3.2.2奇偶性9题型分类（讲+练）-2025年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.2.2奇偶性9题型分类 课程标准 学习目标 ①了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系. ②利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函数的奇偶性求参数范围. ③能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题. 通过本节课的学习，掌握判断函数奇偶性的方法，会求与奇偶函数有关的函数解析式，能处理与函数单调性、周期性相关的综合问题. 一、偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 二、偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数. 三、函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点 (1)定义域：由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． (2)对应关系：①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔(f(x)≠0)． 四、函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 五、奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论： (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 六、常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数y＝(a≠0) 奇函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 （一） 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法 ①确定函数的定义域； ②看定义域是否关于原点对称． (ⅰ)不对称，则函数为非奇非偶函数； (ⅱ)对称 (2)图象法：画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性． (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 注：(1)判断奇偶性时，必须先求定义域. (2)有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(-x)与f(x)的关系. (3)对于分段函数，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 题型1：函数奇偶性的判断 1．（25-26高一·全国·单元测试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国月考）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 3．（2025高二·广东深圳·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 题型2：抽象函数的奇偶性 4．【多选】（2025·山东菏泽·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数D． 5．（2025高一·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 6．（2024高三·全国月考）（1）已知函数，，若，，都有，求证：为奇函数； （2）已知函数，，若，，都有，求证：为偶函数； （3）设函数的定义域为，证明：是偶函数，是奇函数． （二） 奇、偶函数的图象及应用 1、巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2、奇、偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察． 题型3：奇、偶函数的图象及应用 7．（2025高一·宁夏吴忠月考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合. 8．（2025高一·贵州六盘水月考）已知是定义在上的奇函数，且在上的图象如图所示． (1)请在坐标系中补全的图象； (2)求不等式的解集． 9．（2025高一·广东中山月考）已知定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)在坐标系中作出函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间； (3)若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围． （三） 利用函数的奇偶性求函数值 利用函数的奇偶性求函数值的思路 已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f(－a)． 注：(1)利用函数的奇偶性求函数值问题应充分运用奇(偶)函数的定义构造函数，从而使问题快速得到解决. (2)在定义域关于原点对称的前提下,若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数,若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数解题. 题型4：利用函数的奇偶性求函数值 10．（2025高一·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 11．（2025高一·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 12．（2025高一·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则 . 13．（2025高一·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的偶函数，则 . （四） 利用函数的奇偶性求参数值 已知函数的奇偶性求参数值的三种思路 (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程． (2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值． (3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去． 题型5：利用函数的奇偶性求参数值 14．（2025高一·上海宝山·期末）已知．若为偶函数，则 ． 15．（2025高二·浙江金华·期中）已知是定义在上的偶函数，则 . 16．（2025高三·上海月考）设且是奇函数，则实数的值为 . 17．（2025高一·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 18．（2025高三·全国月考）已知函数是奇函数，则实数 ． （五） 利用函数的奇偶性求函数解析式 利用函数的奇偶性求函数解析式的注意事项 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)． 注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0. 题型6：利用函数的奇偶性求函数解析式 19．（2025高二·浙江月考）已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 20．（2025高一·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 21．（2025高一·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 22．（2025高一·江苏宿迁月考）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． （六） 利用函数的奇偶性比较大小 利用函数的奇偶性比较大小：看自变量是否在同一单调区间上． ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小． 题型7：利用函数的奇偶性比较大小 23．（2025高一·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（2025高一·四川成都·期中）已知函数在上单调递增，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 25．（2025高一·辽宁沈阳·期中）已知函数是R上的偶函数，当时，恒成立.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 26．（2025高一·安徽滁州·期末）已知奇函数的定义域为，且不等式对任意两个不相等的正实数，都成立，在下列不等式中，正确的是　　 A． B． C． D． （七） 利用函数的奇偶性解不等式 利用函数的奇偶性解不等式 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解． 注：(1)抽象不等式问题，解题步骤是: ①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系; ②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f"，转化为解不等式(组)的问题. (2)需要注意的是:在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0= f(l),f(x-1)<0，则f(x-1)< f(1). (3)利用好偶函数性质f(x)=f(|x|)可以避免讨论，简化计算. 题型8：利用函数的奇偶性解不等式 27．（2025高三·全国月考）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．   28．（25-26高一·全国·单元测试）已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（2025高三·全国月考）已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 30．（2025高一·全国月考）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 31．（2025高一·全国月考）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 题型9：函数性质的综合应用 32．【多选】（25-26高一·全国·期中）已知定义在R上的函数满足：①是偶函数；②当时，；③当，时，．则（    ） A． B．在上单调递减 C．不等式的解集为 D． 33．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．是图象的一个对称中心 D．为偶函数 34．【多选】（2025高二·云南曲靖·期末）已知定义在R上的函数，满足，，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C．在R上单调递增 D． 35．【多选】（2025高二·辽宁·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．在上单调递增 D． 一、单选题 1．（2025高一·广东湛江月考）若函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C． D．3 2．（2025高一·全国月考）若f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为（    ） A．±1 B．－1 C．1 D．0 3．（2025高一·广东江门·期中）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（1990·全国）已知，且，则等于（    ） A． B． C． D．10 5．（2025高一·北京西城·期末）设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·湖北荆州月考）定义在R上的偶函数，在上是增函数，则 A． B． C． D． 7．（2025高三·全国月考）已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 8．（2025高二·北京昌平·期末）函数的图象关于（　　） A．y轴对称 B．直线对称 C．直线对称 D．坐标原点对称 9．（25-26高一·全国·单元测试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三·全国月考）某同学用摄影机记录了迁徙中的某种候鸟在某一时刻的飞行姿态如图所示，如果用函数的部分图象来描绘候鸟某一时刻翅膀的飞行姿态，则的图象大致是（    ） A． B． C．D． 11．（2025高三·全国月考）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·山东）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·广西玉林月考）若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 14．（2025高一·四川绵阳·期末）函数的图象大致是（    ） A．B． C．D． 15．（25-26高一·全国·单元测试）定义在上的函数满足，但不恒等于，则下列说法正确的是（    ） A．可以是上单调递增的一次函数 B．可以是偶函数 C．可以是奇函数 D．存在非零实数，使得 16．（2025高三·全国月考）若存在使函数在区间的值域为，则称函数为区间的“限定函数”，m为函数的“限定数”．已知定义在上的奇函数满足当时，，且为区间的“限定函数”，则“限定数”m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（2025高三·全国月考）已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 二、多选题 18．（2025高一·山西朔州月考）已知是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（　　） A． B．的最大值为 C．在上是单调递增 D．的解集为 19．（2025高一·云南普洱月考）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 三、填空题 20．（2025高一·全国月考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+4）＝f（x），当1≤x≤2时f（x）＝x﹣2，则f（6.5）等于 . 21．（2025高一·全国·假期作业）已知函数是奇函数，当时，，若，则m的值为 . 22．（2025高一·全国月考）已知是奇函数，则 ； ． 23．（2004·上海）设偶函数的定义域为,若当时,的图象如图所示,则不等式的解集是 ． 24．（2025高一·福建莆田·期中）设是定义在上的函数，对任意的，恒有成立，函数满足，则是 （填：“奇函数”、“偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”），若在上单调递增，且，则实数的取值范围是 ． 25．（2025高一·江苏南通月考）已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒成立，则不等式的解集是 ． 26．（2025高一·全国月考）已知函数是定义在上的奇函数，则常数的值分别为 ． 四、解答题 27．（2025高一·全国月考）定义在R上的奇函数在[0，＋∞)上的图像如图所示. （1）补全的图像； （2）解不等式. 28．（2025高一·天津南开·期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立. (1)求f（0）； (2)证明：函数y=f（x）是奇函数； (3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数. 29．（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）已知函数是的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性； （3）求函数在上的最大值与最小值． 30．（2025高一·上海·假期作业）已知函数对一切都有，求证：是奇函数，若，试用表示. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.2.2奇偶性9题型分类 课程标准 学习目标 ①了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系. ②利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函数的奇偶性求参数范围. ③能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题. 通过本节课的学习，掌握判断函数奇偶性的方法，会求与奇偶函数有关的函数解析式，能处理与函数单调性、周期性相关的综合问题. 一、偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 二、偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数. 三、函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点 (1)定义域：由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． (2)对应关系：①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔(f(x)≠0)． 四、函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 五、奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论： (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 六、常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数y＝(a≠0) 奇函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 （一） 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法 ①确定函数的定义域； ②看定义域是否关于原点对称． (ⅰ)不对称，则函数为非奇非偶函数； (ⅱ)对称 (2)图象法：画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性． (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 注：(1)判断奇偶性时，必须先求定义域. (2)有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(-x)与f(x)的关系. (3)对于分段函数，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 题型1：函数奇偶性的判断 1．（25-26高一·全国·单元测试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式及奇偶性定义判断函数的奇偶性和单调性即可得. 【解析】A：函数是奇函数，且在上单调递增，不符合； B、D：函数，是偶函数，不符合； C：函数是奇函数，且在上单调递减，符合. 故选：C 2．（2025高一·全国月考）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可. 【解析】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，    观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 3．（2025高二·广东深圳·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义即可得出判断． 【解析】对于A，，设， ，所以为奇函数，故A符合题意； 对于B，，， 定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，， 设， 则，不为奇函数，故C不合题意； 对于D，， 定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D不合题意； 故选：A． 题型2：抽象函数的奇偶性 4．【多选】（2025·山东菏泽·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数D． 【答案】ABD 【分析】对于选项A和选项B：利用奇函数的定义以及奇函数在原点有定义就有即可判断； 对于C：举反例即可判断；对于D：分别令和即可判断. 【解析】对于B：令，由题设可知，故是奇函数.故B正确； 对于A：又的定义域为R，所以，故A正确. 对于C：不妨取，则满足，且，故C错误. 对于D：令，则；令，则， 故，故D正确. 故选:ABD 5．（2025高一·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 【答案】(1)， (2)奇函数 (3)是上的减函数，证明见解析 【分析】（1）通过赋值即可求解； （2）令，结合可判断； （3）令，由可判断，即可判断其单调性. 【解析】（1）令，则，即， ， ； （2）令，则，即，可得为奇函数； （3）是上的减函数. 证明：令，则， 则， 由时，， 可得，即有，即，即， 则是上的减函数. 6．（2024高三·全国月考）（1）已知函数，，若，，都有，求证：为奇函数； （2）已知函数，，若，，都有，求证：为偶函数； （3）设函数的定义域为，证明：是偶函数，是奇函数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）赋值法先求得，再令，，即可证明； （2）令，得，再令，，可得，联立即可得证； （3）构造函数，利用奇函数、偶函数的判定直接判断即可. 【解析】（1）令，则，． 令，，则，． 又的定义域为，是奇函数． （2）令，，得①， 令，，得②， 由①②得，即， 又的定义域为，是偶函数． （3），，则的定义域也是． 设，， 则与的定义域都是，关于原点对称， ， ， 为偶函数，为奇函数， 即是偶函数，是奇函数. （二） 奇、偶函数的图象及应用 1、巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2、奇、偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察． 题型3：奇、偶函数的图象及应用 7．（2025高一·宁夏吴忠月考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合. 【答案】(1)作图见解析； (2)递减区间为； (3). 【分析】（1）根据奇函数求解析式，结合图象关于原点对称，画出y轴右侧图象即可. （2）（3）根据（1）所得函数图象确定减区间及不等式的解集即可. 【解析】（1）由题图及是R上的奇函数， 若，则，故， 由，故，函数图象如下： （2）由（1）所得函数图象知：单调递减区间是； （3）由（1）所得函数图象知：使的取值集合为； 8．（2025高一·贵州六盘水月考）已知是定义在上的奇函数，且在上的图象如图所示． (1)请在坐标系中补全的图象； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）由奇函数的图象关于原点对称，补全图象即可； （2）由得：或，结合图象求解即可. 【解析】（1）是定义在上的奇函数，所以图象关于原点对称，补全如图所示： （2）由得：或， 所以由图可知：或 故不等式的解集为：. 9．（2025高一·广东中山月考）已知定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)在坐标系中作出函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间； (3)若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析，单调递增区间为和；单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质求出与时函数的解析式即可； （2）根据解析式画出函数图象，由图象得到函数的单调区间； （3）结合函数的单调区间，可列出的不等式，求解即可． 【解析】（1）因为当时，， 设，则，所以， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 且，符合上式， 所以函数在上的解析式为． （2）根据函数的解析式，作出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为和；单调递减区间为． （3）函数在区间上是单调递增函数， 根据图象可知，或， 解得或． 所以实数的取值范围为. （三） 利用函数的奇偶性求函数值 利用函数的奇偶性求函数值的思路 已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f(－a)． 注：(1)利用函数的奇偶性求函数值问题应充分运用奇(偶)函数的定义构造函数，从而使问题快速得到解决. (2)在定义域关于原点对称的前提下,若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数,若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数解题. 题型4：利用函数的奇偶性求函数值 10．（2025高一·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式结合奇函数的性质计算求解. 【解析】因为是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为时，，所以， 则. 故答案为：. 11．（2025高一·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 【答案】2 【分析】利用函数的解析式特征，推出，再代值计算即得. 【解析】， . 故答案为：2. 12．（2025高一·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则 . 【答案】 【分析】根据分段函数和函数的奇偶性求函数值. 【解析】因为，. 所以. 故答案为： 13．（2025高一·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的偶函数，则 . 【答案】4 【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解. 【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以. 故答案为：4. （四） 利用函数的奇偶性求参数值 已知函数的奇偶性求参数值的三种思路 (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程． (2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值． (3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去． 题型5：利用函数的奇偶性求参数值 14．（2025高一·上海宝山·期末）已知．若为偶函数，则 ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出参数值. 【解析】函数的定义域为R，由为偶函数，得， 即，而不恒为0， 所以. 故答案为：0. 15．（2025高二·浙江金华·期中）已知是定义在上的偶函数，则 . 【答案】 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出a的值，由偶函数的定义求出b的值，从而可得的值． 【解析】∵函数是定义在上的偶函数， ∴定义域关于原点对称，得，即， ∴，又函数是偶函数， ∴，即，即，可得． 故 故答案为：． 16．（2025高三·上海月考）设且是奇函数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据计算可得. 【解析】函数为奇函数， 则，即， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 17．（2025高一·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，带入化简得到答案. 【解析】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 18．（2025高三·全国月考）已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据奇函数的性质有求参数，注意验证即可得. 【解析】由题设，可得，即函数定义域为， 由函数为奇函数，则，故， 所以，满足题设. 所以. 故答案为：2 （五） 利用函数的奇偶性求函数解析式 利用函数的奇偶性求函数解析式的注意事项 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)． 注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0. 题型6：利用函数的奇偶性求函数解析式 19．（2025高二·浙江月考）已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】当时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式. 【解析】设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 20．（2025高一·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出函数值. 【解析】依题意，. 故答案为： 21．（2025高一·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式. 【解析】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 22．（2025高一·江苏宿迁月考）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【解析】设，则，故， 由于是定义在R上的奇函数，故， 故答案为： （六） 利用函数的奇偶性比较大小 利用函数的奇偶性比较大小：看自变量是否在同一单调区间上． ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小． 题型7：利用函数的奇偶性比较大小 23．（2025高一·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为定义在上的偶函数可得，然后利用的单调性可得答案. 【解析】因为函数为定义在上的偶函数， 所以， 因为对任意都有， 即有在上单调递减， 所以， 故选：D 24．（2025高一·四川成都·期中）已知函数在上单调递增，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到函数关于对称，所以，结合单调性，即可求解. 【解析】由函数是偶函数，可得函数关于对称， 所以函数关于对称，所以， 因为函数在上单调递增，且，所以. 故选：B. 25．（2025高一·辽宁沈阳·期中）已知函数是R上的偶函数，当时，恒成立.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求出函数在上单调递减，在上单调递增，即可得出的大小. 【解析】函数是R上的偶函数，所以关于对称， 当时，恒成立知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故选：D. 26．（2025高一·安徽滁州·期末）已知奇函数的定义域为，且不等式对任意两个不相等的正实数，都成立，在下列不等式中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据不等式对任意两个不相等的正实数，都成立，得到在区间、单调递增，从而求出答案． 【解析】解；对任意正实数、， 恒有不等式， 的定义域为， 在区间、单调递增， ， 故选：． 【点睛】考查函数的单调性的定义及应用定义比较函数值的大小，属于基础题． （七） 利用函数的奇偶性解不等式 利用函数的奇偶性解不等式 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解． 注：(1)抽象不等式问题，解题步骤是: ①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系; ②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f"，转化为解不等式(组)的问题. (2)需要注意的是:在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0= f(l),f(x-1)<0，则f(x-1)< f(1). (3)利用好偶函数性质f(x)=f(|x|)可以避免讨论，简化计算. 题型8：利用函数的奇偶性解不等式 27．（2025高三·全国月考）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性及单调性可分别作出函数、的图象，结合图象即可求解不等式. 【解析】由为上的偶函数可知的图象关于y轴对称，且， 而函数的图象为的图象向左平移2个单位得到的， 作出与的示意图如图所示， 结合图象可知时，的函数值互为相反数， 故的解集为．    故选：C. 28．（25-26高一·全国·单元测试）已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数知，时；当时，故，结合区间单调性和定义域列不等式求参数范围. 【解析】因为是上的偶函数，所以， 又在上单调递增，结合，所以， 解得或， 故实数的取值范围为． 故选：C 29．（2025高三·全国月考）已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由偶函数的对称性确定区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可得. 【解析】由偶函数的对称性，且在上是增函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，可得，则， 而，故. 故答案为： 30．（2025高一·全国月考）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【解析】是增函数，且， 因为为奇函数，所以在上是增函数． 由，得， 于是，解得．故． 故答案为：. 31．（2025高一·全国月考）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，发现为偶函数，且在上为单调递增函数，将所求不等式变形为，然后利用函数性质拿掉“”，求解不等式即可． 【解析】函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数， 又因为函数、在上均为增函数， 故函数在上是增函数， 由，得，则，即， 即，解得，即满足题设条件的的取值范围是. 故选：A. 题型9：函数性质的综合应用 32．【多选】（25-26高一·全国·期中）已知定义在R上的函数满足：①是偶函数；②当时，；③当，时，．则（    ） A． B．在上单调递减 C．不等式的解集为 D． 【答案】AC 【分析】方法一：对于A，由条件③令，，结合条件②可得；对于B，结合条件与单调性定义求解；对于C，不等式等价于，结合的单调性及奇偶性求解；对于D，令判断即可． 方法二：构造函数判断即可． 【解析】方法一：对于A，由条件③当，时，， 令，，得：， 又由条件②得，∴，A正确； 对于B，取，，且，则 ， ∵，∴，，∴， ∴，即，∴在上单调递增，B不正确； 对于C，∵，， ∴不等式等价于， 又在上单调递增，且由条件①得是偶函数， ∴，∴解集为，C正确； 对于D，令，则，， 此时不成立，D错误． 方法二：构造函数，符合条件①②． ，故A正确； 时，，在上单调递增，故B不正确； ，则即为，则，解集为，故C正确； 令，则，， 此时不成立，D错误． 故选：AC． 33．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．是图象的一个对称中心 D．为偶函数 【答案】BCD 【分析】由奇函数性质知，根据递推式并代入判断A；且，应用周期性求函数值判断B；根据及对称中心判断C；奇偶性定义判断D. 【解析】A：是定义在上的奇函数，所以， 又满足，令，所以，错； B：由，可知， 所以， 所以，对； C：因为，所以是图象的对称轴， 又为图象的一个对称中心，所以是图象的一个对称中心，对； D：因为，所以，即为偶函数，对. 故选：BCD 34．【多选】（2025高二·云南曲靖·期末）已知定义在R上的函数，满足，，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C．在R上单调递增 D． 【答案】AB 【分析】对于A，由题可得，与相加可得 ，可判断A正确；对于B，由A分析可得，结合，可得，据此可判断周期；对于C，由题可得 ，，据此可判断C错误；对于D，由BC分析可判断选项正误. 【解析】对于A，由，得， 两式相加可得，因此的图象关于点对称，故A正确； 对于B，由A选项可知，又为偶函数，所以， 将替换为，可得， 与两式相减得， 所以，即是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，易知，又，故，得， 又，所以，， 故在R上不单调递增，故C错误； 对于D，由C分析可知， 结合BC知：. 则，故D错误． 故选：AB． 35．【多选】（2025高二·辽宁·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】BCD 【分析】根据对称性直接可得函数的对称轴，再根据定义法可判断函数的单调性，利用赋值法可判断函数的奇偶性，进而根据函数的性质分别判断各选项. 【解析】由，可知曲线关于直线对称，所以为偶函数， 由已知当时，， 令，可得，则， 令，可得，即函数为奇函数，即函数关于中心对称， A选项错误，B选项正确； 设，则，即， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 又的图象是一条连续不断的曲线，且， 所以在上单调递增，C选项正确； 由，，得， 则，所以， 所以是以为一个周期的周期函数， 所以，， 易知在上单调递减，且， 所以，D选项正确； 故选：BCD. 一、单选题 1．（2025高一·广东湛江月考）若函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性计算即可 【解析】由函数为上的奇函数， 所以 且当时，， 所以. 故选：B. 2．（2025高一·全国月考）若f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为（    ） A．±1 B．－1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】由题得即得a＝±1，再检验即得解. 【解析】因为f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax2＋(1－a2)x－a为偶函数， 所以， 所以 所以1－a2＝0.所以a＝±1. 当a＝1时，f(x)＝x2－1，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件； 当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1，在(0，＋∞)上单调递减，不满足. 所以a＝1. 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查二次函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．（2025高一·广东江门·期中）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶函数的定义判断即可； 【解析】解：对于A：定义域为，且， 所以为偶函数，故A错误； 对于B：定义域为，且， 所以为奇函数，故B正确； 对于C：定义域为，且， 所以为偶函数，故C错误； 对于D：定义域为，定义域不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，故D错误； 故选：B 4．（1990·全国）已知，且，则等于（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】可设，易知是上的奇函数，则，进而可求解；也可利用与列方程组求解. 【解析】方法一：令， 易知是上的奇函数，从而， 又，∴，∴， ∴， ∴． 方法二：由已知条件，得 ①+②得． 又，∴． 故选：A 5．（2025高一·北京西城·期末）设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性结合零点即可得解. 【解析】为上的奇函数， 且在上单调递增，， 得：或 解得. 故选：D 6．（2025高三·湖北荆州月考）定义在R上的偶函数，在上是增函数，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，函数为偶函数，所以，又因为在上是增函数，所以，即，故选B． 考点：1、函数的奇偶性及其应用；2、函数的单调性及其应用． 【易错点晴】本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性及其应用，属于基础题，解答本题的关键是利用函数的奇偶性，转化函数值，再利用函数的单调性进行比较大小关系，其中利用函数的奇偶性的转化思想是解题的一个易错点和难点． 7．（2025高三·全国月考）已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】C 【分析】先令，求出，再结合，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，可求得结果. 【解析】∵， ∴， 又，分别是定义在R上的偶函数和奇函数， ∴，， ∴， ∴． 故选：C 8．（2025高二·北京昌平·期末）函数的图象关于（　　） A．y轴对称 B．直线对称 C．直线对称 D．坐标原点对称 【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性，根据奇偶性判断函数的对称性. 【解析】函数的定义域为， 因为，所以函数是奇函数， 则的图象关于原点对称. 故选：D 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，奇函数图象的对称性，属于基础题. 9．（25-26高一·全国·单元测试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式及奇偶性定义判断函数的奇偶性和单调性即可得. 【解析】A：函数是奇函数，且在上单调递增，不符合； B、D：函数，是偶函数，不符合； C：函数是奇函数，且在上单调递减，符合. 故选：C 10．（2025高三·全国月考）某同学用摄影机记录了迁徙中的某种候鸟在某一时刻的飞行姿态如图所示，如果用函数的部分图象来描绘候鸟某一时刻翅膀的飞行姿态，则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和的值，利用排除法即可求解. 【解析】因为，则是偶函数，故AD错误； 因为，故C错误，B正确． 故选：B 11．（2025高三·全国月考）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的奇偶性排除C，D，又根据正负性排除A. 【解析】易知，故的定义域为，即定义域关于原点对称， 又，故是奇函数，排除C，D， 又当时，，排除A. 故选：B. 12．（2025·山东）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 13．（2025高一·广西玉林月考）若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性得，作差比较得，结合单调性得结果. 【解析】∵是偶函数，∴，而， ∴， ∵函数在上是减函数， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数奇偶性的判断，属于基础题. 14．（2025高一·四川绵阳·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的定义域与奇偶性，结合基本不等式以及排除法可得出合适的选项. 【解析】对任意的，，则函数的定义域为， 又因为，故函数为奇函数， 当时，， 当且仅当时，等号成立，排除ABC选项. 故选：D. 15．（25-26高一·全国·单元测试）定义在上的函数满足，但不恒等于，则下列说法正确的是（    ） A．可以是上单调递增的一次函数 B．可以是偶函数 C．可以是奇函数 D．存在非零实数，使得 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，代入化简求解即可判断A,根据偶函数的性质可求解B，举例子即可判断C，得矛盾即可求解D. 【解析】对于A，因为定义在上的函数满足，设， 所以， 所以，所以或，所以或，但不恒等于， 所以，不是上的增函数，故A错误， 对于B，因为，所以，所以不可以是偶函数，故B错误， 对于C，当时，满足，故是奇函数，故C正确， 对于D，若存在非零实数，使得，则， 故与为非零实数矛盾，故D错误， 故选：C 16．（2025高三·全国月考）若存在使函数在区间的值域为，则称函数为区间的“限定函数”，m为函数的“限定数”．已知定义在上的奇函数满足当时，，且为区间的“限定函数”，则“限定数”m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据奇函数的性质求出在时的表达式，再结合题干和函数的单调性列出等式，最后通过构造函数求解的取值范围即可. 【解析】由是上的奇函数得， 当时，，，故， ，在单调递减， 又存在使函数在的值域为，，， 即，， 令，则在有两个不相等的实数根a，b， 又对称轴为直线，故需满足， 故m的取值范围是． 故选：. 17．（2025高三·全国月考）已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据函数满足的等式，通过赋值，求出函数奇偶性，再根据对称中心和对称轴，确定函数周期，根据函数性质，求出一个周期内的各函数值，从而求出结果. 【解析】由题意知，令，，则； 令，则，因为不恒等于0，所以，为奇函数． 因为为偶函数，所以，用替换得， 再用替换得， 因为为奇函数，所以， 可得，则是周期为4的周期函数． 因为，所以，则． 由得，则， 得， 故． 故选：B. 二、多选题 18．（2025高一·山西朔州月考）已知是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（　　） A． B．的最大值为 C．在上是单调递增 D．的解集为 【答案】AB 【分析】根据函数的奇偶性求出，判断选项A；根据函数在时的解析式以及偶函数，得出函数的单调区间和最值，判断选项B和C；根据二次函数的图象和性质，判断选项D． 【解析】是定义在上的偶函数，，A正确； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为，又偶函数在对称区间上的单调性相反，最值相同，则函数在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误； ，为，D错误； 故选：AB 19．（2025高一·云南普洱月考）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可. 【解析】因为满足，所以是偶函数； 因为满足，所以是偶函数， 因为满足，所以是奇函数； 因为满足，所以是偶函数； 故选：ABD． 三、填空题 20．（2025高一·全国月考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+4）＝f（x），当1≤x≤2时f（x）＝x﹣2，则f（6.5）等于 . 【答案】﹣0.5/ 【分析】利用函数的周期性以及函数为偶函数即可求解. 【解析】∵f（x+4）＝f（x），即函数的周期为4， ∵f（x）是定义在R上的偶函数，则有f（﹣x）＝f（x）， ∴f（6.5）＝f（2.5）＝f（﹣1.5）＝f（1.5）＝﹣0.5， 故答案为：﹣0.5. 21．（2025高一·全国·假期作业）已知函数是奇函数，当时，，若，则m的值为 . 【答案】 【分析】由奇函数可得,则可得,解出即可 【解析】因为是奇函数,,所以,即,解得 故答案为： 【点睛】本题考查利用奇偶性求值,考查已知函数值求参数 22．（2025高一·全国月考）已知是奇函数，则 ； ． 【答案】 【分析】利用函数奇偶性得到，计算出，结合函数奇偶性得到的值. 【解析】因为函数是奇函数，所以， ，故． 故答案为：；. 23．（2004·上海）设偶函数的定义域为,若当时,的图象如图所示,则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据偶函数性质,将转化为,再根据图象,写出的范围,进而求出解集即可. 【解析】解:由题知为偶函数, , , 即, 由时,的图象可知, 若,即, 即到原点的距离大于2小于等于5的数, 故解得:. 故答案为: 24．（2025高一·福建莆田·期中）设是定义在上的函数，对任意的，恒有成立，函数满足，则是 （填：“奇函数”、“偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”），若在上单调递增，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 奇函数 【分析】根据奇函数的定义可判断为奇函数，根据的单调性结合的单调性可判断的单调性，从而可求实数的取值范围. 【解析】因为，故， 所以， 而的定义域为，故为奇函数. 因为在上单调递增，在上单调递减， 故在上为单调递增，结合其为奇函数， 故在上为单调递增 又等价于， 故，故，故， 故答案为：奇函数，. 【点睛】思路点睛：求解函数不等式，需结合函数的单调性去掉对应法则，注意可根据函数的奇偶性得到函数在整体范围上的单调性，另外注意根据已知不等式关系合理构造函数值的不等式关系. 25．（2025高一·江苏南通月考）已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，则函数在R上为减函数， 又函数是R上的奇函数，可得，从而列不等式组求解即可得答案. 【解析】解：因为函数对任意给定的实数，，恒成立，即， 所以函数在R上为减函数， 又函数是R上的奇函数，所以， 则不等式，可得或 即或，解得， 所以原不等式的解集为. 26．（2025高一·全国月考）已知函数是定义在上的奇函数，则常数的值分别为 ． 【答案】0，0 【分析】由求出，利用奇函数的定义即可求出的值. 【解析】由题意知，故． 由是奇函数知， 即， ∴，∴. 故答案为：0，0. 四、解答题 27．（2025高一·全国月考）定义在R上的奇函数在[0，＋∞)上的图像如图所示. （1）补全的图像； （2）解不等式. 【答案】（1）作图见解析；（2）(－2，0)∪(0，2). 【分析】（1）根据奇函数图象关于原点对称，即可得答案； （2）结合函数的图像，可得不等式的解集； 【解析】解：（1）描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)， 则可得f(x)的图像如图所示. （2）结合函数的图像，可知不等式的解集是(－2，0)∪(0，2). 【点睛】本题考查奇函数图象的特点及解不等式，考查数形结合思想，属于基础题. 28．（2025高一·天津南开·期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立. (1)求f（0）； (2)证明：函数y=f（x）是奇函数； (3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数. 【答案】(1)f（0）=0 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法求解； （2）利用函数奇偶性定义证明； （3）利用函数单调性定义证明. 【解析】（1）解：因为对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）， 所以令a=b=0，得f（0）=0. （2）由f（a+b）=f（a）+f（b）， 得f（x-x）=f（x）+f（-x）. 即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0， ∴f（-x）=-f（x）， 即函数y=f（x）是奇函数. （3）设x1>x2，则x1-x2>0，f（x1-x2）<0 而f（a+b）=f（a）+f（b）， ∴f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）<f（x2）， ∴函数y=f（x）是R上的减函数. 29．（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）已知函数是的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性； （3）求函数在上的最大值与最小值． 【答案】（1）（2）函数在上单调递增．（3）最大值1，最小值． 【分析】（1）由偶函数的定义即可求解． （2）由函数的单调性定义即可证明． （3）由函数是偶函数，确定函数在上的单调性即可求出最值． 【解析】（1）若函数是上的偶函数， 则，即 解得． （2）函数在上单调递增．理由如下： 由（1），知． 设任意的，，且， 则， 因为，所以，，， 所以， 所以函数在上单调递增． （3）由（2），知函数在上单调递增． 又是上的偶函数， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的运用以及单调性证明；在证明单调性时步骤：“作差、变形、定号”，属于基础题． 30．（2025高一·上海·假期作业）已知函数对一切都有，求证：是奇函数，若，试用表示. 【答案】证明见解析，. 【分析】先根据题中条件，由赋值法得到，结合函数奇偶性的概念，即可证明结论成立；再令，得到，推出，即可求出结果. 【解析】在中，令得， 又令得， 所以，因此； 即，故是奇函数； 若，则， 在中，令，可得， 因此. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$