18.5 分式方程 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦分式方程核心知识点，系统梳理分母含未知数的定义、去分母转化为整式方程的解法步骤、增根产生原因及验根必要性，衔接整式方程基础，延伸至工程行程等实际应用，构建从概念到应用的学习支架。 资料含思维导图助力知识体系构建，通过对比整式方程强化概念理解，易错点提醒培养严谨推理意识，实际应用题（如行程问题建模）发展模型意识与应用能力。课中辅助教师高效授课，课后学生可依此回顾强化，弥补知识盲点。

18.5 分式方程 暑期预习讲义 思维导图 学习目标 1. 理解分式方程的概念，能识别分式方程 2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法 3. 理解分式方程验根的必要性，会进行验根 4. 能列分式方程解决简单的实际问题 5. 培养方程建模思想和检验意识 知识点梳理 分式方程的定义 · 分母中含有未知数的方程 · 示例：1/(x+2)=3， (x-1)/x=2 分式方程的解法 1. 基本解法步骤： · 去分母（方程两边同乘最简公分母） · 解整式方程 · 验根（将解代入最简公分母检验） · 写出结论 2. 增根的产生： · 使最简公分母为零的根 · 必须舍去 实际应用 · 工程问题：工作效率=工作量/时间 · 行程问题：速度=路程/时间 · 分配问题：建立等量关系 易错点提醒 1. 忘记检验是最常见错误 2. 去分母时漏乘不含分母的项 3. 解整式方程时计算错误 4. 实际问题中单位不统一 5. 忽略实际问题中分母不为零的隐含条件 6. 混淆分式运算与分式方程解法 知识点小结 1. 核心概念：分母含未知数的方程 2. 关键步骤：去分母→解方程→验根 3. 重要原则：所有解必须通过检验 4. 应用价值：解决工程、行程等实际问题 5. 数学思想：转化思想（化分式方程为整式方程） 学习建议 1. 概念理解 · 通过对比一元一次方程理解分式方程特点 · 重点理解增根的产生原因 2. 方法掌握 · 先练习基础的分式方程解法 · 再练习需要因式分解的方程 · 最后解决实际问题 3. 思维培养 · 养成"解必检验"的解题习惯 · 建立"实际问题→数学模型→求解验证"的思维流程 · 培养严谨的代数运算习惯 学习建议 一、选择题 1．小明用滴滴打车去火车站，他可以选择两条不同路线：路线A的全程是15千米，但交通拥堵；路线B的全程比路线A的全程多6千米，但平均车速是走路线A时速度的1.5倍，走路线B的全程比走路线A少用15分钟．设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（　　） A． B． C． D． 2．某药店购进A，B两种的口罩，其中A种口罩的单价比B种口罩的单价低元．已知该店主购进A种口罩用了920元，购进B种口罩用了500元，且所购进的A种口罩的数量比B种口罩多20个．设药店购进A种款式的口罩x个，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．对于两个不相等的实数a，b，规定：表示a，b中的较大值，如，按照这个规定，方程的解为（ ） A． B． C．或 D．或 4．若关于的方程无解，则 （　　） A． B．或 C． D． 5．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　） A． B． C．+4=9 D． 6．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息： 信息一：甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时； 信息二：甲4小时完成工作量与乙3小时完成工作量相等； 信息三：丙的工作效率是甲的工作效率的2倍 如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　）。 A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 7．下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为　 　． 9．分式方程的解是　 　． 10．若关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是　 　. 11．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等.设甲每小时做x个零件，依题意列方程为　 　. 12．如图，点A，B在数轴上，它们表示的数分别为，． （1）若点A，B到原点的距离相等，则x的值为　 　． （2）若点C在数轴上表示的数为，且点A，B到点C的距离相等，则x的值为　 　． 13．若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　． 14．某中学假期后勤中的一项工作是请 名木工制作200把椅子和100张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配　 　人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短． 三、解答题 15． 命题“x=3是方程 的解”是真命题还是假命题?请说明理由。 、 16．从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的倍． （1）求普通列车的行驶路程； （2）若高铁的平均速度千米时是普通列车平均速度千米时的倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短小时，求高铁的平均速度． 17．为赓续中华优秀文脉，促进文明交流互鉴，某社区准备聘请甲、乙两支施工队参与布置一条长为1200米的宣传长廊．已知甲队单独布置完成工程比乙队单独布置完成工程多用10天，乙队每天布置的数量是甲队每天布置的数量的1.5倍． （1）求甲、乙两支施工队每天分别布置完成多少米宣传长廊？ （2）现将宣传长廊布置任务交给乙队并要求25天内完成．乙队布置若干天后因接到其它布置任务，经社区同意将余下布置任务全部交给甲队完成．求在转交给甲队之前乙队至少要布置多少天才能按时完成全部任务？ 18．已知点在数轴上所对应的数分别为，，若两点关于原点对称． （1）当时，求的值； （2）若不存在满足条件的，求的值． 19．为防控“新型冠状病毒”，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？ （1）填空 ①同学甲：设　 　，则方程为 　 　； ②同学乙：设　 　，则方程为 　 　． （2）请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程． 20．一小船由港顺流而下到港需，由港逆流而上到港需.某天早晨6点，该船由港出发驶向港，到达港时，发现船上一救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回，Ih后遇到救生圈. （1）该船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？ （2）救生圈是何时掉入水中的？ 21．已知点A（0，y）在y轴正半轴上，以OA为边作等边△OAB，其中y是方程的解． （1）求点A的坐标； （2）如图1，点P在x轴正半轴上，以AP为边在第一象限内作等边APQ，连QB并延长交x轴于点C，求证OC=BC； （3）如图2，若点M为y轴正半轴上一动点，点M在点A的上边，连MB，以MB为边在第一象限内作等边MBN，连NA并延长交x轴于点D，当点M运动时，DN−AM的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围． 参考答案 1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8． 9． 10．m>-3，且m≠-2． 11． ＝ 12．（1） （2） 13．4 14．13 15．解：命题“ x=3是方程 的解”是真命题，理由如下：当x=3时，最简公分母 ， 所以x=3是原方程的解， 所以命题“x=3是方程 的解”是真命题. 16．（1）解：根据题意得：千米， 答：普通列车的行驶路程是千米； （2）解：设普通列车平均速度是千米时，则高铁平均速度是千米时，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 则高铁的平均速度是千米时， 答：高铁的平均速度是千米时． 17．（1）解：设甲支施工队每天布置完成x米宣传长廊，则乙支施工队每天布置完成1.5x米宣传长廊， 由题意得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×40＝60， 答：甲支施工队每天布置完成40米宣传长廊，乙支施工队每天布置完成60米宣传长廊. （2）解：设在转交给甲队之前乙队要布置y天才能按时完成全部任务， 由题意得：40（25−y）＋60y≥1200， 解得：y≥10， ∴y的最小值为10， 答：在转交给甲队之前乙队至少要布置10天才能按时完成全部任务． 18．解：两点关于原点对称，则两点表示的数互为相反数 则， （1）把代入得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； 则； （2）去分母得：，即， 由不存在满足条件的值，得到， 把代入得：， 解得：． 则. 19．（1）购进第一批防护口罩 只；2；第一批防护口罩的单价为 元；x+2 （2）解：同学甲：设药店第一批防护口罩购进了x只，则方程为 ﹣ ＝2， 解得x＝200． 经检验x＝200是原方程的解，且符合题意． 答：药店第一批防护口罩购进了200只； 同学乙：设药店第一批防护口罩的单价为x元，则方程为3× ＝ ． 解得x＝8． 经检验x＝8是所列方程的解， 所以， ＝200． 答：药店第一批防护口罩购进了200只； 20．（1）解：设小船按水流速度由A港漂流到B港需要小时，根据题意得： 解得， 经检验符合题意， 答：小船按水流速度由港漂流到港需要48小时. （2）解：设救生圈是在点钟落下水中的，由（1）小题结果，救生圈每小时顺水漂流的距离等于全 程的， 小船早晨6时从港出发，顺流航行需6小时， 它在中午12点钟到达港.而救生圈在点钟就已掉下水，到这时已漂流的时间为（12-y） 小时，在这段时间里，每小时船行驶全程的 ，救生圈沿着航行方向漂流全程的 船与救生圈同向而行，距离拉大，船到港后立刻掉头去找救生圈，1小时后找到，在这一小时内，船与救生圈相向而行，将原已拉开的距离缩短为0， 由此得方程： 解得：， 答：救生圈是在上午11点钟掉下水的 21．（1）解：∵， 去分母，得 3+y-1=6， 解得y=4 经检验y=4是原方程的解 ∴点A（0，4） （2）证明：∵APQ、ABO都是等边三角形 ∴AO=AB，AP=AQ，∠BAO=∠PAQ=60° ∴∠PAO=∠BAQ ∴PAOQAB（SAS） ∴∠QBA=∠POA=90° ∵ABO是等边三角形 ∴∠AOB=∠ABO=60° ∴∠COB=∠CBO=30° ∴CO=BC （3）解：结论：不变，DN−AM=12 理由：∵AOB、MBN都是等边三角形 ∴BO=AB=AO=4，MB=BN，∠BAO=∠ABO=∠MBN=60° ∴∠OBM=∠ABN ∴ABNOBM（SAS） ∴OM=AN，∠BAN=∠BOM=60° ∴AN=OM=OA＋AM=4＋AM ∵∠OAD=180°−∠OAB−∠BAN=60° ∴∠ADO=30° ∴AD=2AO=8 ∴DN−AM=AN＋AD−AM=4＋AM＋8−AM=12 即DN−AM的值不变，其值12 学科网（北京）股份有限公司 $$