专题03 勾股定理及逆定理（四大特殊题型）讲义+练习2024-2025学年人教版八年级数学下册期中复习

专题03 勾股定理及逆定理（四大特殊题型） 一、选择题（共8小题） 1．（2024秋•昆都仑区期末）如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则所在的正方形的面积为　　 A． B．28 C．128 D．100 2．（2024春•召陵区期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 3．（2024春•界首市期末）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是　　 A．52 B．48 C．72 D．76 4．（2024春•禹城市期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是　　 A．72 B．52 C．80 D．76 5．（2024春•安顺期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的长是　　 A．14 B．16 C． D． 6．（2024秋•东方期末）五根木棒（单位：的长度分别为5，9，12，15，17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是　　 A．5，9，12 B．4，5，6 C．12，15，17 D．5，12，13 7．（2024秋•威宁县期末）以下列长度的三条线段为边，能围成一个直角三角形的是　　 A．4，3，6 B．5，6，12 C．6，8，10 D．7，20，25 8．（2024秋•朝阳区校级期末）△的三边分别为，，，下列条件能判定△为直角三角形的是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 9．（2024秋•简阳市期末）如图，在△中，，平分，交于点，为的中点，连接，若，，则的长为 　　． 10．（2024秋•南昌期末）如图，△中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．当点运动到边时，为　　秒时，△为等腰三角形． 11．（2024秋•乌当区期末）如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 　　． 12．（2024秋•长春校级期末）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为6，8，24，则正方形的面积是 　　． 13．（2024秋•盐城期末）点到原点的距离是　　． 14．（2024秋•玄武区期末）在△中，，，则△的面积为 　　． 15．（2024春•微山县期末）在中，，，边上的高，则边的长是 　　． 16．（2024春•武威期中）勾股定理是人类的伟大发现之一，我国古算术书《周髀算经》中早有记载．如图，若△的斜边，两个正方形的面积分别为、，则　　． 17．（2024春•蚌埠期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则图中所有正方形的面积之和为　　． 18．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知的两直角边长分别为，，则斜边长为 　　． 三、解答题（共6小题） 19．（2024秋•淮北期中）已知：直角三角形的三边长为，，且的平方根分别为与，求的值． 20．（2024春•江阴市期中）【回顾旧知】在学习“乘法公式”时，我们分别从两个不同的角度计算如图1所示的正方形的面积，从而得到公式：．【类比探究】用图2中四个完全一样的直角三角形可以拼成图3的大正方形，请根据图3，利用图形的面积关系，推导、、之间满足的关系式，写出推理过程． 【拓展应用】利用图3中探究的关系式解答下列问题： ①图3中如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为 　　． ②连接图3中的四条线段得到图4的新图案，若，，则图4中阴影部分的周长为 　　． ③利用图2中八个完全一样的直角三角形可以拼成图5的大正方形，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，则三个正方形的面积、、满足的关系式是 　　． 21．（2024秋•简阳市期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为7米． （1）求云梯顶端与墙角的距离的长； （2）现云梯顶端下方4米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 22．（2024秋•鼓楼区校级期末）如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． （1）请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由． （2）求的长． 23．（2024秋•祥符区期末）如图所示，、两块试验田相距200米，为水源地，，，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地直接修筑两条水渠分别到、； 乙方案；过点作的垂线，垂足为，先从水源地修筑一条水渠到所在直线上的处，再从分别向、进行修筑． （1）请判断的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 24．（2024秋•榆中县期末）如图，每个小正方形的边长为1． （1）求四边形的面积和周长； （2）是直角吗？说明理由． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D D D D C C 一、选择题（共8小题） 1．【答案】 【分析】由勾股定理即可求出答案． 【解答】解：由勾股定理可知：， 故选：． 2．【答案】 【分析】易知，，，设，由含30度角的直角三角形性质得，于是，得到，再利用同底等高的三角形面积关系得到，进而阴影部分的面积为． 【解答】解：如图， 由题意得，，，， 设， 在中，， ，即， 解得：， ， ， 阴影部分的面积为． 故选：． 3．【答案】 【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长． 【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，则 ， 所以， 所以“数学风车”的周长是：． 故选：． 4．【答案】 【分析】由题意为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，则 所以 所以“数学风车”的周长是：． 故选：． 5．【答案】 【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出的长． 【解答】解：，，即24和10为两条直角边长时， 小正方形的边长， ． 故选：． 6．【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理进行排除选项． 【解答】、，，，不符合勾股定理，不能组成直角三角形，故此选项错误，不符题意； 、，，，不符合勾股定理，不能组成直角三角形，故此选项错误，不符题意； 、，，不符合勾股定理，不能组成直角三角形，故此选项错误，不符题意； 、，，，符合勾股定理，能组成直角三角形，故此选项正确，符合题意； 故选：． 7．【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【解答】解：， ，3，6为边的三角形不是直角三角形，故不符合题意； ， ，6，12为边的三角形不是直角三角形，故不符合题意； ， ，8，10为边的三角形是直角三角形，故符合题意； ， ，20，25为边的三角形不是直角三角形，故不符合题意； 故选：． 8．【答案】 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理逐项判断即可． 【解答】解：， 由的，，不能组成三角形，故不符合题意； ， 由可得，，不能判定△为直角三角形，故不符合题意； ， ， △为直角三角形，故符合题意； ， ，，， △不是直角三角形，故不符合题意； 故选：． 二、填空题（共10小题） 9．【答案】． 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据已知条件得，然后设，，接下来根据等面积可知，可表示，再根据勾股定理求出，即可求出，可得，，，然后根据勾股定理求出，进而得出，最后根据勾股定理求出． 【解答】解：过点作于，如图所示： 平分，， ． 点是的中点，且， ． 设，， ， ， 即， ． 根据勾股定理，得，且， ， 解得， ，， 根据勾股定理，得， 解得， 则，， 根据勾股定理，得， ， 根据勾股定理． 故答案为：． 10．【答案】5或4.75或5.3． 【分析】先根据勾股定理求出，再分，，三种情况分类讨论，结合等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：在△中，， ． ①如图，当时，△为等腰三角形， ， 秒； ②如图，当时，△为等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 秒； ③如图，当时，作于， 则△的面积． ， 在△中，由勾股定理得， ， ， ， 秒． 综上所述，为5秒或4.75秒或5.3秒时，△ 为等腰三角形． 故答案为：5或4.75或5.3． 11．【答案】24． 【分析】根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【解答】解：如图2， △△，△△， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， △△， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故答案为：24． 12．【答案】10． 【分析】根据勾股定理得到，，进一步运算即可． 【解答】解：由图可知，，， ，正方形，，的面积依次为6，8，24， 正方形的面积， 正方形的面积． 故答案为：10 13．【分析】直接根据勾股定理进行解答即可． 【解答】解：点， 点到原点的距离． 故答案为：13． 14． 【分析】作底边上的高，构造直角三角形．运用等腰三角形的性质及三角形的面积公式求解． 【解答】解：如图，作于点，则． 在△中， ， ， △的面积． 故答案为：60． 15．【答案】14或4． 【分析】根据题意作出如图1和图2，分两种情况分别求解即可． 【解答】解：如图1，在中，，，边上的高， ， ， ； 如图2，在中，，， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 综上所述，的长为14或4， 故答案为：14或4． 16． 【分析】由正方形的面积公式可知，，在△中，由勾股定理得，由此求解即可． 【解答】解：在△中，斜边， ， 又由正方形面积公式得，， ． 故答案为：100． 17． 【分析】根据正方形的面积公式求出正方形的面积，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：最大的正方形的边长为， 正方形的面积为， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 图中所有正方形的面积之和为， 故答案为：27． 18．【答案】15． 【分析】直接由勾股定理列式计算即可． 【解答】解：由勾股定理得：斜边长， 故答案为：15． 三、解答题（共6小题） 19．【答案】或． 【分析】根据平方根的定义先求出的值，再根据勾股定理进行解题即可． 【解答】解：的平方根分别为与， ， ， ， 当最长边为时，由勾股定理可知， ； 当最长边为时，由勾股定理可知， ． 故的值为：或． 20．【答案】【回顾旧知】推理见解析； 【拓展应用】①1； ②36； ③． 【分析】【回顾旧知】从整体看，大正方形的边长为，那么面积为，从大正方形的构成看，是由四个直角边长为、的直角三角形和一个边长为的小正方形组成，从两个不同的角度计算出大正方形的面积，整理可得勾股定理； 【拓展应用】①小正方形的边长为，则小正方形的面积为，根据所给条件先判断出的值，进而可得小正方形的面积； ②根据勾股定理可得的长，进而根据阴影部分的周长，计算即可； ③分别表示出三个正方形的面积，整理可得三个正方形的面积、、满足的关系式． 【解答】解：【回顾旧知】大正方形的边长为， 大正方形的面积为． 大正方形由四个直角边长为、的直角三角形和一个边长为的小正方形组成， 大正方形的面积为：． ． ． ． 【拓展应用】①大正方形的面积是25， ． ． ， ． ． ． ， 小正方形的面积为1． 故答案为：1； ②，， ． 由题意得：， ． 阴影部分的周长． 故答案为：36； ③由题意得：，，， ． 故答案为：． 21．【答案】（1）云梯顶端与墙角的距离的长为24米； （2）云梯底端在水平方向上滑动的距离为8米． 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1），米，米， （米， 答：云梯顶端与墙角的距离的长为24米； （2）（米， （米， （米， 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为8米． 22．【答案】（1）是从工厂到河边最近的一条路，理由见解析； （2）的长为千米． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）设的长为千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）是从工厂到河边最近的一条路，理由如下： ， ， ， △是直角三角形，， 与垂直， 即是从工厂到河边最近的一条路； （2）设的长为千米， 千米， 在△中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为千米． 23．【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【解答】解：（1）是直角三角形；理由如下： ，， ， 是直角三角形，； （2）甲方案所修的水渠较短；理由如下： 是直角三角形， 的面积， ， ， ， ， ， ，， ， 甲方案所修的水渠较短． 24．【分析】（1）直接利用勾股定理得出各边长，进而利用四边形所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案； （2）利用勾股定理的逆定理得出答案． 【解答】解：（1）由勾股定理可得：， 则， ， ， ， ， ， ， 故四边形的周长为：， 四边形的面积为：； （2）由（1）得：，，而， 故， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理及逆定理（四大特殊题型） 1．勾股定理 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：． 2．勾股定理的应用 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下： （1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； （3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； （4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题． 3．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理． 4．勾股数 （1）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数． （2）勾股数的求法： 如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…． 考点01 勾股定理、逆定理的运用 1．勾股定理是直角三角形特有的三边关系，可以用来求直角三角形的直角边或斜边长． 2．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法，用边的关系来证明三角形是直角三角形． 【典例1】　（2024秋•兴隆县期末）满足下列条件时，△不是直角三角形的是　　 A． B． C．，， D．， 【答案】 【分析】通过三角形内角和定理可判断和；通过勾股定理逆定理可判断和． 【解答】解：．， 可设，则，． ， ， 解得：， ，，，故此三角形不是直角三角形，符合题意； ．， 可设，则，． ， ， 此时△是直角三角形，不符合题意； ．，，，， ， 此时△是直角三角形，不符合题意； ．，， ， 此时△是直角三角形，不符合题意． 故选：． 【典例2】　（2024秋•新泰市期末）下列各组数据中，能构成直角三角形的是　　 A．，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．8，15，17 【答案】 【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【解答】解：、，不能构成直角三角形，故选项错误； 、，不能构成直角三角形，故选项错误； 、，不能构成直角三角形，故选项错误； 、，能构成直角三角形，故选项正确． 故选：． 【典例3】　（2024秋•定安县期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是　　 A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，16 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可． 【解答】解：、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意； 、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：． 考点02 直角三角形中的分类讨论 在没有说明给定的数据是哪条边的长时，应分类考虑，分类讨论． 【典例4】　（2022春•枣阳市期末）若一个直角三角形的三边长为6，8，，则　　． 【答案】10或． 【分析】对边长8进行分类，当8为直角边或者斜边时，分别通过勾股定理计算即可得出的值． 【解答】解：当8为直角边时，由勾股定理可得：， 当8为斜边时，由勾股定理可得：， 故答案为：10或． 【典例5】　（2024秋•金凤区校级期中）在△中，已知两边长分别为3和4，则周长为 　　． 【答案】或12． 【分析】本题需要讨论边长为4的边是否为斜边：（1）边长为4的边是斜边，则斜边长为4；（2）边长为4的边不是斜边，则已知两直角边根据勾股定理可以求斜边． 【解答】解：（1）边长为4的边是斜边，则另一条直角边为：， 此时，△的周长为； （2）边长为4的边不是斜边，是直角边， 则斜边长为． 此时，△的周长为， 故答案为：或12． 【典例6】　（2024秋•南海区期中）在△中，，高，则　　． 【答案】或． 【分析】如图所示，分别在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理求出与的长，即可求出的长． 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示， 如图1所示，，，高， 在△和△中， 根据勾股定理得：，， 此时； 如图2所示，，，高， 在△和△中， 根据勾股定理得：，， 此时， 则的长为或， 故答案为：或． 考点03 勾股树问题 在解决勾股树问题时，常常用到“同一直角三角形两直角边上的两个正方形面积和等于斜边上的正方形的面积”． 【典例7】　（2024秋•宁海县期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形的面积是　　． 【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为，，，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为． 【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为、，最大正方形的边长为，则由勾股定理得： ； ； ； 即最大正方形的面积为：． 故答案为47． 【典例8】　（2024春•西安区校级期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 　　． 【分析】由图形可得出，，，．则可得出答案． 【解答】解：如图， 图案由若干个正方形和直角三角形构成， ，，，． ． 故答案为：55． 【典例9】　（2023秋•鹿城区校级期中） 项目背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 解决问题 任务一 小明画出了锐角，，，则　　 任务二 小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，，，则　　 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小子成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由 　　三角形形成的总面积最大，（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗？ 【答案】任务一：； 任务二：； 任务三：； 项目总结：猜想：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大，证明见解答过程． 【分析】任务一，先根据，，，求出，进而可求出，，，然后可求出的值； 任务二，设 ，先根据，，的周长为，得，再由勾股定理求出，进而得，，由此可求出，，，然后再求出即可； 任务三，过点作交的延长线于，先在中求出，设 ，则 ，，再根据，的周长为，得，然后在中，由勾股定理求出，进而得，，由此可求出，，，据此可求出的值； 项目总结：在类型①中：；在类型②中：；在类型③中：，然后由，可得出猜想：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大． 【解答】解：任务一，，，， ， ，，， ； 任务二，设 ， 直角，，， 又的周长为， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， 即， ， ，，， ； 任务三，过点作交的延长线于，如图所示： 在中，，， ， ， ， 设 ，则 ， 由勾股定理得：， ，的周长为， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ，，， ； 项目总结： 猜想：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大． 证明如下： 在类型①中：； 在类型②中：； 在类型③中：， ， 周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大． 考点04 赵爽弦图问题 赵爽弦图是三国时期吴国数学家赵爽在《周髀算经》一书中作序时创制的．这个图形是以弦为边长得到的正方形，它由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成．赵爽弦图的证法基本思想是图形经过割补后，面积不变，这也是解决这类问题常用的思想． 【典例10】　（2024秋•城关区校级期末）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是　　 A．128 B．64 C．32 D．144 【答案】 【分析】方法一：根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决． 方法二：根据此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，可以得到小正方形的边长，然后根据勾股定理即可得到的值． 【解答】解：方法一：，， ， 小正方形的面积为：， 由图可得，的值等于小正方形的面积的2倍， 的值是， 故选：． 方法二：此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，， 小正方形的边长为， ， 故选：． 【典例11】　（2024秋•潮安区期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为，，直角所对的边长为． （1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法 　　； 方法 　　； 方法1和方法2所得结果相等，整理可以得到等式：　　． 这就是勾股定理，勾股定理把数和形联系起来，描述了直角三角形三边之间的数量关系．在解决数学问题时，我们还经常利用同一图形面积的不同计算方式得出的结果相等的方法来解决问题，称为等面积法． （2）方法运用：如图2，在直角△中，，，，用尺规作图作边上的高（保留作图痕迹），并求的长． 【答案】（1）；；； （2）2.4． 【分析】（1）根据直角三角形的面积公式和正方形的面积公式解答即可； （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤画图，进而利用面积相等求解． 【解答】解：（1）方法， 方法， 方法1和方法2所得结果相等，整理可以得到等式， ， 即， 故答案为：；；； （2）如图所示： 在△中，，，， ， ， ． 【典例12】　（2024春•夏邑县期中）课本再现 如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为． （1）请利用图1验证勾股定理； 知识应用 （2）在图1中，若，，求小正方形的面积； （3）小明按图2的方式把边长为和的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是 　　． 【答案】（1）见解析；（2）9；（3）． 【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法四个直角三角形的面积小正方形的面积，列式证明即可； （2）先根据勾股定理求出，然后根据正方形的面积公式求解即可； （3）根据两个图形的面积相等，求出图3中大正方形的面积，然后再求出边长即可． 【解答】（1）证明：大正方形的面积四个直角三角形的面积小正方形的面积， ， ． （2）解：由勾股定理得， 小正方形的面积． （3）解：大正方形的面积为：， 大正方形的边长：． 学科网（北京）股份有限公司 $$