第四章三角形——九大全等模型之“对角互补”和半角模型　专题课件　2021—2022学年北师大版数学七年级下册

“对角互补”模型 和“半角”模型 第四章 九大全等模型之 例1 如图，已知∠B＝∠D＝90°，AD=CD. 求证：BD平分∠ABC. ”对角互补“模型 变式1 如图，已知∠B＝∠D＝90°， BD平分∠ABC. 求证： AD=CD. ”对角互补“模型 变式2 如图，已知AD=CD ， BD平分∠ABC. 求证： ∠B+∠D＝180°. ”对角互补“模型 ∠B+∠D＝180° AD=CD BD平分∠ABC ”对角互补“模型 基本条件组合：知二推一 练习1.如图，矩形的一个顶点落在边长为3的正方形中心（正方形对角线交点），则图中重合部分（阴影部分）的面积为　 　平方单位． ”对角互补“模型 练习2.如图，画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC． （1）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别垂直，垂足为E、F（如图1），则PE　 　PF（选填＜，＞，＝）． （2）把三角尺绕着点P旋转（如图2），PE与PF相等吗？试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由． ”对角互补“模型 练习3.拓展延伸1：在（2）条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA、OB于点G、H，如图3：图中全等三角形有多少对？（不添加辅助线）并证明. 拓展延伸2：画∠AOB＝70°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝110°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图4），PE与PF相等吗？请说明理由． ”对角互补“模型 ”半角“模型 例2.如图，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF＝45°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．求证：EF＝BE+FD． ”半角“模型 变式1.在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°， ∠BAD＝120°，求证：EF＝BE+DF. ”半角“模型 变式2.如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF＝∠BAC，BF⊥AE于E交AF于点F，连接CF． （1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF＝BE+CF． （2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时， 求证：CF＝BF+2BE． ”半角“模型 变式3.如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系, 并证明. 【拓展】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，则BE，EF，FD之间的数量关系是 　 　．请证明你的结论． ”半角“模型 变式4.【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离是 　 　海里．（直接写出答案） 半角关系 旋转构造 化归思想 基本条件判断和思路： ”半角“模型 $