5.4.1&5.4.2正弦函数、余弦函数的图象与性质讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学讲义 2025～2026学年上学期高一数学讲义 教材：人教A版高中数学必修第一册 章节：5.4.1正弦函数、余弦函数的图象、5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 part1 知识清单 正弦函数、余弦函数的图象 知识点01：正弦函数的图象 正弦函数,的图象叫做正弦曲线. 知识点02：正弦函数图象的画法 (1)几何法: ①在单位圆上,将点绕着点旋转弧度至点,根据正弦函数的定义,点的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点. ②将函数,的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度). (2)“五点法”: 在函数,的图象上,以下五个点: ，，，， 在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图. 知识点03：余弦函数的图象 余弦函数,的图象叫做余弦曲线. 知识点04：余弦函数图象的画法 (1)要得到,的图象,只需把,的图象向左平移个单位长度即可,这是因为. (2)用“五点法”:画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来. 正弦函数、余弦函数的性质 知识点01：函数的周期性 1.周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  知识点02：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 奇偶性 奇函数 偶函数 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 知识点03：正弦、余弦型函数的常用周期 函数 最小正周期 或（） 或 或（） 无周期 知识点04：正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() Part2 教材重点例题与习题 1.画出下列函数的简图： ， ， 【答案】解：按五个关键点列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来： 按五个关键点列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来：   2.在同一直角坐标系中，画出函数的图象通过观察两条曲线，说出它们的异同． ，， ， 【答案】解：在同一直角坐标系中， 画出函数，以及 ，的图象， 如图所示： 它们的形状是相同的，只是它们在坐标系中的位置不同  3.求下列函数的周期： ， ， ， 【答案】解：，有 由周期函数的定义可知，原函数的周期为． 令，由得，且的周期为， 即， 于是， 所以， 由周期函数的定义可知，原函数的周期为． 令，由得，且的周期为， 即， 于是， 所以 由周期函数的定义可知，原函数的周期为．  4.下列函数有最大值、最小值吗如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值． ， ， 【答案】解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值． 使函数，取得最大值的的集合， 就是使函数，取得最大值的的集合 使函数，取得最小值的的集合， 就是使函数，取得最小值的的集合． 函数，的最大值是最小值是． 令，使函数，取得最大值的的集合， 就是使，取得最小值的的集合． 由，得． 所以，使函数，取得最大值的的集合是． 同理，使函数，取得最小值的的集合是． 函数，的最大值是，最小值是． 5.不通过求值，比较下列各组数的大小： 与 与 【答案】解：因为， 正弦函数在区间上单调递增， 所以 ， ． 因为，且函数在区间上单调递减， 所以， 即  6.求下列函数的周期，并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验： ， ， ， ， 【答案】解：因为， 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为，函数图象如图所示： 因为， 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为，函数图象如图所示： 因为 ， 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为，函数图象如图所示： 因为 ， 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为，函数图象如图所示：   7.求函数，的单调递减区间． 【答案】解：由，， 解得，， 因为 所以，当时， 故此时函数的单调递减区间为，   8.设函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，求，的值． 【答案】解：的最小正周期为，且当时，． ， ．  9.观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的所在的区间：             ． 【答案】解：画出正弦函数在上的图象，如图所示； 由图可得：若， 则， 由正弦函数的周期性知， 满足的的取值范围是，． 由图可得：若， 则， 由正弦函数的周期性知， 满足的的取值范围是，． 画出余弦函数在上的图象，如图所示； 由图可得：若， 则， 由余弦函数的周期性知， 满足的的取值范围是，． 由图可得：若， 则， 由余弦函数的周期性知， 满足的的取值范围是，．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用五点法画，的图象时，下列哪个点不是关键点(    ) A. B. C. D. 2.函数的简图是(    ) A. B. C. D. 3.用“五点法”作函数的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是(    ) A. ，，，， B. ，，，， C. ，，，， D. ，，，， 4.下列函数中，最小正周期为的偶函数是(    ) A. B. C. D. 5.下列函数中，最小正周期是且图象关于直线对称的是(    ) A. B. C. D. 6.函数在的图象大致为(    ) A. B. C. D. 7.函数是(    ) A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 8.函数的最大值为(    ) A. B.              C.                  D. 9.已知函数，在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 10.下列命题中，真命题的是(    ) A. 的图象与的图象关于轴对称 B. 的图象与的图象相同 C. 的图象与的图象关于轴对称 D. 的图象与的图象相同 三、填空题 11.若点在函数的图象上，则          ． 12.如果在同一坐标系内，用五点法作函数，的图象，它们的第四个点的坐标分别是          ，          ． 13.已知函数的图象关于直线对称，则的值为          ． 14.函数的最小正周期为          ． 15.已知函数，则的最小正周期是          ，其图象在区间上的对称中心的坐标是          ． 16.函数的最大值是           17.已知函数，则          ，当          时，函数在区间上单调写出一个值即可． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.画出下列函数的简图，并根据图像和解析式讨论函数性质． ；  ． 19.已知函数． 画出函数的简图； 判断这个函数是否是周期函数？如果是，求出它的最小正周期． 20.求下列函数的最小正周期； ，；，． 21.已知是以为周期的偶函数，且时，，当时，求的解析式． 22.已知函数． 求函数图像的对称中心以及函数的单调递减区间； 若，，求角的大小． 23.已知函数，从、、这三个条件中选择一个作为已知条件． 为的图象的一个对称中心； 当时，取得最大值； ． 求的解析式； 将的图象上的各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数在上的单调递减区间． 24.已知函数． 若，求函数的单调递增区间： 当时，函数的最大值为，最小值为，求实数，的值． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  解：用“五点法”画，的简图时， 横坐标分别为， 纵坐标分别为，，，，， 故选A． 2.【答案】  解：由知，其图象和的图象相同， 故选B． 3.【答案】  解：所描出的五点的横坐标与函数的五点的横坐标相同， 即，，，，， 故选A． 4.【答案】  解：对于，函数的最小正周期为的偶函数． 对于，函数是最小正周期为的奇函数．不满足条件； 对于，函数是最小正周期为的偶函数，不满足条件； 对于，是最小正周期为的偶函数，不满足条件． 故选A． 5.【答案】  解：由题意知，，当时，可取得最值． 对于，将代入，可得，故排除； 对于，将代入，可得，故B正确； 对于，的周期为，故排除； 对于，将代入，可得，故排除． 故选B． 6.【答案】  解：，， ， 为上的奇函数，因此排除； 又，因此排除，， 故选D． 7.【答案】  解：函数的最小正周期为， 且， 函数是最小正周期为的偶函数． 故选B． 8.【答案】  解：因为， 由得，所以当时，， 故选：． 9.【答案】  解：在区间上是增函数， ，即， ，解得． 在区间上恰好取得一次最大值， 且，即， ，解得， 综上所述，， 故选B． 10.【答案】  对于，是偶函数，而为奇函数， 故与的图象不关于轴对称，故A错误； 对于，，，即其图象相同，故B正确； 对于，当时，，即此时两图象相同，故C错误； 对于，，故这两个函数图象相同，故D正确， 故选BD． 11.【答案】  因为点在函数的图象上， 所以． 故答案为：． 12.【答案】  根据正弦函数的图象，可以知道，用五点法画，三个函数的图象，取的第四个点纵坐标为， 将分别代入，， 根据五点法可得， ，， ，， 所以，第四个点的坐标分别为： ，．故答案为；． 13.【答案】  的图象关于直线对称， ，， 即，， ， 当时，， 故答案为：． 14.【答案】  ， 由函数的图象得：的最小正周期为， 故答案为． 15.【答案】  对于函数，  它的周期为， 令， ， 解得，， 故对称中心为， 故，时可得在区间上的对称中心的坐标是； 故答案为；． 16.【答案】  ，，函数， 当，即 时，函数取得最大值为， 故答案为． 17.【答案】  答案不唯一  ； 当时，因为， 所以函数在上单调递减，满足题意符合条件的值不唯一 故答案为：；． 18.【答案】解：列表， 作函数的图像如下图中的实线部分： 函数的定义域为，值域为， 当或时，取得最大值为；当时，取得最小值为； 函数在上为减函数，在上为增函数； 非奇非偶函数，不是周期函数． 列表， 作函数的图象如下图中的实线部分： 函数的定义域为，值域为， 当或时，取得最小值为；当时，取得最大值为； 函数在上为增函数，在上为减函数； 非奇非偶函数，不是周期函数．  19. ． ， 20.【答案】解：函数，的最小正周期是； 函数，的最小正周期是．  21.【答案】解：当时，， 所以， 因为是以为周期的偶函数， 所以， 所以， 22.【答案】解：由，，得， 函数图像的对称中心为， 由，，得函数的单调递减区间为， ， 又， ， ．  23.【答案】解：选条件为的图象的一个对称中心， 则，可得，， 又，所以， 所以 选条件当时，取得最大值， 则，可得，， 又，所以， 所以 选条件， 则，可得，， 又，所以， 所以 将的图象上的各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，可得的图象，再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象， 令 ，，求得，， 又， 所以的单调递减区间为，  24.【答案】解：由题意得， 所以与单调性相反， 令， 得， 所以函数的单调递增区间为，； 因为当时， 所以， 所以，即， 因为，所以当时，函数取得最大值，即， 当时，函数取得最小值，即， 所以联立解得．  第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$