函数周期性、对称性强化练习-2026届高三数学一轮复习

函数周期对称强化练习 一、单选题 1．若定义在上的奇函数满足，，则（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 2．已知函数及其导函数定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．无法计算 4．已知函数则（    ）． A．，1是的一个周期 B．，1不是的一个周期 C．，1是的一个周期 D．，1不是的一个周期 二、多选题 5．设定义在上的函数满足，，当时，为单调函数，且，则（    ） A．的周期为4 B． C． D． 6．已知函数的定义域为，且，对任意，函数满足，则（   ） A．是的极值点 B．的周期为4 C． D． 7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B．关于直线，对称 C． D．是最小正周期为4的周期函数 8．设是的导函数，已知函数是定义在上的偶函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．若，则的图象关于点对称 C．若是奇函数，则是周期函数 D．若为奇函数，则 9．已知定义在R上的函数，满足，，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C．在R上单调递增 D． 10．已知函数的定义域为R，的定义域为R，，且满足，．下列说法正确的是（    ）． A．的周期为4 B．的图象关于对称 C．的图象关于对称 D． 11．已知定义域为R的函数满足，且函数是奇函数，，则下列说法不正确的是（    ） A．函数的一个周期是8 B． C．函数为偶函数 D．若，则 12．已知定义在上的函数和是的导函数且定义域为．若为偶函数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 13．已知函数，的导函数为，则（   ） A．存在，使得 B．对于定义域内的任意，都有 C．函数的图象关于原点对称 D．方程有4个实数根 三、填空题 14．设定义在R上的函数满足，则= ． 15．已知函数是R上的偶函数，且，当时，，则在的零点个数为 . 16．已知偶函数及其导函数的定义域均为，若，则 ． 17．定义在R上的偶函数满足，且在上是减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则，的大小关系为 ． 18．已知是定义在上的函数，且，若，则 ． 19．已知是偶函数，且，是奇函数，则 ． 20．设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点． 21．已知是定义在上的函数，且对任意实数，都有，，若，则 ． 22．已知是上的奇函数，，且对任意都有成立，则 ． 23．设是定义在上的函数，且，在区间上，其中，．若，则的值为 ． 24．已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则 ． 25．已知是定义在上的函数，，且对任意的都有，．若，则 ． 26．已知函数满足，且，则 ； ． 学科网（北京）股份有限公司 《函数周期对称强化练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A ABD BC BD CD AB ABD 题号 11 12 13 答案 BCD ABD BCD 1．C 【分析】由已知关系式构造，可证明是奇函数且周期为8，则由可求. 【详解】因为，所以． 令，因为为奇函数，所以为奇函数，且． 因为，所以． 因为，所以 令，则 所以，即的周期为8． 故，所以． 故选：C. 2．D 【分析】对于AB，条件不足无法判断的函数值，对于CD，首先求得的周期为4，只需求得的值即可，对求导，得，令，可得，由此即可判断. 【详解】对于AB，若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件， 故无法判断的函数值，故AB错误； 对于CD，若，均为偶函数， 则，的图象分别关于对称，即， 令，求导得， 所以，是常数，即的图象关于中心对称， 所以， 所以的周期为4， 对求导得，，所以的周期也为4， 故，只需求得的值即可， 而，求导得，令，可得， 所以，故C错误，D正确. 故选：D. 3．C 【分析】根据函数，的奇偶性，结合，推出，进 一步得出周期为4，化简求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则有， 又因为，所以， 又因为是定义在上的偶函数， 所以， 所以，可得 因此，即； 可知的周期为4. 因为，.所以，． 由，令，得. 所以． 故选：C. 4．A 【分析】根据定义，结合函数值之间的关系以及函数周期性的定义进行判断即可． 【详解】因为函数的值域为，而0和1都是有理数， 所以，故． 若为有理数，则也为有理数；反之，若为无理数，则也为无理数． 故对任意的，恒有． 故选：A． 5．ABD 【分析】根据奇函数和等式转化为，求得周期判断A；利用单调性，对称性和奇偶性结合判断B；计算，结合周期，判断C；根据函数周期计算函数值，计算求得的和. 【详解】对于A，由，知是上的奇函数，又， 所以，则，即， 即的周期为4，A正确； 对于B，由在单调，且当时，， 令，可得存在唯一常数，使得， 又，所以，解得，则，， 易知在单调递增，且图象关于直线对称，故在单调递减， 则，有，又是上的奇函数，且， 所以，有，而的周期为4，故，有，B正确； 对于C，易得，所以，C错误； 对于D，因为，， 且， 所以，D正确. 故选：ABD. 6．BC 【分析】由题意可得的图象关于直线对称，且关于点对称，可得周期可判断AB，进而计算可判断CD. 【详解】因为，所以的图象关于直线对称， 又①， 令替换x，得②， 由①＋②得，所以的图象关于点对称， 则不是的极值点，A错误； 所以，， 所以，即， 又，所以， 所以的周期，B正确； 在处有定义，则必有，所以 ，结合已知得，故，C正确； 在中，令，得，又， 所以， 所以，D错误． 故选：BC. 7．BD 【分析】由为奇函数，为偶函数，可得关于点对称，关于直线对称，即可判断A，B；假设C成立，可得函数的对称轴为，从而与前面的结论矛盾，即可判断；由已知条件可得，可得函数的周期为4，即可判断D. 【详解】因为为奇函数，则， 所以关于点对称， 因为为偶函数，则， 所以关于直线对称， 且，所以， 即，， 所以是以4为最小正周期的周期函数，故D正确； 综合对称中心、对称轴、周期可知函数关于点中心对称， 即关于点，对称，故A错误； 且函数关于直线、、，对称， 关于直线，对称，故B正确； 若，即关于直线对称，矛盾，故C错误. 故选：BD. 8．CD 【分析】根据已知得确定对称轴判断A；对抽象函数求导得，进而得判断B；根据奇函数性质及A结论得，进而求周期判断C；利用周期性判断D. 【详解】因为函数是偶函数，所以，即， 所以函数的图象关于直线对称，A错误； 由题意知，则有， 所以有，即， 则函数的图象关于点中心对称，B错误； 因为是奇函数，所以，令，有， 由题意知，令，则， 则有，即， 则， 则，故函数是周期为8的周期函数，C正确； 因为为奇函数，所以，所以， 所以令，则有， 由题意知，所以，即． 所以，，结合A知， 所以，D正确. 故选：CD 9．AB 【分析】对于A，由题可得，与相加可得 ，可判断A正确；对于B，由A分析可得，结合，可得，据此可判断周期；对于C，由题可得 ，，据此可判断C错误；对于D，由BC分析可判断选项正误. 【详解】对于A，由，得， 两式相加可得，因此的图象关于点对称，故A正确； 对于B，由A选项可知，又为偶函数，所以， 将替换为，可得， 与两式相减得， 所以，即是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，易知，又，故，得， 又，所以，， 故在R上不单调递增，故C错误； 对于D，由C分析可知， 结合BC知：. 则，故D错误． 故选：AB． 10．ABD 【分析】由，得出，判断出关于对称，由，得出对称，得到的周期为4，得出A正确，C错误；由周期性以及对称性得出关于对称，得到B正确；由，得到一个周期的函数值，从而计算出D正确. 【详解】由，得到， ，将替换为，则有， 故，则， 故关于对称； 由， 故对任意成立，令可得， 则，将替换为，故， 所以关于对称； 对于选项A：， 则， 将替换为，所以， 故，故的周期为4，故A正确； 对于选项B：由，将替换为， 则， 故的图象关于对称，故B正确; 对于选项C：，故关于对称，故C错误； 对于选项D：由， ，周期为, 令，，, 令，，, 由，令，, 又关于对称，故， 故, 所以， 故D正确. 故选：ABD. 11．BCD 【分析】本题要从前两个抽象表达式入手，判断函数的轴对称和中心对称两个特征，从而得出函数的周期性，接着通过赋值代入求出一个周期内的函数值或者项的特征，可相继判断B,D两项，利用奇偶函数的定义可判断C项. 【详解】对于A，因为，所以是的对称轴， 所以 因为是奇函数，所以，即, 所以是的对称中心，. 因为，所以函数的一个周期是8，故A正确； 对于B，由函数的图象关于点对称，得， ， 又，所以，故， 因此 ，故B不正确； 对于C，，故函数是奇函数，故C不正确； 对于D，令，则， 因此函数的一个周期是2， 因，所以，又， 故， 所以当为奇数时，当为偶数时， 所以， 所以 ，故D不正确． 故选：BCD. 12．ABD 【分析】根据题意，先利用求导证明为奇函数，再证明其还为周期为4的函数，再通过合理赋值可一一核对各选项的对错. 【详解】对于A，因为为偶函数，所以，两边求导得， 所以为奇函数．因为，， 所以，则，所以， 即的周期，因为为定义域为的奇函数， 所以，则，故A正确． 对于B，在中，令， 可得，所以，故B正确． 对于C，在中，令，可得， 则；在中，令， 可得，则，所以，故C错误． 对于D，在中，令，得①； 在中，令，得②； ①②两式相加得，即，故D正确． 故选：ABD． 13．BCD 【分析】对于A，根据函数式，通过计算得可判断B正确； 对于B，利用导数得函数的单调性结合函数的对称性求得可判断A不正确； 对于C，先求得，再求导，得，经验证得到，可判断C正确； 对于D，令，由，确定，方程的只有一个根且由在上的单调性得，再由方程有4个不相等的实数根.得到方程有4个不相等的实数根，判断D正确. 【详解】对于B，由得，，故B正确； 对于A，，定义域为. 当时，，， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增. 由B知，的图象关于对称， 所以在上单调递增，在上单调递减. .故A不正确； 对于C，， 当时，， 当时，，， 所以， 当时，， 当时，， 所以是奇函数，图象关于原点对称.故C正确； 对于D，由A知，的图象关于对称， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且. 令，则，由，得,， 根据的对称性和单调性知，方程，只有一个实数根且 由在上单调递增，，所以 而方程有4个不相等的实数根. 所以方程有4个不相等的实数根.故D正确. 故选：BCD. 14．3 【分析】由已知条件确定函数周期，即可求解. 【详解】由可得 所以，所以的周期为6， 所以 故答案为：3 15．9 【分析】根据的奇偶性以及题干条件可以确定的周期，再根据时，的零点，即可得到最终结果. 【详解】因为是R上的偶函数，则的图象关于直线对称，即, 又，故， 故,进而， 故， 所以的周期为4， 在中分别取，，则， ， 当时，令，解得，且函数在单调递减，故在上只有唯一一个零点， 又，故在上只有零点0，， 结合函数的对称性以及周期性可知在的零点为，，， ，0，，，2，，共9个， 故答案为：9 16． 【分析】移项构造，并得其图象的对称中心，结合为偶函数得到的周期，求解，得出结论； 【详解】因为，， 所以， 令，则， 即，所以的图象关于点中心对称， 令，则，故． 因为为偶函数，所以为偶函数，所以的周期是4． 所以，故． 又，且的周期也是4， 由是偶函数，可知是的极值点，所以． 所以，所以． 故． 故答案为：. 17． 【分析】根据函数奇偶性和周期性，判断函数单调性，根据锐角三角形的内角性质和正弦函数单调性，判断函数值大小，进而求出结果. 【详解】定义在R上的偶函数在上是减函数，所以在上是增函数； 因为，所以函数周期是2，则函数在上是增函数， 因为，是锐角三角形的两个内角，所以，， 因为在上是增函数，所以，从而. 故答案为：. 18． 【分析】根据给定条件，探求出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】由，得，且， 则，， 因此函数是以8为一个周期的函数，而， 所以． 故答案为： 19．993 【分析】根据函数的奇偶性得到的周期为4，利用周期性可求得的值. 【详解】因为是奇函数，所以， ，所以， 又因为是偶函数，所以，所以， 所以，所以是周期为4的周期函数， 所以. 20．50 【分析】由已知求出函数的周期为，结合，可得，进而确定至少有个零点. 【详解】∵是关于的奇函数， ∴关于对称，∴关于对称； ∴ 又是关于的奇函数， ∴关于对称，∴关于对称； ∴ ∴，∴ 即周期为4. 又易知，∴ ∴， 即，的一个零点恰为． ∵，所以至少有50个零点． 故答案为： 21．2004 【分析】根据条件推出，故，令，则，即是以6为周期的函数，结合，求出的值. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以，故， 即，令， 则对任意实数都成立，即是以6为周期的函数， 所以． 故答案为：2004 22． 【分析】首先利用奇函数的性质求，发现函数周期，然后根据周期性求的值． 【详解】由题意知，， 令，则，即． 因为是上的奇函数，所以， 故，所以是周期为6的函数， ． 故答案为： 23． 【分析】由知函数周期，所以，，进而求解参数，得解. 【详解】因为是定义在上且周期为2的函数， 所以，即①； 又因为，， 所以②， 由①②，解得，，故. 故答案为：. 24． 【分析】首先根据函数的奇偶性和所给等式推出函数的周期，再结合已知区间的函数表达式求出一个周期内函数值的和，最后利用周期计算所给式子的和. 【详解】因为是定义域为的偶函数， 所以，即， 对于任意都成立，那么. 用代替，可得，即. 又因为，则关于直线对称，所以. 由和可得， 再用代替，得到，即， 而，所以，进而，所以函数的周期是. 已知当时，. ，. 因为的图象关于直线对称，所以，. . ，，，. 则. 因为，其中是余数. 所以. . 故答案为：. 25．3 【分析】根据给定条件，利用赋值法及不等式性质推导得，再利用周期性求值. 【详解】由，得， 则，，， ，因此， 即，则，又， 于是，函数的周期为1， 而，所以． 故答案为：3 26． 【分析】根据题意可得，即可求；分析可知函数的一个周期为6，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，则，可得， 则，所以函数的一个周期为6， 又因为，则， 且，即， 则， 可得， 所以. 故答案为：；. 学科网（北京）股份有限公司 $$