14.3.2 角的平分线的判定 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角的平分线的判定定理及三角形内角平分线性质，从定理证明（如HL全等证PC=PD得P在角平分线上）切入，衔接角平分线性质，构建“性质-判定”逻辑链，形成学习支架帮助学生掌握前后知识脉络。 其亮点在于融合几何直观（网格题判断距离相等点）、推理能力（通过AAS、SAS全等证明角平分线）和应用意识（建水厂、度假村位置问题），采用“知识点+例题+实际应用”结构，助力学生提升几何推理与实际应用能力，为教师提供分层练习与系统教学资源，提高教学效率。

14.3.2 角的平分线的判定 理解角平分线的判定定理. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. 知识点1 角的平分线的判定 1． 如图，PC⊥OA，PD⊥OB，当PC＝PD时，Rt△OPC≌Rt△_________(HL)，∴∠POC＝∠_________. OPD POD 2．已知∠AOB在正方形网格中的位置如图所示，则到∠AOB两边距离相等的点应是( ) A．点C B．点D C．点E D．点F C 3．(驻马店期中)如图，∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则∠COD的度数为( ) A.30° B．45° C．60° D．50° A 4．(教材习题变式)如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE相交于点O，BD＝CE，连接AO.求证：AO平分∠BAC. 知识点2 三角形三内角的平分线 5．如图，P是△ABC内的一点，且PD＝PE＝PF，则点P是( ) A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．以上选项均可以 B 6．如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝________________． 2∶3∶4 知识点3 角的平分线的实际应用 7．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置． 解：图略．提示：作∠AOB的平分线，与AB的交点即为点M的位置． 8． 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是△ABC三条____________(填“中线”“角平分线”或“高所在直线”)的交点，这样的点一共有____处． 角平分线 4 9． 如图，现有两把一样的半截直尺，将其中一把直尺的边与射线OA重合，另一把直尺的边与射线OB重合，两把直尺的另一边在∠AOB的内部交于点P，作射线OP，若∠AOB＝50°，则∠AOP的度数为( ) A．25° B．30° C．40° D．50° A 10．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P情况为( ) A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．组成∠E的角平分线 D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外) D 11．如图，O是△ABC内一点，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OD＝OE＝OF，若∠A＝70°，则∠BOC＝_____________． 125° 12．如图，CA＝CB，点E在BC上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于点F，连接CF. (1)求证：AE＝BD； (2)求证：CF平分∠AFD. [核心素养：几何直观　推理能力　运算能力] 13．(教材习题变式)如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点P.若∠BPC＝35°，求∠CAP的度数． 解：过点P分别作PE⊥AB交BA的延长线于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BD于点G. ∵∠ABC的平分线和∠ACD的平分线交于点P， ∴PE＝PG，PF＝PG，∠ABC＝2∠PBC，∠ACD＝2∠PCD. ∴PE＝PF，∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝2×35°＝70°. 又∵PE⊥AB，PF⊥AC， 角平分线的 判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离相等 1.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是(　　) A．点M B．点N C．点P D．点Q A 2. 如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是(　　) A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确 B 3. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ ______________. 4 ∶ 5 ∶6 4. 已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN. 证明：∵OD平分线∠POQ， ∴∠AOD=∠BOD. 在△AOD与△BOD中， ∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD， ∴△AOD≌△BOD. ∴∠ADO=∠BDO. ∵CM⊥AD，CN⊥BD， ∴CM=CN. 5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ODB＝∠OEC＝90°. 在△OBD和△OCE中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BOD＝∠COE，,∠ODB＝∠OEC，,BD＝CE，)) ∴△OBD≌△OCE(AAS). ∴OD＝OE. 又∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AO平分∠BAC. 证明：(1)在△ACE和△BCD中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(CA＝CB，,∠ACE＝∠BCD,CE＝CD，)，)) ∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD； (2)过点C作CG⊥AF，CH⊥BD，垂足分别为G，H.∵由(1)知，△ACE≌△BCD，∴∠CAG＝∠CBH，AC＝BC.在△ACG和△BCH中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(∠CAG＝∠CBH，,∠AGC＝∠BHC＝90°，,AC＝BC，)))∴△ACG≌△BCH(AAS)，∴CG＝CH，∴CF平分∠AFD. ∴∠CAP＝∠EAP＝ eq \f(1,2)∠EAC＝ eq \f(1,2)(180°－∠BAC)＝55°. $$