第二十二章 二次函数 单元测试 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年数学九年级上册人教版 第二十二章 二次函数 （单元测试） 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 一、选择题 1．已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　） A． B． C．2 D．4 2．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．二次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．当时，函数有最小值3 B．当时，函数有最大值3 C．当时，函数有最小值3 D．当时，函数有最大值3 6．已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 7． 已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2 8．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是　 　平方米． 10．玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶　 　碰到水柱．（填“能”或“不能”） 11．如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为　 　m． 12．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线的解析式为　 　 ． 13．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”.在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是　 　． 14．如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 　 　． 15．若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　 　． 16．在平面直角坐标系中，关于x的函数y＝-x+3a+2和y＝x2-ax的图象相交于点P、Q． （1）若点P的横坐标为1，则a＝　 　． （2）若P、Q两点都在x轴的上方，且a≠0，则实数a的取值范围是 　 　． 三、解答题 17．【问题背景】 已知抛物线（a，b为常数，）的顶点为，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点. 【构建联系】 （1）如图1，当，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标； （2）如图2，当时，求的值； 【深入探究】 （3）如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值. 18．综合与实践． 【实践操作1】如图1，在矩形纸片内绘制一条抛物线（部分图象），抛物线与交于点，，顶点在上，取的中点，连结，． 【观测发现】与抛物线的对称轴平行，度量得，． 【实践操作2】如图2，连结交于点，记点到，的距离分别为，，此时．将抛物线向右平移，当时停止平移． 【探究结论】 （1）求的长． （2）建立合适的直角坐标系，求平移前抛物线的表达式． （3）根据（2）中建立的坐标系，求平移后抛物线的表达式． 19．在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值． （2）若，直线与该抛物线有两个交点A、，其坐标分别为和．当时，求的最小值． 20．大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米． 请尝试数学建模解决以下问题： （1）在图1中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式； （2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，交于点．为不影响耕作，将点到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 21．已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线，（为常数）． （1）若抛物线与轴正半轴的交点落在抛物线上，求的值； （2）已知抛物线可由抛物线绕点旋转得到，求点的坐标； （3）若在的范围内，始终存在，求的取值范围（直接写出答案）． 22．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图像上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 参考答案 1．B 2．D 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．450 10．不能 11．10 12． 13． 14．＜t＜1 15． 16．（1）0 （2）a＞0或＜a＜0 17．（1）该抛物线顶点的坐标为；（2）；（3） 18．（1）解：∵点是的中点， ∴设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵与抛物线的对称轴平行，， ∴，， ，， ∴，，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ ∴； （2）解：如图，以所在直线为轴，射线方向为正方向，以所在直线为轴，射线方向为正方向，建立直角坐标系， ∵点是抛物线的顶点，由（1）得：，， ∴顶点坐标为，点坐标为 ∴设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴平移前抛物线的表达式为； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 平移前，由（1）得，， ∴， ∵， ∴平移前，， ∴； 设向右平移了， ∴平移后，，， ∵， ， 解得：， ∴抛物线向右平移了， ∴平移后抛物线的表达式为，即． 19．（1）解：①证明：当时，抛物线为，∴顶点坐标为， 若顶点在第三象限，则解得：，即该不等式组无解． ∴抛物线的顶点不在第三象限． ②解：∵抛物线与轴有两个不同交点， ∴． ∴． ∵为自然数， ∴． ∴抛物线为． 当时，，．则． （2）解：∵直线与抛物线有两个交点和， ∴．解得：． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵直线与该抛物线有交点， ∴，解得：， ∴抛物线为． ∴的图象开口方向向上，对称轴为直线． ①当，即时，，随的增大而减小， ∴当时，取最小值为． ②当，即时，，随的增大而减小， ，随的增大而增大， ∴当时，取最小值为0． ③当时，，随的增大而增大， ∴当时，取最小值为． 综上可知：当时，取最小值为； 当时，取最小值为0； 当时，取最小值为． 20．（1）解：由题意可得， 设与之间的函数关系式，将点代入， 得，解得． 水流所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到地面的距离定为1.5米， 将代入得： ， 解得：， ， ， 设直线的函数关系式为，将点，代入得， ，解得：， 直线的函数关系式为， 设， ， ， ， ， 当时，有最大值，为1， 做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米． 21．（1）解：把代入，解得：，， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为 把代入， 得：， 解得：． （2）解：由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称，∴抛物线与抛物线开口大小相同，开口方向不同， ∴， ∵，抛物线顶点坐标为， 的顶点坐标为：， ∴点P的坐标为，即． 答：点坐标为 （3）解：在的范围内，始终存在，即， ∴， ∴， 当时，， 当时， 此时， 解得∶． 22．（1） （2）新的二次函数的最大值与最小值的和为； （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$