第21章 二次函数与反比例函数 章节测试2025-2026学年沪科版九年级数学上册

第21章 《二次函数与反比例函数》章节测试 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线（a为常数，），将抛物线向下平移4个单位长度后得到的抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则a的值为（   ） A． B．2 C． D． 6．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．若，()是关于的方程()的两个实数根，则实数，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．已知点，在反比例函数（，k为常数）的图象上，若，且，则（    ） A． B． C． D． 9.已知直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则等于（） A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4 10．在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 12．已知二次函数的部分图象如图所示．若，则的取值范围是 ． 13．如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，若反比例函数的图象与该折线有公共点，则k的整数值有 个． 14．如图，抛物线与轴交于点，，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，，若直线与，共有个不同的交点，则的取值范围是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ． 16．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）已知函数y＝x2＋(m－3)x＋1－2m（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点． （2）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标． 18．（6分）抛物线与轴的交点为，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线第一象限上的一点，若，求点的坐标； 19．（8分）设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． (1)求k的值． (2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． (3)一次函数与函数的图象在第一象限的交点为点A，且与x轴交于点B，点C在函数位于第一象限的图象上，若，直接写出点C的横坐标． 20．（8分）已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点，都在该反比例函数图象上； ①当，且点和点关于原点成中心对称，求点的坐标； ②当，时，求的取值范围． 21．（10分）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 22．（10分）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 23．（12分）如图，抛物线经过点、、． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大； （3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（12分）综合与实践 问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分． 问题解决： (1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围． (2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中． (3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完） 参考答案 一．选择题 1．B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握形如（a、b、c为常数，的函数）叫二次函数成为解题的关键． 根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．是二次函数，故本选项符合题意； C．，y是x的一次函数，故本选项不符合题意； D．不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．A 【分析】本题侧重考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的图象和性质，掌握其性质是解决此题的关键． 已知两函数的图象分别关于坐标原点对称，则点A与点B的坐标关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点A与点B的坐标关于原点对称， ∵点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得． 【详解】解：抛物线的对称轴为，开口向上， 点的距离为， 点的距离为， 点的距离为， 由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴． 故选：A． 4．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧， ∴只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查抛物线的平移，抛物线与x轴的交点．将原抛物线向下平移4个单位后得到新抛物线，求出其解析式并确定与x轴的交点，利用交点间距为4建立方程求解a的值． 【详解】解：原抛物线为，向下平移4个单位后得到新抛物线． 令，则，解得， ∴新抛物线与x轴的两个交点坐标为，， ∵抛物线与x轴两个交点间的距离为4， ∴， ∴． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，令抛物线解析式，得到抛物线与轴交点的横坐标为，，再结合图象得抛物线与交点，即交点横坐标为，，从而确定出，，，的大小关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：令抛物线解析式， 当，， 解得：，， ∴抛物线与轴交点的横坐标为，， ∴抛物线与交点，横坐标为，， ∵，， ∴如图， ∴， 故选：． 8．B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，分和两种情况，根据反比例函数的图象和性质解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时， ∵，且， ∴当时，，则； 当时，，则， ∴，则， ∴； 当，反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时， ∵，且， ∴当时，，则， 当时，，则， ∴，则； ∴； 综上，， 故选：． 9．B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合． 由抛物线的对称轴为y轴，可求得，联立直线与抛物线方程，解得交点、，直线与x轴交点．利用三角形面积公式分别计算和的面积，再求比值即可． 【详解】解：抛物线对称轴为y轴，即顶点横坐标，解得． 代入得抛物线方程得． 联立方程和，得， 解得或． ∴和． 令，代入得， 即． ∵、、． ∴； ∵、、． ∴； ． 故选B． 10．A 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，由的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出的表达式，熟练掌握反比例函数的性质并能求出的坐标的表达式，再由此求出的表达式是解决此题的关键． 【详解】解：点、、、、、在反比例函数的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2， 又点的横坐标为2， ，，坐标为． 由题图象知，，， ， ， ， ，2，3，， ， ． 故选：． 二．填空题 11． 【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标． 【详解】解：将抛物线化为顶点式有， 再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 得， 故平移后的抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12．/ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，对称轴与交点坐标的关系，利用数形结合的思想，正确求得抛物线与轴的另一个交点的坐标是解题的关键． 根据抛物线的对称轴为，一个交点为，可推出另一交点为，结合图象求出时，的范围． 【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为，一个交点为， 根据对称性，则另一交点为， 所以，的取值范围是， 故答案为：． 13．4 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由图可得，当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点，直到反比例函数图象过点C为止，进而求解即可． 【详解】解：∵每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为， ∴、、、、、， 如图，当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点，直到反比例函数图象过点C为止， ， ∴k取3，4，5，6， ∴k的整数值有4个， 故答案为：4． 14． 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x＋m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x＋m过点B时m的值，结合图形即可得到答案. 【详解】令y＝－2x2＋8x－6＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，则点A（1,0），B(3,0)由于C1向右平移两个长度单位得C2,则C2解析式为y＝－2（x－4）2＋2（3≤x≤5），当y＝x＋m1与C2相切时，令y＝x＋m1＝y＝－2（x－4）2＋2，即2x2－15x＋30＋m1＝0，△＝－8m1－15＝0，解得m1＝－，当y＝x＋m2过点B时，即0＝3＋m2，m2＝－3，当－3＜m＜－时直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同交点，故答案是－3＜m＜－. 15． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义．过点作于点，根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，则可得到，由等腰三角形的性质可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点的坐标关于原点对称，即， ∵，，， ， ， ∴， ∴ ∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故答案为：． 16．①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可． 【详解】由图像可知，，， ∴，故①正确． 当x=时，y=0， 即 ∴ ∴ ∴，故②正确． 由对称轴为，与x轴一个交点为可知与x轴另一个交点为 即 化简得，故③正确． ∵对称轴为 ∴ ∴， 将代入有 即 ∴，故④错误． 综上所述①②③正确． 故答案为①②③． 三．解答题 17．（1）证明：令y＝0，则x2＋(m－3)x＋1－2m＝0． 因为a＝1，b＝m－3，c＝1－2m， 所以b2－4ac＝(m－3)2－4(1－2m)＝m2＋2m＋5＝(m＋1)2＋4＞0． 所以方程有两个不相等的实数根． 所以不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点． （2）解：y＝x2＋(m－3)x＋1－2m＝(x－2)m＋x2－3x＋1． 因为该函数的图像都会经过一个定点， 所以x－2＝0，解得x＝2． 当x＝2时，y＝－1． 所以该函数图像始终过定点（2，－1）． 18．（1）解：把代入得 ， 解得， ∴； （2）解：在上取一点，使得，连接，过点作轴于点，过点作于点， 当时，， ∴， ∴ ∵，轴，， ∴四边形是矩形，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线为， 把，代入得， ∴， 解得， 直线为， 联立与得 ， 解得或， ∴． 19．（1）解：∵， ∴在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小， ∴当时，最小值为， 当时，最大值为， 由①，②得：． （2）∵到y轴的距离大于3， ∴或， ∵， ∴或； （3）解，得，， ∴． 解，得， ∴， ∴ ∴ ①当点C在A点的右侧 设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ②当点C在A点的左侧， 设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N， ∵， ∴， ∴（舍），， 所以点C的横坐标为3或． 20．（1）解：∵反比例函数，点，都在该反比例函数图象上， ∴，解得， ∴； ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：点，都在该反比例函数图象上，点和点关于原点中心对称， ∴， ∵，则，解得， ∴， 将代入得解得， ∴； ②∵，则， ∵， ∴，点在第三象限， ∴， ∴． 21．（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 22．（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得反比例函数解析式为, 点代入得 解得， ∴, 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， 令得， ∴， ∴, ∴． （3）证明：∵轴， ∴， ∵, ∴ ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 23．解：（1）据题意可设抛物线的解析式为， 将点代入，可得 ∴抛物线的解析式为； （2）设直线AC的解析式为：， 将、代入得， 解得， ∴直线的解析式：， 当时，点在直线上方， 过点P作x轴的垂线与线段相交于点Q， 将分别代入和得，， ∴ ∵， ∴当且仅当时，取得最大值， 此时最大， ∴； （3）由、、得， ∵，， ∴， 连接，过B作的垂线交抛物线于点D，交于点H， 则， ， ∵， ∴与关于的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴对称， ∴点D与点C关于抛物线的对称轴对称， 又∵， ∴点D的坐标为（-2，3）． 24．（1）解：设线段的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴线段的函数表达式为． 设曲线的函数表达式为，将代入，得， ∴曲线的函数表达式为． （2）把代入，得， 把代入，得． ∵， ∴学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中． （3）解：当，解得， 当，解得， 结合图象，要求学生的注意力指标数不得低于40，则x的取值范围是， ∴安排在第5分钟至第25分钟． 学科网（北京）股份有限公司 $$