17.1勾股定理的应用 备课包 2024-2025学年人教版八年级数学下册

维度 名称 表示 零维 一维 二维 三维 质点（点） 数轴（线） 平面直角坐标系（面） 空间直角坐标系（体） 勾股定理的应用 人 教 版 数 学 教 材 八 年 级 下 榆关学区初级中学 陈娟 www.v5ppt.com 3 一 回顾勾股定理 1、如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边那么. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2、勾股定理的应用条件：在直角三角形中才可以使用 3、勾股定理表达式的常见变形： www.v5ppt.com 4 二 合作探究（一） 2、如图，根据图中标注在点A所表示的数为 __________ 1、如图，已知OA＝OB，点A到数轴的距离为1，那么数轴上点B所表示的数为______ www.v5ppt.com 5 二 1、数轴上两点间距离 总结： 点A，B之间的距离等于数a，b的差的绝对值 在数轴上，点A，B分别表示数a，b. 回顾 合作探究（一） www.v5ppt.com 6 校园生活进行曲 三 例1、 已知平面直角坐标系内两点A（3，﹣1）和B（﹣1，2），则AB＝ ______． 5 构造直角三角形 合作探究（二） www.v5ppt.com 7 三 拓展：两点间距离公式 公式内容： 针对练习：已知点A(1，2)，点B(4，6)，则AB间的距离为 合作探究（二） www.v5ppt.com 8 三 例2：“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝________. 解：设BC＝x，则BD＝BA＝x+1， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB2＝AC2+BC2， 即（x+1）2＝52+x2， 解得x＝12， 即BC＝12， 5 1 x x+1 12 方程思想 合作探究（二） 如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm．一只蚂蚁从点A出发沿着表面爬行到点B，求蚂蚁爬行的最短路程． 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。您的内者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字 四 例3：如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm．一只蚂蚁从点A出发沿着表面爬行到点B，求蚂蚁爬行的最短路程． 高效课堂小组活动 合作探究（三） www.v5ppt.com 10 四 规律方法： 化立体图形问题为平面图形问题，解决最短路径问题 求立体图形上两点间的最短距离时，可先将立体图形展开，使这两点在同一平面内，再利用勾股定理求出两点之间线段的长度，但需要注意，一个立体图形的展开方式可能不止一种，要从中选出最短路径。 合作探究（三） 例：如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm．一只蚂蚁从点A出发沿着表面爬行到点B，求蚂蚁爬行的最短路程． 变式：如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm．一只蚂蚁从点A出发沿着长方体内部的木棍爬行到点B，求蚂蚁爬行的路程． www.v5ppt.com 12 如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm．一只蚂蚁从点A出发沿着表面爬行到点B，求蚂蚁爬行的最短路程． 四 拓展：长方体对角线长公式 合作探究（三） www.v5ppt.com 13 如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm．一只蚂蚁从点A出发沿着表面爬行到点B，求蚂蚁爬行的最短路程． 五 随堂检测 1．如图，A是棱长为2的正方体的一个顶点，B是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则展开图中A，B两点间的距离为（　　） A． B.3 C． D． D www.v5ppt.com 14 A．29 B．14.5 C．14 D．12 五 随堂检测 D 2、如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） www.v5ppt.com 15 如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm．一只蚂蚁从点A出发沿着表面爬行到点B，求蚂蚁爬行的最短路程． 五 随堂检测 3、明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度． 解：设OA＝OB＝x尺， ∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺， ∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺）， OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺， 在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺， 根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102， 整理得：8x＝116，即2x＝29， 解得：x＝14.5． 则秋千绳索的长度为14.5尺． X 5 1 10 X-4 4 www.v5ppt.com 16 请大声说出你的收获！ 回顾总结 www.v5ppt.com 17 布置作业 课本习题17.1 必做题：2、3、4、5、6 选做题：13、14 www.v5ppt.com 18 希望大家带着对数学的热爱和探索精神， 在未来的学习和生活中继续发现数学之美！ 寄语 www.v5ppt.com 19 $$ 勾股定理的应用 1、 回顾勾股定理 1、 勾股定理的内容：___________________________________________________________ 2、 勾股定理的应用条件：____________________________________ 3、 勾股定理表达式的常见形式： ___________________________________________________ ___________________________________________________ 2、 一维：线 1、如图，已知OA＝OB，点A到数轴的距离为1，那么数轴上点B所表示的数为______ 2、 如图，根据图中标注在点A所表示的数为 __________ 3、在数轴上，点A，B分别表示数a，b. 总结：数轴上两点间的距离：___________________________________________________________ 3、 二维：面 例1、 已知平面直角坐标系内两点A（3，﹣1）和B（﹣1，2），则AB＝ ______． 拓展：两点间距离公式 例2：“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝________. 4、 三维：体 例3：如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm．一只蚂蚁从点A出发沿着表面爬行到点B，求蚂蚁爬行的最短路程． 变式：如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm．一只蚂蚁从点A出发沿着长方体内部的木棍爬行到点B，求蚂蚁爬行的路程． 拓展：长方体对角线长公式 5、 随堂检测 1．如图，A是棱长为2的正方体的一个顶点，B是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则展开图中A，B两点间的距离为（　　） A． B．3 C． D． 2．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） A． B． C． D． 3、明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$null 勾股定理的应用 榆关学区初级中学 陈娟 一、教材分析 本节是人教版教科书八年级（下）第十七章《勾股定理的应用》延伸的课题学习，是在学习了勾股定理基础上，进一步应用勾股定理解决问题，是对已学知识的综合应用和深化。目的是让学生体会数学知识的连贯性，从平面图形到立体图形，按照知识的难易程度和学生认知规律设计本节课，先务实平面图形中勾股定理应用基础，在逐步引导学生向立体图形拓展，符合学生从二维到三维的认知发展顺序。 二、学情分析 在本节内容之前学生已经准确的理解了勾股定理的内容，并且对勾股定理的应用也有了一些学习基础，所以能够更好的接受初高中衔接的内容。同时八年级的学生学习了“点、线、面、体”等知识，与维度结合从一维数轴——二维平面图形——三维立体图形再次深入探究勾股定理在其中的重要应用。 在本节学习中可能存在以下问题，八年级的学生虽然学习积极性高，但数学活动的经验较少，缺乏对知识和方法的概括总结能力，因此在通过展开图将空间问题转化为平面问题时，准确的绘制出平面图形对部分学生还有一定的难度，特别是利用分类讨论的思想将长方体表面部分展开确定最短路程时难度会较大。 三、核心素养目标 1.熟练运用勾股定理的知识，通过立体图形转化为平面图形，能找出最短路线，构建直角三角形模型，解决问题。 2.经历问题的探究，学会提取关键信息，养成良好思维习惯；强化转化思想和对比方法，培养学生分析、归纳、解决问题的能力。 3.在教学过程中培养学生动手实践、观察、分析、归纳的习惯，体会知识的形成过程和获得知识的成就感；增强学生应用数学知识解决问题的经验，培养学生解决问题的能力，激发学生学习的兴趣和信心。 4、 教学重点 运用勾股定理解决简单的几何问题。 5、 教学难点 运用勾股定理解决立体图形问题，其关键是运用抽象思维将立体图形转化为平面图形，构造直角三角形，在运用勾股定理解决问题。 6、 教学过程 教学步骤 师生活动 设计意图 创设情境，导入新课 由观看电影《哪吒》在购票时有2D和3D之分， 引出数学中的维度，零维----质点（点），一维----数轴（线），二维----平面直角坐标系（面），三维----空间直角坐标系（体），勾股定理在几何中有着重要的作用，引出课题——勾股定理的应用。 借助大家喜爱的电影《哪吒》，激发学生的学习兴趣，同时可以让学生体会到数学与生活的紧密联系。 问题引入，合作探究 1、 回顾勾股定理 1、如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2、勾股定理的应用条件：在直角三角形中才可以使用 3、勾股定理表达式的常见变形 2、 勾股定理与数轴 1、如图，已知OA＝OB，点A到数轴的距离为1，那么数轴上点B所表示的数为______ 2、如图，根据图中标注在点A所表示的数为 ______ 3、回顾数轴上两点间距离 在数轴上，点A，B分别表示数a，b，点A，B之间的距离为 3、 勾股定理与平面图形 例1、 已知平面直角坐标系内两点A（3，﹣1）和B（﹣1，2），则AB＝ ______． 拓展：两点间距离公式 若有两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,则A,B两点间的距离是 针对练习：已知点A(1，2)，点B(4，6)，则AB间的距离为______ 例2：“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝________. 4、 勾股定理与立体图形 例3：如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm．一只蚂蚁从点A出发沿着表面爬行到点B，求蚂蚁爬行的最短路程． 变式：如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm．一只蚂蚁从点A出发沿着长方体内部的木棍爬行到点B，求蚂蚁爬行的路程． 拓展：长方体对角线长公式 引导学生回忆勾股定理的内容，为之后的学习做铺垫 将勾股定理与数轴（数轴上的点与实数一一对应）相结合，能让学生把代数概念和几何知识联系起来，深化对两者的理解。 衔接设计与创新点： 由一般到特殊的设计，利用几何画板动态展示构建直角三角形和计算两点距离的过程，可拖动点改变位置，实时观察公式中各参数的变化，直观感受公式的形成与应用 方程思想融合教学引导学生从不同角度思考问题，从几何直观到代数抽象，再从代数运算回归几何解释。培养学生逻辑思维、抽象思维和运算能力。 勾股定理在立体图形中的应用较为抽象，学生理解困难，几何画板动态演示有立体到平面的过程，把抽象知识可视化，助力学生理解勾股定理的本质及在立体图形中的运用原理。 衔接设计与创新点：由例题变式，巧妙的引出求长方体对角线长，利用几何画板的标记、颜色区分等功能，将抽象问题直观化。 随堂训练 1．如图，A是棱长为2的正方体的一个顶点，B是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则展开图中A，B两点间的距离为（　　） A． B．3 C． D． 2．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） A B． C． D． 3、明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度． 针对本节内容训练为主，巩固本节课所学内容，能发现学生学习漏洞和不足，及时帮助学生解决疑惑。 课堂总结 1、生畅谈收获，教师补充 2、【布置作业】课本习题17.1 必做题：2、3、4、5、6 选做题：13、14 板书设计 勾股定理的应用 1、 数轴：数轴上的点与实数是一一对应的 2、 平面图形：1、构造直角三角形 拓展： 2、方程思想解决问题 3、 立体图形：1、展开2、找点3、连线 拓展: 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$nullnullnull