精品解析：河南省郑州高新技术产业开发区第一中学2024-2025学年下学期七年级第一次月考数学试卷

2024—2025学年下学期第一次学情调研 七年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每题3分，共45分） 1. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（   ）． A. B. C. D. 5. 如图，已知，点D在射线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，例如，体育课上老师测量跳远成绩时，测量线段的长度即可．这样做的数学道理是（　　） A. 垂线段最短 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 点到直线的距离 D. 两点确定一条直线 7. 如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为( ) A. 12 B. 6 C. 3 D. 0 9. 图，用量角器度量几个角的度数，下列结论正确的有（　　） ①；②与互补；③；④是的余角；⑤与是对顶角． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． … …… 按照上述规律，则展开式中所有项的系数和是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 的值为_____． 12. 某种细菌每1分钟由1个分裂成2个，经过3分钟，1个细菌分裂成23个，这些细菌再继续分裂t分后共分裂成____个． 13. 如图是一款可折叠的晾衣架及其正面示意图，已知，若要使，则___________． 14. 修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，水渠从C村继续沿方向修建，此时保持与的方向一致，则图中度数为______． 15. 两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间____秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 三、解答题（共7小题，75分） 16. （1）利用整式乘法公式计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 如图， ， 如果， 那么与平行吗？ 说说你的理由． 解：因为， 所以_______________________．（ ） 又因为， 所以． （ ） 18. 如图，点D是线段上的一点． （1）请用尺规过点D作直线，，使，． （2）判断 和相交所成的锐角与的数量关系． 19. 一家住房结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分铺上地砖． （1）至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是m元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ （2）已知房屋的高度为h米，只需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？（计算时不算门、窗所占的面积）． 20. 观察下列各式：，，，…，个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？请借助代数式解释这一规律． 21. 如图所示的是用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形． （1）用两个不同的代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式？ （2）请验证你所得等式的正确性； （3）利用（1）中的结论计算：已知，，求 22. 综合与实践：折纸中的数学 【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】（1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则______； ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】（2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段上任取一点，连接，请你猜想与这三个角之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期第一次学情调研 七年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每题3分，共45分） 1. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算（包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），解题的关键是熟练掌握幂的各种运算法则，准确区分不同运算中指数的处理方式（相加、相乘、相减等）． 【详解】，而非故A错误． 而非，故B 错误． 故C正确． 而非故 D 错误． 故选：C． 3. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断． 【详解】解：A、两项都是相同项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、中两项有相反项，有相同项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； C、中两项都是相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、只有相同的项，没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 4. 将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义，三角板中角度的计算，度数之和为90度的两个角互余，据此结合三角板中角度的特点求解即可． 【详解】解：A、由余角性质可得，该选项不合题意； B、由图可得，与互补，该选项不合题意； C、由图可得，该选项不合题意； D、由图可得，与互余，该选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，已知，点D在射线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，由得，再由平角的定义可得． 【详解】解：，， ， ， 故选D． 6. 数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，例如，体育课上老师测量跳远成绩时，测量线段的长度即可．这样做的数学道理是（　　） A. 垂线段最短 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 点到直线的距离 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离在实际生活中的应用．熟练掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点到直线的距离等于过这点作直线的垂线，点到垂足间的垂线段的长度叫到直线的距离作答即可． 【详解】解：∵起跳线， ∴点A到起跳线的距离等于线段的长度， ∴体育课上老师测量跳远成绩时，测量线段的长度即可．这样做的数学道理是点到直线的距离． 故选：C． 7. 如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逆用同底数幂乘法、幂的乘方公式，将式子进行变形是关键． 【详解】因为 所以 所以 所以 所以= 故选：C 【点睛】考核知识点：同底数幂乘法、幂的乘方．运用同底数幂乘法、幂的乘方法则将式子适当变形是关键． 8. 若，则的值为( ) A. 12 B. 6 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式因式分解，将整体代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 9. 图，用量角器度量几个角的度数，下列结论正确的有（　　） ①；②与互补；③；④是的余角；⑤与是对顶角． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了余角和补角，角的度量，对顶角，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键． 由图形，根据角的度量和互余、对顶角、互补的定义求解即可． 【详解】解：①，故①错误； ②，，它们互补，故②正确； ③，，大小不相等，故③错误； ④，，，是的余角，故④正确； ⑤与不是对顶角．故⑤错误； 综上分析可知，正确的有②④共2个． 故选：B． 10. 我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． … …… 按照上述规律，则展开式中所有项的系数和是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全多项式乘多项式规律探究问题，根据已有等式，推出(a+b)n的展开式的系数之和为2n，即可得出结果． 【详解】解： ，系数之和为； ，系数之和为； ，系数之和为； ， ∴的展开式的系数之和为， ∴展开式中所有项的系数和是． 故选C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 的值为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：10． 12. 某种细菌每1分钟由1个分裂成2个，经过3分钟，1个细菌分裂成23个，这些细菌再继续分裂t分后共分裂成____个． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了乘方的意义．掌握乘方的意义是解决本题的关键．根据乘方的意义得结论． 【详解】解：∵每1分钟由1个分裂成2个， ∴经过3分，一个细菌分裂成个， ∴这些细菌再继续分裂t分后共分裂成个； 故答案为：． 13. 如图是一款可折叠的晾衣架及其正面示意图，已知，若要使，则___________． 【答案】115 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．由同位角相等，两直线平行，即可得解． 【详解】解：当时， ， 故答案为：． 14. 修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，水渠从C村继续沿方向修建，此时保持与的方向一致，则图中度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方向角以及平行线的性质，得出角度关系是解题的关键． 首先根据方向角得到平行线关系，再根据同位角相等得到，即可求解得到的度数． 【详解】解：如图，由题可知：，， ∴， 故答案为：． 15. 两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间____秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 【答案】2或14 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，注意分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论：①当第一次平行于时；②当第二次平行于时，画出图形，根据平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示：当第一次平行于时， ∵， ∴， ∴（秒）； 如图所示：当第二次平行于时， ∵， ∴， ∴旋转了， ∴（秒）； 综上，旋转时间或秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行 故答案为：2或14． 三、解答题（共7小题，75分） 16. （1）利用整式乘法公式计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）810000；（2），． 【解析】 【分析】（1）将转化为，转化为，再利用平方差进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式法则，完全平方公式进行展开计算，再合并同类项，化简再求值即可； 本题主要考查平方差，完全平方，单项式乘多项式等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1） 解： （2） 解： 将，代入得， 原式 17. 如图， ， 如果， 那么与平行吗？ 说说你的理由． 解：因为， 所以_______________________．（ ） 又因为， 所以． （ ） 【答案】CDEF；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理完成填空即可求解． 【详解】解：因为​， 所以CDEF．（内错角相等，两直线平行） 又因为​， 所以​．（平行于同一直线的两条直线平行） 【点睛】本题考查了平行线的判定，平行公理，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 18. 如图，点D是线段上的一点． （1）请用尺规过点D作直线，，使，． （2）判断 和相交所成的锐角与的数量关系． 【答案】（1） 解：如图所示，直线、即为所求． （2）相等 【解析】 【分析】本题考查作平行线，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）利用尺规基本作图-作一角等于已知角，在上方作，射线交于F，再过点D、F作直线；在上方作，射线交于N，再过点D、N作直线． （2）利用平行线的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：和相交所成的锐角与相等，理由如下： 由作图可知：， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴， ∴，即和相交所成的锐角与相等． 19. 一家住房结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分铺上地砖． （1）至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是m元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ （2）已知房屋的高度为h米，只需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？（计算时不算门、窗所占的面积）． 【答案】（1）平方米，元 （2）平方米 【解析】 【分析】此题考查了整式运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据某种地砖的价格是m元/平方米，求出需要的钱数即可； （2）求出侧面积即可得到需要的壁纸数即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： （平方米）； 需要的钱为：（元）, 则把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的地砖；购买所需地砖至少需要元． 【小问2详解】 根据题意得： 面积：平方米， 需要平方米的壁纸． 20. 观察下列各式：，，，…，个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？请借助代数式解释这一规律． 【答案】 解：规律是：个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数总是25． 理由如下： 设该两位数是，其中是小于10的正整数， 则， ∵的末尾两个数都是0， ∴的末尾两个数必是25， 即的末尾两个数总是25． 【解析】 【分析】本题考查了数字类变化规律，设该两位数是，其中是小于10的正整数，则，由此即可得出答案，解答本题的关键是观察数字的变化得到规律． 【详解】略 21. 如图所示的是用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形． （1）用两个不同的代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式？ （2）请验证你所得等式的正确性； （3）利用（1）中的结论计算：已知，，求 【答案】（1）； （2）证明： (3) （3）1. 【解析】 【分析】（1）根据图可知：阴影部分的面积为：或；(2)根据完全平方公式，去括号，整理可得；（3）根据（2）中所得式子，整理代值可得. 【详解】解：（1）阴影部分的面积为：或，得到等式： （2）略 【点睛】考核知识点：整式乘法在几何问题中的应用；利用完全平方公式进行计算. 22. 综合与实践：折纸中的数学 【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】（1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则______； ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】（2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段上任取一点，连接，请你猜想与这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①90； ②王玲的说法正确，证明如下： 由①得：， 同①理可得，， ， ； （2）， 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）①根据折叠的性质求解即可； ②同①理可得，，再根据同旁内角互补，两直线平行证明即可； （2）过点作，根据平行线的性质，得到，，即可求解． 【详解】解：（1）①由题意可知，点、、、共线， ， 由折叠的性质可知，， ，即， 故答案为：90； ②略 （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $