析．  【解析】解：第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式为：； 故答案为：． 第个等式为：； 证明：等式左边 ， 等式右边， 左边右边． 根据前个等式得出第五个等式即可； 通过观察推导出规律，最后通过化简即可证明． 本题考查了运算规律的探究，分式的加减运算，掌握规律的探究方法与分式的加减运算是解题的关键． 20.【答案】，；   证明见解析；   ．  【解析】两数，之间的一种运算，记作；如果，那么， ， ， ， ， 故答案为：，； 证明：设， ， ， ， ， ； 由知，，， ，，， ，，， ， ， 即， ． 根据新定义计算即可求解； 设，可得，即得，得到，即得到，即可求证； 利用的结论可得，，，即得，，，进而得到，即得，即可求解． 本题考查了新定义运算，负整数指数幂，幂的乘方和同底数幂的乘法运算，理解新定义运算是解题的关键． 21.【答案】；  或或．  【解析】原方程整理得， 去分母得，， 解得：， 经检验，当时，， 分式方程的解为； 原方程整理得， 去分母可化为， 即， 由题意知，，为方程的增根， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，或或． 先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； 先把原方程去分母化为整式方程，再根据分式方程有增根讨论求解即可． 本题主要考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，熟知解分式方程的方法是解题的关键． 22.【答案】甲种水果单价是元，乙种水果单价是元；   ．  【解析】设每千克乙种水果的进价是元，则： ， 解得， 检验：是原方程的解且符合题意， 则甲种水果单价为元， 所以甲种水果单价是元，乙种水果单价是元． 设购进甲种水果千克，则购进乙种水果千克， 总利润：． ， 所以，至少应购进甲种水果千克． 设每千克乙种水果的进价是元，则每千克甲种水果的进价是元，依据“用元购进甲种水果的质量恰好与用元购进乙种水果的质量相同”，列出分式方程，解方程并检验，进而求出甲，乙种水果单价． 设购进甲种水果千克，则购进乙种水果千克，根据“总利润不低于元”，由总利润  甲水果利润乙水果利润，列出不等式，求解得出的取值范围，确定至少购进甲种水果的重量． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式方程的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出分式方程和列出一元一次不等式方程． 23.【答案】；；   是定值，且定值为．  【解析】由，，得 ， 解得， ， ． 不等式组， ，即， 由题意可得：，且， 解得． 由得： ，， ， ， 化简得， ， 若对任意实数，都成立， ， ， 所以是定值，且定值为． 根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组求出，的值，即可解答． 据新定义计算，列出关于的不等式组，再根据有个整数解，即可列出关于的不等式组，解不等式求出实数的取值范围，即可解答． 根据定义的新运算，列出，即，则，即可解答． 本题考查本题考查新定义、由不等式组解的情况求参数、解二元一次方程组，理解新运算是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$