精品解析：湖南省永州市冷水滩区李达中学2025年初中学业水平模拟考试数学试题

永州市李达中学2025年初中学业水平模拟考试 数学（试题卷） 本试题卷共6页，时量120分钟 满分120分 一、选择题（每题给出4个选项，只有一个选（共30分） 1. 小明在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级名同学，在近个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 人数 3 4 8 5 课外书数量（本） 12 13 15 18 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） A. 35，15 B. 14，15 C. 13，18 D. 15，15 【答案】D 【解析】 【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题． 【详解】解：中位数为第10个和第11个的平均数：， 众数为15． 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握中位数和众数的概念． 2. 下列各数中，无理数是（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数判断即可． 【详解】解：A、=2，是有理数，故选项错误，不符合题意； B、是分数，故是有理数，故选项错误，不符合题意； C、3是整数，是有理数，故选项错误，不符合题意； D、是无理数，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 3. 在综合与实践活动中，某数学兴趣小组要测量操场上空一个气球A的高度．如图，地面上点B，C，D在同一条直线上，，在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，则气球离地面的高度约为（　　）（其中） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设米，则米，先解得到米，再解得到（米），则，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 设米，则米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴气球离地面的高度约为， 故选：D． 4. 如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与平行的直线上点A处测得，，已知河宽18米，则B，C两点间的距离为（ ）（参考数据：，，） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，利用平行线的性质和锐角三角函数，可以表示出和，然后即可得到的长． 【详解】解：作于点D，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵米，，， ∴，， 解得米，米， ∴米， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 5. 下列几何体是棱锥的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据棱锥的概念判断即可. A是三棱柱，错误; B是圆柱，错误； C是圆锥，错误; D是四棱锥,正确. 故选D. 点睛：本题考查了立体图形的识别，关键是根据棱锥的概念判断. 6. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“帥”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，建立坐标系找到坐标系的原点是关键． 根据表示棋子“馬”和“帥”的点的坐标分别为，，可得到表示棋子“卒”的位置是直角坐标系的原点，继而求得棋子“炮”的点的坐标即可． 【详解】解：∵表示棋子“馬”和“帥”的点的坐标分别为，， ∴表示棋子“卒”的位置是直角坐标系的原点， ∴表示棋子“炮”的点的坐标为． 故选：B． 7. 对于五个整式，A：，B：，C：，D：，E：，有下列三个结论：①无论n为何值，多项式的值一定是正数，②存在实数m，n，使得的值为；③若关于m的多项式（k为常数）不含m的一次项，则该多项式M的值一定大于． 其中正确的结论有（　　） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的混合运算，完全平方公式以及非负数的性质，结合特殊值代入求解即可. 【详解】∵ ， ∴无论n为何值，多项式的值一定是正数，故①正确； ②∵当时, , ∴, ∴, ∴存在实数, 使得的值为,故结论②正确； ③∵ , 由题意可得, ∴, ∴, ∴结论③错误. 故选: B. 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键. 8. 如图，AB∥CD∥EF，AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是( ). A. 4.5 B. 5 C. 2 D. 1.5 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】∵直线AB∥CD∥EF，AC=4，CE=6，BD=3， ∴，即，解得DF=4.5． 故选A． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键． 9. 已知函数，对满足的任意都有成立，实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的图像与性质．由题意可得，即对于成立，求得右边函数的取值范围，即可得到所求的范围．解题的关键是熟练掌握抛物线与轴的交点的意义． 【详解】解：∵对满足的任意实数都有成立， 即当时，成立， ∴当时，成立， 设， 则， 其中二次项系数，且对称轴为， ∴函数在内是随的增大而增大， 当时，， ∴； 当时，得：， 其中二次项系数，且对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， 当时，得：， 解得：或， ∴当时，， 即当，时，； 综上所述，实数的取值范围是． 故答案选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，5）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先求出AB，AC，进而得出AC=AB，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP=t，即可得出t最小时，点P在AD上，用两点间的距离公式即可得出结论． 【详解】如图，连接AP． ∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0）， ∴AB=（1+t）﹣1=t，AC=1﹣（1﹣t）=t， ∴AB=AC． ∵∠BPC=90°， ∴AP=BC=AB=t，要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小， ∴点P在AD上． ∵A（0，1），D（3，5）， ∴AD==5， ∴t的最小值是AP=AD﹣PD=5﹣1=4． 故选B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边的中线的性质，平面坐标系内两点间的距离公式，极值的确定；判断出点A是BC的中点是解答本题的关键． 二、填空题（共24分） 11. 已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】把(1,3)代入函数y=中可先求出k的值,那么就可求出函数解析式. 【详解】解:由题意知,k=13=3. 则反比例函数的解析式为:y= 故答案为:y=. 【点睛】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式,此为近几年中考的热点问题,同学们要熟练掌握. 12. 如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=___________． 【答案】105°． 【解析】 【分析】连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果． 【详解】连接OQ， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠BAC=∠B=45°， 由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC， ∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO， ∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°， ∴∠OQC=45°， ∵BO：OA=1：， 设BO=1，OA=， ∴AQ=1，则tan∠AQO==， ∴∠AQO=60°， ∴∠AQC=105°． 故答案为105°． 13. 因式分解：______________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再运用平方差公式继续分解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 14. 从甲、乙、丙三位志愿者中随机选出两位去敬老院献爱心，则甲被选中的概率是______． 【答案】． 【解析】 【分析】利用树状图或列表法找出所有的等可能性结果数，然后找出甲被选中的结果数，再根据概率公式求解计算即可得到答案． 【详解】解：从甲、乙、丙三人中任选两名去敬老院献爱心有（甲 乙）、（甲、 丙），（乙 丙） 3种等可能性的结果，其中甲被选中的结果数有2个 故甲被选中的概率 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了树状图或列表法，解题的关键在于能够首先找到所有的等可能性结果，然后找到要求的结果数，最后根据概率公式计算求解即可． 15. 已知实数x，y满足x2+3x+y－3=0，则y－x的最大值是____ 【答案】7 【解析】 【分析】用含x的代数式表示y，把y－x表示成关于x的函数，再进行配方求最大值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴当x=－2时，y－x有最大值为7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，解题的关键是配方法的应用． 16. 一组数据：24，58，45，36，75，48，80，则这组数据的中位数是_____． 【答案】48 【解析】 【分析】把给出的此组数据中的数按一定的顺序排列，由于数据个数是7，7是奇数，所以处于最中间的数，就是此组数据的中位数； 【详解】按从小到大的顺序排列为：24 36 45 48 58 75 80； 所以此组数据的中位数是48． 【点睛】此题主要考查了中位数的意义与求解方法． 17. 如图，在中，，是的外接圆，在劣弧上存在点满足，连结交于点，延长交于点，连结交于点，连结，若，半径为，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】因为，所以设，则，证明；连接并延长交于，过点作于点，过点作交的延长线于点，再证明，是等腰三角形，，所以，因为，所以设，则，在中，由，解得，所以，， 最后根据即可得解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 连接并延长交于，过点作于点，过点作交的延长线于点， 是直径， ，， 四边形是的内接四边形，， ， ， 又，， ， ， ， ， ，， 平分，， ， 点到、的距离相等，，平分，（三线合一）， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ， ， ， 设，则， 中，， 由，解得， ，， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查圆的相关性质及等腰三角形的判定，全等三角形的判定及性质等综合知识，难度较大，解题的关键是构造全等三角形（作辅助线）． 18. 如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，，则长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质和一次函数的性质，解题关键是通过计算线段长，发现线段长度变化规律．先求出、的长，再根据规律可得的长． 【详解】解：直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， 点坐标为，点坐标为， 即， ， ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， 又以为边作正方形，点坐标为， ， ， ，， 设， 则， ， 即：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ， ， 以为边作正方形， 轴， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点的坐标为， 正方形的边长为3， 按照前面的方法可得：， ， 设， 则， ， ， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ，， ， ， 同理：第三个正方形的边长是9，，，，，， ， 依此类推，，为整数）， ， 的长为． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在△ABC中，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm． （1）作出△ABC的高线CD（保留痕迹，不写作法）； （2）求CD的长． 【答案】（1）如图，线段就是所求作的图形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作一条直线垂直于已知直线的方法作图即可； （2）先用勾股定理的逆定理判定△ABC的形状，再用面积法求斜边上的高即可． 【详解】（1）以C为圆心，以大于C到AB的距离为半径画弧，交AB于M、N两点；分别M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于E点，作射线AE交AB于D点，线段就是所求作的图形． （2）∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，为斜边， 在中， ， 即， ∴． 【点睛】本题考查的是尺规作图-过直线外一点作一条直线垂直于已知直线及勾股定理的逆定理，掌握尺规作图的方法、勾股定理的逆定理及用三角形的面积法求高是关键． 20. 已知二次函数的图象顶点为．且过点为，求该抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线的解析式为∶． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 21. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】（1）计算次幂，负指数次幂，二次根式，最后合并即可． （2）首先利用完全平方公式和单项式与多项式的乘法法则计算，然后合并同类项即可化简． 【详解】（1）原式． （2） ． 【点睛】本题考查实数的运算及整式的运算，解题的关键运算法则，正确运用完全平方公式． 22. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的运算，绝对值的性质，非零数的零次幂，负指数幂的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，乘方的运算法则，绝对值的性质等知识是解题的关键． 23. 已知：如图，在菱形中，、分别是、边上的一点，且．求证：. 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴. 【解析】 【分析】欲证明DE=DF，只要证明△DAE≌△DCF即可； 【详解】略 24. 求不等式组 的整数解. 【答案】0,1,2 【解析】 【详解】分析：先求出不等式的解，然后根据大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小解不了，的口诀求出不等式组的解，进而求出整数解． 详解：解不等式①，得x≤， 解不等式②，得x≥-， ∴不等式组的解集为-≤x≤. ∴不等式组的整数解是0，1，2.　 点睛：本题考查了解一元一次不等式组，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解题的关键. 25. 如图①， 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D的坐标为．问：直线AC上是否存在点F，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值，并求此时E点的坐标． 【答案】（1） （2）存在符合条件的点P， 其坐标为 )或或 （3）最大值为 ，点E坐标为 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数解析式、二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）由抛物线点和点，由待定系数法就可以直接求出a、b的值而求出抛物线的解析式． （2）由（1）的解析式就可以求出C点的坐标，根据待定系数法求出求出直线的解析式，设，分；；三种情况讨论，根据等腰三角形的定义以及性质，两点间距离公式求解即可； （3）设出点E的坐标，连接、，作交于点G，根据割补法求出的面积，然后化为顶点式就可以求出其面积的最大值． 【小问1详解】 解∶由题知∶，解得∶， ∴ 所求抛物线解析式为∶ 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 设， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， 解得，， ∴，， ∴或； 当时，， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴该情况不存在， 综上，存在符合条件的点F， 其坐标为 )或或； 【小问3详解】 解：连接、，作交于点G， 同理可求直线解析式为， 设，则， ∴， ∴ ∴ 当时，的面积最大， 且最大值为． 此时点E坐标为 ． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作直线轴交抛物线于另一点，过点作轴于点，连接，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）首先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）如图，过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，构造Rt△DEB，欲求锐角三角函数定义tan∠BDE＝，先求线段BE，DE的长度即可． 【详解】（1）解：∵直线经过、两点，易得点，， 代入抛物线中，得 解之得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点作直线轴交抛物线于点，过点作轴于点，连接． ∵抛物线的对称轴为，点为， ∴点为，从而得，． ∵点为 ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及三角函数等知识点，解题时，注意辅助线的作法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州市李达中学2025年初中学业水平模拟考试 数学（试题卷） 本试题卷共6页，时量120分钟 满分120分 一、选择题（每题给出4个选项，只有一个选（共30分） 1. 小明在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级名同学，在近个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 人数 3 4 8 5 课外书数量（本） 12 13 15 18 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） A. 35，15 B. 14，15 C. 13，18 D. 15，15 2. 下列各数中，无理数是（　　） A. B. C. 3 D. 3. 在综合与实践活动中，某数学兴趣小组要测量操场上空一个气球A的高度．如图，地面上点B，C，D在同一条直线上，，在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，则气球离地面的高度约为（　　）（其中） A. B. C. D. 4. 如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与平行的直线上点A处测得，，已知河宽18米，则B，C两点间的距离为（ ）（参考数据：，，） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 下列几何体是棱锥的是( ) A. B. C. D. 6. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“帥”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 对于五个整式，A：，B：，C：，D：，E：，有下列三个结论：①无论n为何值，多项式的值一定是正数，②存在实数m，n，使得的值为；③若关于m的多项式（k为常数）不含m的一次项，则该多项式M的值一定大于． 其中正确的结论有（　　） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 8. 如图，AB∥CD∥EF，AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是( ). A. 4.5 B. 5 C. 2 D. 1.5 9. 已知函数，对满足的任意都有成立，实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，5）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（共24分） 11. 已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式是________． 12. 如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=___________． 13. 因式分解：______________． 14. 从甲、乙、丙三位志愿者中随机选出两位去敬老院献爱心，则甲被选中的概率是______． 15. 已知实数x，y满足x2+3x+y－3=0，则y－x的最大值是____ 16. 一组数据：24，58，45，36，75，48，80，则这组数据的中位数是_____． 17. 如图，在中，，是的外接圆，在劣弧上存在点满足，连结交于点，延长交于点，连结交于点，连结，若，半径为，则_____． 18. 如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，，则长为_________________． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在△ABC中，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm． （1）作出△ABC的高线CD（保留痕迹，不写作法）； （2）求CD的长． 20. 已知二次函数的图象顶点为．且过点为，求该抛物线的解析式． 21. （1）计算： （2）化简： 22. 计算：． 23. 已知：如图，在菱形中，、分别是、边上的一点，且．求证：. 24. 求不等式组 的整数解. 25. 如图①， 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D的坐标为．问：直线AC上是否存在点F，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值，并求此时E点的坐标． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作直线轴交抛物线于另一点，过点作轴于点，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $