第三章 实数 单元练习 2025-2026学年浙教版七年级数学上册

第三章 实数 单元练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.下列实数中，是无理数的是(    ) A. B. C. D. 2.下列说法中，正确的是． A. 的立方根是 B. 的平方根是 C. 的算术平方根是 D. 的立方根是 3.如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是． A. B. C. D. 和 4.如图所示，数轴上，两点表示的数分别为和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数为    ． A. B. C. D. 5.已知的三边长分别为，，，且满足，则    ． A. 不是直角三角形 B. 是以为斜边的直角三角形 C. 是以为斜边的直角三角形 D. 是以为斜边的直角三角形 6.计算的结果估计在  (    ) A. 至之间 B. 至之间 C. 至之间 D. 至之间 7.的值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在数轴上点表示实数，，两点距离点均为个单位长度，那么，两点表示的数是    ． A. B. C. D. 和 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.的平方根等于______． 10.请写出一个比大且比小的无理数：________． 11.下列各数，，，，，，中，无理数的个数有______个． 12.比较大小：________填“”、“”、“”． 13.如图，数轴上表示、的对应点分别为、，点关于点的对称点为，则点表示的数是____________________． 14.的绝对值是______． 15.的平方根是______． 16.的算术平方根是______，的立方根是______，绝对值是______，平方根是______． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17.计算： ； ． 18.解方程： 四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 20.本小题分 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小用“”连接： ． 21.本小题分 已知一个正方体的体积是，现在要在它的个角上分别截去个大小相同的小正方体，使得截去后余下的体积是，问截得的每个小正方体的棱长是多少． 22.本小题分 已知是的算术平方根，的立方根为． 求和的值； 求的平方根． 23.本小题分 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”即在直角三角形中如图，，两条直角边分别为，，斜边为，则利用勾股定理解答下列问题： 在直角三角形中，，，，求的长． 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点． 在图中，利用勾股定理求线段的长度． 在图中，画一条格点线段，使． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 【解答】 解：、是有理数，故A错误； B、是有理数，故B错误； C、是有理数，故C错误； D、是无理数，故D正确． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查平方根、算术平方根、立方根的知识，根据平方根、算术平方根、立方根的定义，逐一分析即可． 【解答】 解：．的立方根是，此项错误，不符合题意； B.没有平方根，此项错误，不符合题意； C.的算术平方根是，此项正确，符合题意； D.的立方根是 ，此项错误，不符合题意． 故选C． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平方根与立方根，属于基础题． 的平方根是，立方根是；的平方根与立方根都是；没有平方根，立方根是． 【解答】 解：根据题意的平方根是，立方根是； 的平方根与立方根都是； 没有平方根，立方根是， 如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是， 故选B． 4.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查了实数与数轴，掌握实数与数轴上的点是一一对应关系，体现了数形结合思想．由题意知，间的距离为，点关于点的对称点为，则间的距离也为，设点表示的数是，可得，点所表示的数为． 【解答】 解：由对称点到对称中心的距离相等，可得， 设点表示的数为， 则， ． 故选A． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了绝对值以及偶次方的性质再结合二次根式的性质、勾股定理的逆定理等知识，正确得出，，的值是解题关键． 直接利用绝对值以及偶次方的性质再结合二次根式的性质得出，，的值，进而得出答案． 【解答】 解：， ，，， ， 是以为斜边的直角三角形． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：原式． ， ， ， ． 故选B． 7.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 直接利用绝对值的性质化简得出答案． 【解答】 解：原式 ， 故选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了实数与数轴，关键是熟练掌握数轴的特征，直接根据实数与数轴上各点的对应关系求出，表示的数即可； 【解答】 解：点，所表示的数分别为或， 故选B． 9.【答案】  【解析】解：的平方根等于：． 故答案为：． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此求解即可． 此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 10.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查估算无理数的大小，能够判断出中间数的取值范围是解题关键． 利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算，然后找出无理数即可． 【解答】 解：设无理数为，， 所以的取值在之间都可，故可填或． 11.【答案】  【解析】解：在所列实数中，无理数有，，这个， 故答案为． 根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，找出无理数的个数． 本题考查了无理数的知识，解答本题的掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数． 12.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了比较实数大小，及二次根式的性质与化简． 先把平方后移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可． 【解答】 解：， ， ． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查实数与数轴，实数的运算，中心对称的性质．关键是根据点、点关于点对称，所以，所以，即可得出答案． 【解答】 解：点、点关于点对称， ， ． 故答案为． 14.【答案】  【解析】解：的绝对值是， 故答案为：． 根据差的绝对值是大数减小数，可得答案． 本题考查了实数的性质，差的绝对值是大数减小数． 15.【答案】或  【解析】解：， 的平方根是或． 故答案为：或． 首先求出的值是多少；然后根据平方根的含义和求法，求出的平方根是多少即可． 此题主要考查了算术平方根的性质和应用，以及平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 16.【答案】      【解析】解：，的算术平方根是，的立方根是，绝对值是，，平方根是， 故答案为：，，，． 根据实数的性质，可得答案． 本题考查了实数的性质，利用绝对值的性质，平方根、立方根的意义是解题关键． 17.【答案】解：原式 ； 原式 ．  【解析】直接利用立方根以及算术平方根分别化简得出答案； 直接利用绝对值的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确掌握相关定义是解题关键． 18.【答案】解：， ， ， ， ， ， ， ．  【解析】根据平方根的定义解方程即可； 根据立方根的定义解方程即可． 本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握这两个定义解方程是关键． 19.【答案】解：的算术平方根是，的平方根是， 解得：． 是的整数部分，， ， ， 的平方根是．  【解析】【分析】 根据算术平方根的性质求出的值，根据平方根的性质求出的值，进而求得，的值．根据是的整数部分求得的值，进而求解即可． 【解答】 解：的算术平方根是，的平方根是， 解得：． 是的整数部分，， ， ， 的平方根是． 【点评】 本题主要考查了算术平方根、平方根的性质和无理数的估算，求出，，的值是解题关键． 20.【答案】数轴见解析，．  【解析】解：， 各数表示在数轴上为： ， ． 把含有绝对值符号的式子化简，再把各数表示在数轴上，然后按照从左到右的顺序，用小于号连接起来即可． 本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握如何把实数表示在数轴上． 21.【答案】解：设截得的每个小正方体的棱长， 依题意得 ， ， ， 答：截得的每个小正方体的棱长是．  【解析】本题考查立方根的应用，其中求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．注意一个数的立方根与原数的性质符号． 由于个正方体的体积是，现在要在它的个角上分别截去个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是，设截得的每个小正方体的棱长，根据已知条件可以列出方程，解方程即可求解． 22.【答案】解：是的算术平方根， ， ， 的立方根为， ， ， ； ， 的平方根为， 的平方根为．  【解析】本题考查了平方根、算术平方根，立方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义． 根据算术平方根、立方根的定义，得到，，求出，的值即可； 把，的值代入，求出的值，根据平方根的定义即可解答． 23.【答案】解：因为在直角三角形中，，，，，  所以，  所以，  因为， 所以； 根据在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方， ，所以  如图，线段即为所求．   【解析】本题考查了在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，熟练应用是关键． 直接利用在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即可求解； 利用在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，可求出，即可得； 求作线段，也就是作一个两直角边分别为和，斜边为的直角三角形即可得． 第4页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$