15.1.2 线段的垂直平分线 课时2 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 15.1 图形的轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 课时1 线段的垂直平分线的性质和判定 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 作一条线段的垂直平分线 6. 课堂小结 3. 新课导入 5. 知识点2 过一点作已知直线的垂线 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 1. 能用尺规作一条线段的垂直平分线. 2. 能用尺规作过一点作已知直线的垂线. 3. 能用尺规作图解决相关问题. 学习目标 知识回顾 用尺规作一个角的平分线的作法是什么？ 作法：如图. (1) 以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D. (2) 分别以点C，D为圆心，大于CD 的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P. (3) 作射线OP，则射线OP为∠AOB的平分线. 新课导入 A O B E F C 如何根据作一个角的平分线的方法，完成过直线上一点作这条直线的垂线？ 新课讲解 知识点1 作一条线段的垂直平分线 思考 如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线. 由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点. 根据与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点. 如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？ B A 新课讲解 作法：如图. (1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线. C D B A 也可以用这种方法确定线段的中点 若半径等于AB，则两弧的交点在AB上；若半径小于AB，则两弧没有交点. 新课讲解 学习了线段的垂直平分线的作法，就可以作对称轴了. 由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴. B B′ C D 同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. 1.如图，已知线段.利用直尺和圆规作 的垂直平分线，步骤如下：①分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧相交于点， ；②作直线，直线就是线段的垂直平分线.则 的值可能是( ) 新课讲解 例 D A.1 B.2 C.3 D.4 新课讲解 例 2. 如图，作出这个五角星的对称轴. l A A' 新课讲解 练一练 2. 如图，下列每组的两个图形成轴对称，请画出它们的对称轴. 解：如图. 新课讲解 练一练 作法： (1)作∠MON的平分线； (2)作线段AB的垂直平分线，与∠MON的平分线交于点P，则点P即为所求作的点. P 2. 如图，求作点P，使PA＝PB，且点P到∠MON两边的距离相等． 新课讲解 知识点2 过一点作已知直线的垂线 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 分析：假设所求作直线已经作出，则它不仅过点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线. A B C 我们已经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在直线AB上确定这两点.根据前面关于线段的垂直平分线的定理，这两点只需满足与点C的距离相等即可. 探究 新课讲解 作法： (1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E. (2)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. (3)作直线CF，则直线CF就是所求作的垂线. A B C F D E 所取半径要满足所作的弧与已知直线有交点. 确保CD=CE 确保FD=FE 新课讲解 例 解：如图， 即为所求. 4. 如图，已知，求作 边上的高.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 新课讲解 例 B A. B. C. D. 4. 如图，在中， ，以点 为圆心，长为半径作弧，交于点，分别以， 为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线交于点， ，则 ( ) 新课讲解 练一练 1. 如图，已知线段a，求作直角三角形，使一直角边长为a，斜边长为2a. （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 解：如图，Rt△AOB即为所求. 新课讲解 练一练 (1) 过点C作射线BF的垂线，垂足为M；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：(1) 如图所示. (2) 在(1)的条件下，若BM＝8，求S△ABM. 2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC上一点，AE⊥BF，AB＝BC. (2) 如图，连接AM. 由(1)知，CM⊥BM，∴∠BMC＝90°. ∵AE⊥BF， ∴∠AEB＝∠BMC＝90°， ∴∠BAE＋∠ABE＝90°. ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBM＋∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBM. ​在△ABE和△BCM中， ∴△ABE≌△BCM（AAS）， ∴AE＝BM＝8， ∴S△ABM＝ BM·AE＝ ×8×8＝32. 课堂小结 直线上一点 直线外一点 尺规作图 作一条线段的垂直平分线 过一点作已知直线的垂线 当堂小练 1. 下面是“作线段的垂直平分线”的尺规作图过程.请依据作法填空并完成作图. 已知：线段AB（如图）. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：(1) 分别以 和 为圆心，大于 ⁠的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； 点A 点B　 AB　 解：如图所示，直线CD即为所求作的直线. (2) 作直线 ⁠. 即为所求作的直线. CD　 CD　 当堂小练 2. 观察图中尺规作图的痕迹，可得 一定是 的 ( ) B A. 角平分线 B. 高线 C. 边的垂直平分线 D. 中线 当堂小练 3. 作出下列各图形的一条对称轴. 有无数条对称轴，每一条过圆心的直线都是它的对称轴 有2条对称轴 有2条对称轴 只有1条对称轴 有3条对称轴 当堂小练 4. 如图，与图形(1)成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴. 当堂小练 5. 如图，△ ABC 与△DEF关于直线l 对称，请在下面图①，图②中分别作出直线l，保留作图痕迹，不写作法. 解：如图所示． 当堂小练 B A. B. C. D. 6. 如图，在等腰三角形中， ，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点和点，作直线，交于点，连接，则 的度数是 ( ) 当堂小练 7. 尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线. 解：如图，已知直线l，M为l上的点. 求作直线a，使直线a经过点M，且垂直于直线l. 作法：如图， (1)以点M为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点A，B. (2)分别以点A，B为圆心,大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D. (3)过点C，D的直线a即为所求 C D A B a 8. (1) 画出下列正多边形所有的对称轴，并完成表格. 正多边形的边数 3 4 5 6 … 对称轴的条数 3 4 5 6 … (2) 根据上表，猜想正十边形有 条对称轴，正n边形有 条对称轴. 解：(1) 对称轴如图所示. 3 4 5 6 10　 n　 对接中考 C A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 1. 如图，在 中，，，分别以点，点 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点， ，过点，作直线交于点，连接，则 的周长为 ( ) 对接中考 2. 如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD. 若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为（ 　） C A. 13 B. 16 C. 19 D. 29 拓展与延伸 解：(1) 如图，， 即为所求. (2) 平分，，， . ， ， . 1. 如图，在中， . (1) 尺规作的角平分线，与交于点,过点作 ，垂足为 ； (2) 在(1)的条件下，如果，求 的值. 拓展与延伸 2. 如图，在平面直角坐标系中，点，点 . (1) 只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点，使点 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）： ①点到，两点的距离相等；②点到轴和 轴的距离相等. (2) 在(1)作出点后，写出点 的坐标. 解：(1) 如图，点 即为所求作的点； (2) 设的垂直平分线交于点，交轴于点 ， 由作图可得，，轴，且 ， 是坐标轴的角平分线， . $$