专题03 导数构造法大全培优归类（16题型）（题型清单）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

专题03 导数构造法大全培优归类 题型1 比大小: 构造对数幂型函数 .构造对数幂型： 比较常见的对数幂型函数图像 1．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三安徽蚌埠·模拟）已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高san ·河南·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三 ·重庆·阶段练习）若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型2 比大小:构造指数幂型函数 构造指数幂型： 比较常见的指数幂型函数图像 1．（24-25高三·山东聊城·阶段练习）已知实数分别满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三河南郑州·模拟）已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三安徽·阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型3 比大小: 同构 把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法．同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题． 利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究． 常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝. 其中①④可以借助＝＝，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t进行指对互化． 1．（2022·全国·模拟预测）已知函数（e是自然对数的底数），若对任意的恒成立，则实数a的最小值为（    ） A．e B． C． D． 2．（21-22高三上·浙江绍兴·期末）已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，，则（    ） A．既有最小值，也有最大值 B．有最小值，没有最大值 C．有最大值，没有最小值 D．既没有最小值，也没有最大值 3．（24-25高三上·江苏·期末）已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）若实数是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．e D． 题型4 比大小 :构造指数函数+线性型 常见的指数线性函数： 1．（21-22高三上·四川乐山·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·河南省直辖县级单位·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·重庆·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·甘肃定西·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型5 比大小 :构造对数函数+线性型 常见的对数线性函数： 1．（21-22高三上·甘肃白银·开学考试）设．，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·青海海东·三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型6 比大小 :构造三角函数型 三角函数常见的放缩不等式： （1）的放缩：当时，；当时，. （2）的放缩：当时，. 1．（22-23高三·湖南·模拟）若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三·广西桂林·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型7 导数构造：幂积型 幂积型构造： 若已知分析问题； 1．（24-25高三·重庆·阶段练习）已知为定义在上的奇函数，，且当时，有，则使成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三·四川凉山·模拟）已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三福建福州·阶段练习）定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（    ） A． B．在取得极小值，极小值为 C．只有一个零点 D．若在上恒成立，则 题型8 导数构造：幂商型 幂商型构造： 1．（2024·四川德阳·模拟预测）设定义域为的函数的导函数为.已知，，若在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三·湖北·模拟）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三·福建三明·模拟）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 题型9 导数构造：指数积型 指数积型： 1．（23-24高三·安徽亳州·模拟）已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三四川达州模拟）定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三福建·模拟）设在上存在导数，满足，且有的解集为（   ）． A． B． C． D． 4．（23-24高三广东佛山模拟）已知函数的定义域为，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型10 导数构造：指数商型 指数商型： 1．（23-24高三·山东·阶段练习）若定义在R上的函数满足，则当时，与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（24-25高三·河北邢台·阶段练习）已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三广西钦州·模拟）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 4．（2018·甘肃兰州·二模）已知是定义在上的可导函数，若在上有恒成立，且（为自然对数的底数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型11 导数构造：正弦函数型 正弦函数型： 1．（23-24高三·重庆·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三·内蒙古模拟）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三·重庆·模拟）设是函数的导函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023高三·全国·专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型12 导数构造：余弦函数型 余弦函数型： ， 1．（2023·江西·模拟预测）定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·模拟预测）已知函数满足，且在处取极值，则下列说法中正确的是（    ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．在处取极小值 D．的最大值为 3．（22-23高三·重庆沙坪坝·模拟）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·河南商丘·阶段练习）已知函数，是其导函数，，恒成立，则（    ） A． B． C． D． 题型13 导数构造：对数型构造 对数型构造： 1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数的导函数为，当时，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．在上单调递减 D．当时， 3．（2022·广东梅州·二模）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高三上·江苏无锡·阶段练习）已知是定的奇函数，是的导函数，，且满足：，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型14 导数构造：指数型线性 指数型线性构造： 1．（21-22高三上·河南三门峡·阶段练习）若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·黑龙江·期中）已知是函数的导函数，，若对任意，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高三上·全国·期中）已知是定义在R上的函数，是的导函数，满足：，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）函数的定义域是R，，对任意，+<1，则不等式的解集为（　　） A． B． C．或 D．或 题型15 导数构造：对数型线性 对数型线性构造： y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果逆向思维 1．（20-21高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数（）的导函数是，且满足，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二下·湖南·阶段练习）若定义在上的函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·二模）定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高三·重庆沙坪坝·阶段练习）设函数满足，且在上单调递增，则的范围是（为自然对数的底数）（    ） A． B． C． D． 题型16 导数构造：多重型 构造函数多重型： 二次构造： 1．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三·上海奉贤·模拟）已知，且是常数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·河南·阶段练习）设是定义在R上的连续的函数的导函数，（e为自然对数的底数），且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三·重庆·模拟）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是 ． 结束 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 导数构造法大全培优归类 题型1 比大小: 构造对数幂型函数 .构造对数幂型： 比较常见的对数幂型函数图像 1．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，构造函数， 因为，由，得到， 由，得到，所以在区间上单调递减， 因为，，， 因为，所以，故选项A，C，D错误，选项B正确， 故选：B. 2．（24-25高三安徽蚌埠·模拟）已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，可得的大小. 【详解】， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：B. 3．（24-25高san ·河南·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，求导得函数单调性，进一步即可比较大小. 【详解】因为，，， 构造函数，求导得， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以. 故选：A. 4．（24-25高三 ·重庆·阶段练习）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，借助导数研究在上的单调性，利用单调性得到，，将变形，利用函数在上单调性得到，即可得解. 【详解】因为，所以令，. 令，解得. 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 因为，所以，即； 因为，所以，即. 而和，则 综上可知，. 故选：D 题型2 比大小:构造指数幂型函数 构造指数幂型： 比较常见的指数幂型函数图像 1．（24-25高三·山东聊城·阶段练习）已知实数分别满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，观察可发现这与形式相同，且易知，.构造，求导可得在上单调递增.从而可推出，代入即可得到结果. 【详解】由可得，，则， 即，又， 所以，且，. 令，则，当时，恒成立， 所以，在上单调递增. 又，，，所以. 所以，. 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意通过构造函数来比较大小，再利用即可求解. 【详解】由题知，，故构造函数， 则，当时，，所以在单调递增， 而，所以，所以， 设，，当时，， 所以在单调递增，则时，， 则，综上可知. 故选：A. 3．（24-25高三河南郑州·模拟）已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件变形可得，，，构造函数，，求导判断单调性，利用单调性求解判断. 【详解】由，可得，， 同理，可得，，，， 令，，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， ，又，则， ，则，，则， 即，且，，， 由在上单调递增，所以. 故选：D. 4．（24-25高三安徽·阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦函数的单调性可得，构造函数，由函数单调性可得，即可得出大小关系. 【详解】因为余弦函数在上单调递减，且， 所以； 因为，， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以. 故选：D． 题型3 比大小: 同构 把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法．同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题． 利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究． 常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝. 其中①④可以借助＝＝，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t进行指对互化． 1．（2022·全国·模拟预测）已知函数（e是自然对数的底数），若对任意的恒成立，则实数a的最小值为（    ） A．e B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的形式，构造新函数，利用导数的性质，结合新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由，得，所以，所以，当时，显然.令，，则由得，，因为，所以， 在上单调递增，所以，则，即.设，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则，，所以实数a的最小值为， 故选：B. 【点睛】关键点睛：根据两次构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性进行求解是解题的关键. 2．（21-22高三上·浙江绍兴·期末）已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，，则（    ） A．既有最小值，也有最大值 B．有最小值，没有最大值 C．有最大值，没有最小值 D．既没有最小值，也没有最大值 【答案】B 【分析】对不等式进行变形，构造新函数，结合单调性与同构得到，从而利用导函数研究，求出最大值，从而求出，得到答案. 【详解】变形为：， 即， 令（）则上式可化为：， 其中，所以（）单调递增， 故，即，令， 则，当时，，当时，， 所以在处取得极大值，也是最大值， 故，所以，解得：， 综上：有最小值，无最大值. 故选：B 【点睛】研究函数单调性，利用同构知识，求出参数的取值范围问题，通常适用于等式或不等式中同时存在指数与对数式，要结合不等式特点，进行适当变形. 3．（24-25高三上·江苏·期末）已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先条件等式变形为，再通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据不等式，比较大小. 【详解】由可知，， 设，，，所以在单调递增， 因为，，所以. 故选：D 4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）若实数是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．e D． 【答案】A 【分析】根据指对运算讲方程化简为，构造函数，可得，求导确定单调性即可得所求. 【详解】由题可得， 所以， 设函数，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 由得，即，故. 故选：A. 题型4 比大小 :构造指数函数+线性型 常见的指数线性函数： 1．（21-22高三上·四川乐山·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系. 【详解】令，则， 在上单调递增，，即，， ，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， （当且仅当时取等号），， 即（当且仅当时取等号），，即； 综上所述：. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数的大小关系. 2．（2022·河南省直辖县级单位·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记，记，利用导数即可得到结论. 【详解】记函数，可得. 令，解得； ，解得， 所以在单减，在单增， 所以，即， 当时，有，即. 记，可得. 令，解得； ，解得， 所以在单增，在单减， 所以，即，所以， 当时，有，即. 所以， 所以. 故选：B. 3．（2023·重庆·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合式子特点合理构造函数，结合导数与单调性的关系分别证出，，然后进行赋值即可比较函数值的大小. 【详解】令，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故，所以，当时取等号. 所以， 令，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故，所以，当时取等号. 所以，即. 故选：C. 4．（2023·甘肃定西·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，得到，，构造函数和，利用导数求得函数的单调性，结合单调性，即可求解. 【详解】由题意得， 可得， 设，可得，所以单调递减， 则，即，所以； 又由， 设函数，可得， 当时，，单调递增， 所以，即，所以， 所以. 故选：C. 题型5 比大小 :构造对数函数+线性型 常见的对数线性函数： 1．（21-22高三上·甘肃白银·开学考试）设．，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，即得，根据，判断的大小，再对变形，即可比较的大小，并判断选项. 【详解】设函数, 令 令，得；令，得． 则，当且仅当时，等号成立，所以， 即，即，即， 因为，即， 所以． 故选：A 3．（2025高三·全国·专题练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出，并适当变形，观察式子，构造函数,，利用导数即可证明，，可比较大小. 【详解】由得， 由得，又． 取，则，，． 设，则， 所以在单调递增，又，则， 即，所以． 令，则，所以在单调递增， 则，故，则，即，所以． 故选：A. 3．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，则有、、，结合导数计算可得其单调性，即可得解. 【详解】令，则， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 又、、， 由，故. 故选：C. 4．（2025·青海海东·三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数确定单调性，进而比较大小. 【详解】令函数，求导得， 函数在上单调递增，， 因此，而， 因此，又函数在R上单调递增， 所以. 故选：A 题型6 比大小 :构造三角函数型 三角函数常见的放缩不等式： （1）的放缩：当时，；当时，. （2）的放缩：当时，. 1．（22-23高三·湖南·模拟）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，可得，求得函数在单调递增，得到，再构造函数，得到，求得，单调递增，得到，即可求解. 【详解】构造函数，，可得，， 令，，则， 因为当时，，均单调递减， 所以单调递减， 所以， 因为，所以， 所以单调递增， 又，从而在单调递增，所以， 所以，从而得到， 又因为， 构造函数，，所以，， 令，则， 因为当时，，均单调递增， 所以单调递增， 所以， 所以在单调递减，所以， 所以，单调递增，从而， 所以，所以， 综上可得：. 故选：B. 2．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性进而比较大小. 【详解】令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，因此； 令函数，求导得， 令，求导得 由，得， 则，即，函数在上单调递增， ，，函数在上单调递增，， 因此，所以. 故选：B 3．（24-25高二下·辽宁·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可比较大小. 【详解】设，则， 在上单调递增，则， ，即，； 设，则， 在上单调递增，则，即， ， 又，． 故选：C． 4．（24-25高三·广西桂林·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数、正弦函数的性质有，构造，并应用导数研究其单调性确定的大小即可得. 【详解】由题知，，，， 令，，则， 所以在区间上单调递减，所以， 所以，即， 综上，． 故选：C 题型7 导数构造：幂积型 幂积型构造： 若已知分析问题； 1．（24-25高三·重庆·阶段练习）已知为定义在上的奇函数，，且当时，有，则使成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，可得当时，进而可得在上为增函数，进而可得当时，，当时，，再由函数为奇函数可得. 【详解】令， 当时，， 所以，函数在上为增函数，且， 故当时，，得， 当时，，得， 又为定义在上的奇函数， 故由可解得或， 故选：B 2．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】令，则， 由题意知当时，，故在上单调递增， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 所以， 所以是定义域为的偶函数， 所以在上单调递减， 又因为，所以， 所以， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 则不等式的解集为. 故选：D. 3．（23-24高三·四川凉山·模拟）已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，原不等式可转化为，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 故在上单调递减， 不等式可变形为 ， 即， 所以且，解得. 故选：A 4．（23-24高三福建福州·阶段练习）定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（    ） A． B．在取得极小值，极小值为 C．只有一个零点 D．若在上恒成立，则 【答案】B 【分析】首先构造函数的导数，并求函数的解析式，得，再利用导数判断函数的单调性，即可判断AB；由函数的性质，确定函数的图象，即可判断C；利用参变分离，将不等式恒成立，转化为，利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的最大值. 【详解】∵且，可得， 则有，故（c为常数）， 又，则，得，故，， ， 当，即，解得：，，此时单调递增， 当，即，解得，， 当，即解得：，，此时单调递减， 对于A，由于，单调递增，，单调递减， ∵，可得， ∵，，∵. 故，故A正确： ∴，取得极大值，，故B错误； 对于C，当，，，，，， 画出草图，如图： 根据图象可知：只有一个零点，故C正确； 对D，要在上恒成立 即：在上恒成立， ∵，可在上恒成立， 只需，令，， 当，；单调递增， 当时，；单调递减， ，； 则，即，故D正确； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件构造函数的导数，即可求解函数的解析式. 题型8 导数构造：幂商型 幂商型构造： 1．（2024·四川德阳·模拟预测）设定义域为的函数的导函数为.已知，，若在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导函数的奇偶性分析原函数的奇偶性，再构造函数，根据题意分析单调性，结合不等式有意义，分类讨论，并结合同构特点利用单调性解不等式可得. 【详解】令，由，令，则. 则，故， 由，令，则，故， 故，可知为偶函数； 令，则， 当时，由，则，即在上严格递增， 又， 则当时，，故； 则当时，，则； 则由偶函数对称性可知，当时，. 由，则. 不等式可化为，其中且. 当时，，则， 故不等式无解； 当时，，可得，即， 由在上严格递增，可知，解得， 所以； 综上所述，不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据题意中导函数满足的不等关系及所求解不等式，构造函数，利用新函数的单调性求解抽象不等式. 2．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，结合题意利用导数计算可得该函数单调性，即可将不等式转化为，从而得到，即可得解. 【详解】令，则， 则当时，，即在上单调递减， 由，则，又， 即不等式等价于， 即，即有，解得. 故选：D. 3．（24-25高三·湖北·模拟）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，判定其单调性计算即可. 【详解】根据题意可令， 所以在上单调递增，则原不等式等价于， 由，解之得． 故选：B． 4．（24-25高三·福建三明·模拟）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题可设，，由其导数可知在上为增函数，又由可得则，分析可得的符号，进而分析在上的符号规律，结合函数的奇偶性即可解出. 【详解】设，，则其导数， 而当时，所以，即在上为减函数， 又由，为定义在上的奇函数，则， 则， 所以区间上，，在区间上，， 则在区间上，，在区间上，， 又由是定义在上的奇函数，则， 且在区间上，，在区间上，， 综合可得：不等式的解集为． 故选：B. 题型9 导数构造：指数积型 指数积型： 1．（23-24高三·安徽亳州·模拟）已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，构造函数，判断的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调性得到一元二次不等式，解之即得. 【详解】设，则，故单调递增. 又，故可转化为，即， 由单调递增可得，解得或， 即不等式的解集为. 故选：. 2．（24-25高三四川达州模拟）定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，利用导数得在上单调递减，把转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】，， 构造， 所以， 所以在上单调递减，且， 不等式可化为，即，所以， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 3．（23-24高三福建·模拟）设在上存在导数，满足，且有的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目中已知和，以及不等式结构特征可构造函数，再由函数的特殊值和单调性性质即可求解. 【详解】令， 则， 所以函数在上单调递增，又由题， 所以，即，即的解集为， 故选：D. 4．（23-24高三广东佛山模拟）已知函数的定义域为，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式和的结构特征构造函数，研究其单调性即可求解. 【详解】令， 因为即， 则， 所以在上单调递增， 故若，即，即， 由定义域及单调性可得，， 所以不等式的解集为. 故选：A. 题型10 导数构造：指数商型 指数商型： 1．（23-24高三·山东·阶段练习）若定义在R上的函数满足，则当时，与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】构造函数，求导并结合已知条件判断，函数在R上单调递增，可得，得解. 【详解】令，则， 因为，所以，即函数在R上单调递增， 又，，即，即. 故选：B. 2．（24-25高三·河北邢台·阶段练习）已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解. 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：B. 3．（23-24高三广西钦州·模拟）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性，将不等式变形为，结合函数的单调性可解出该不等式. 【详解】构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 由，可得，即，解得， 因此， 不等式的解集为，故选C. 【点睛】本题考查利用导数求解函数不等式，解决这类不等式的基本步骤如下： （1）根据导数不等式的结构构造新函数； （2）利用导数研究函数的单调性，必要时要考查该函数的奇偶性； （3）将不等式转化为的形式，结合函数的单调性进行求解. 4．（2018·甘肃兰州·二模）已知是定义在上的可导函数，若在上有恒成立，且（为自然对数的底数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意构造函数，利用导数判断出在上为减函数，即可得到，判断选项A、B；∵判断选项C、D. 【详解】设，则. ∵在上有恒成立 ∴在上恒成立，即在上为减函数. ∴ ∵ ∴，故A、B不正确. ∵ ∴ 故选：C. 【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等. 题型11 导数构造：正弦函数型 正弦函数型： 1．（23-24高三·重庆·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可构造函数，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断的正负情况，结合，即可求得答案. 【详解】令，则， 由于当时，，故此时， 则在上单调递减， 由于函数是定义在上的奇函数， 则，即为上的偶函数， 则在上单调递增， 而，故， 故当或时，，当或时，， 由可得或，解得或， 故不等式的解集为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，并得出其单调性、奇偶性，由此即可顺利得解. 2．（23-24高三·内蒙古模拟）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再求解不等式. 【详解】设，， 所以函数单调递增， ， 即，得，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D 3．（22-23高三·重庆·模拟）设是函数的导函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用三角函数公式化简已知，再构造函数，利用函数单调性依次判断选项. 【详解】， 设在单调递增， ，所以A错误； ， 所以，所以B正确； ，所以C错误； ， ，所以D错误. 故选：B 4．（2023高三·全国·专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件构造函数，再利用导数的正负与函数单调性的关系及偶函数的定义，结合函数的单调性及一元一次不等式的解法即可求解. 【详解】令， 则， 所以在上单调递减. 又因为偶函数，所以， 所以. 又， 所以不等式等价于， 根据函数的单调性可知，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 题型12 导数构造：余弦函数型 余弦函数型： ， 1．（2023·江西·模拟预测）定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，对求导，可知当时，单调递增，由可得，即，然后根据函数的性质可得不等式，解不等式即可得出答案. 【详解】因为，化简得， 构造函数， 即当时，单调递增， 所以由， 则， 即.因为为偶函数且在上单调递增， 所以，解得. 故选：C. 2．（2023·全国·模拟预测）已知函数满足，且在处取极值，则下列说法中正确的是（    ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．在处取极小值 D．的最大值为 【答案】C 【分析】 根据已知等式有意义可构造不等式求得函数定义域，知A错误；由已知等式变形可得，由此得到，根据可求得的值，进而确定，根据偶函数定义知B错误；根据的正负可确定单调性，由极小值定义可知C正确；利用换元法，结合二次函数的最值可求得D错误. 【详解】 对于A，有意义，， 且，， 的定义域为，A错误； 对于B，， ，， ，， 在处取极值，，解得：， ， ，不是偶函数，B错误； 对于C，由B知：， 令，解得：或， 则当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，C正确； 对于D，令，则， ，， 即，D错误. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题考查采用构造函数的方式来求解函数的相关性质的问题，解题关键是能够通过对已知等式的变形，将其转化为的导函数的形式，进而结合极值定义推导得到函数解析式. 3．（22-23高三·重庆沙坪坝·模拟）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据已知条件，利用导数得到为增函数，由可推出A正确；由可推出B不正确；由可推出C不正确；由可推出D不正确. 【详解】因为对于任意的有．又，， 所以， 设，，则， 因为当时，，所以， 所以在上为增函数， 因为，所以，所以，所以，所以，故A正确； 因为，所以，所以，所以，所以，故B不正确； 因为，所以，所以，所以，所以，故C不正确； 因为，所以，所以，所以，所以，故D不正确； 故选：A 4．（22-23高三上·河南商丘·阶段练习）已知函数，是其导函数，，恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件构造函数，结合导数研究函数的单调性，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 所以，即， 所以，故A错误； 因为，所以， 又， 所以，故B错误； 因为，所以，， 即，， 因为， 所以，，故C错误，D正确． 故选：D 【点睛】求解含有函数及其导函数一起的不等式，可转化已知不等式，然后利用构造函数法，结合导数来研究所构造函数的单调性，从而解决问题. 题型13 导数构造：对数型构造 对数型构造： 1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，则由题意可知，设，，则有，不等式等价于，利用单调性求解即可. 【详解】设，，不等式恒成立，可知， 设，，则，， 且， 于是在上单调递增，注意到， 不等式，等价于， 即，得，解出. 故选：A． 【点睛】方法点睛：证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数的导函数为，当时，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．在上单调递减 D．当时， 【答案】D 【分析】A选项，令得；D选项，构造函数，得到的单调性，然后利用单调性和的性质即可得到结论；BC选项，根据的正负判断. 【详解】在中令得，故A错； 令，则， 因为当时，， 所以，在上单调递增， 因为，所以当时，，时，， 因为在时，，时，， 所以时，，故D正确； ，则，，故的正负不确定，故B错； 当时，，，故在的单调性不确定，故C错. 故选：D. 【点睛】方法点睛：构造函数的常见类型： ①乘积形式：例如，； ②商的形式：例如，. 3．（2022·广东梅州·二模）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，根据题意可得函数在上递增，从而可得出函数在上的符号分布，从而可得函数在上的符号分布，再结合是定义在上的奇函数，即可得出函数在上的符号分布，从而可得出答案. 【详解】令， 则， 所以函数在上递增， 又因， 所以当时，， 当时，， 又因当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 又因为，所以当时，， 因为是定义在上的奇函数， 所以，当时，， 由不等式， 得或， 解得， 所以不等式的解集是. 故选：B. 4．（21-22高三上·江苏无锡·阶段练习）已知是定的奇函数，是的导函数，，且满足：，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令对函数求导可得到函数单调递减，再结合，和的奇偶性，通过分析得到当，，，，故不等式等价于或，求解即可. 【详解】令，则， 故函数单调递减，定义域为， （1）， 时，；时，． 时，；时，． 当，时，，又（1）． 当，，又为奇函数， 当，． 不等式等价于或 解得或者 故答案为：D. 题型14 导数构造：指数型线性 指数型线性构造： 1．（21-22高三上·河南三门峡·阶段练习）若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，由此求得不等式的解集. 【详解】令，则 ，所以在上单调递增， 又因为，由，得，两边同时乘以，得，得，即，解得，即不等式的解集是. 故选：C 2．（21-22高二下·黑龙江·期中）已知是函数的导函数，，若对任意，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到不等式的解集； 【详解】解：令，则， ， ， ，即在上单调递减， 又，， 当时，即，即， 的解集为． 故选：A． 3．（21-22高三上·全国·期中）已知是定义在R上的函数，是的导函数，满足：，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数求得的单调性，由此求得不等式的解集. 【详解】令，则， 所以在R上单调递增，不等式可化为， 而，则，即， 所以，即不等式解集为. 故选：D 4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）函数的定义域是R，，对任意，+<1，则不等式的解集为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】构造函数，结合条件，求得函数的导数在定义域上恒小于零，即为减函数，从而将不等式转换为，根据单调性求得不等式的解集. 【详解】构造函数，因为，所以为R上的减函数． 又因为， 所以原不等式转化为，即，解得. 故选：B 【点睛】本题主要考查构造函数法解不等式，考查运用函数的导数来求得函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法. 题型15 导数构造：对数型线性 对数型线性构造： y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果逆向思维 1．（20-21高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数（）的导函数是，且满足，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由给定条件构造，求可得单调性，并根据判断和的解，从而求得时以及的解集；根据条件可知关于点中心对称，从而求出函数以及在上的解集，进而求出的解集. 【详解】解：，则关于点中心对称， 当时，令，则，所以在上单调递增，又，则当时，，且，所以，当时，且，所以. 因为关于点中心对称，所以当时，， 若，当时，，则，当时，，则.所以的解为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：（1）由给定条件可构造，从而利用导数可求出的单调性； （2）由可知关于点中心对称，由（1）的结论可求出以及的解集； （3）由多项式的乘积可求出的解. 2．（20-21高二下·湖南·阶段练习）若定义在上的函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数证明在上单调递增，不等式，等价于，利用单调性解不等式得解. 【详解】由题意知. 令，则， 所以在上单调递增，且. 不等式， 等价于， 故. 故选：B 3．（2023·全国·二模）定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造新函数，利用导数说明其单调性，将变形为，利用函数的单调性即可求解. 【详解】令 ， 则，由于, 故,故在单调递增， 而 ， 由，得 ， ∴ ，即 , ∴不等式的解集为, 故选：D． 4．（23-24高三·重庆沙坪坝·阶段练习）设函数满足，且在上单调递增，则的范围是（为自然对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性求出，根据函数的单调性得到在上恒成立，即可求出的范围. 【详解】令，由，得， 所以，，令. 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，故. 因为函数在上单调递增，故在上恒成立， 即，得. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题． 题型16 导数构造：多重型 构造函数多重型： 二次构造： 1．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可. 【详解】由，可得， 即，令， 则. 令，， 所以在上是单调递减函数. 不等式， 等价于， 即，， 所求不等式即， 由于在上是单调递减函数， 所以，解得， 且，即， 故不等式的解集为. 故选：D 【点睛】本题考查了利用构造新函数的单调性求解不等式，考查了利用导数判断函数单调性的方法，考查了分析问题的逻辑思维能力，属于困难题. 2．（23-24高三·上海奉贤·模拟）已知，且是常数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据已知条件可知，根据函数的单调性与奇偶性即可求出结果. 【详解】令，所以，当时，，所以，所以在上单调递增， 又因为，所以为奇函数， ，即等价于，所以，所以， 故选： 3．（22-23高三上·河南·阶段练习）设是定义在R上的连续的函数的导函数，（e为自然对数的底数），且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，然后利用函数单调性即得. 【详解】设，则， ∵， ∴，函数在R上单调递增， 又， ∴, 由，可得， 即，又函数在R上单调递增， 所以，即不等式的解集为. 故选：C． 4．（24-25高三·重庆·模拟）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据题意可构造函数，求得的单调性，再利用函数对称性解不等式即可求得结果． 【详解】构造函数，则； 因为， 所以当时，，即，此时在上单调递增； 当时，，即，此时在上单调递减； 又，所以，即； 所以函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上， 即函数图像关于直线对称， 不等式变形为，即； 可得， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 则不等式的解集为， 故答案为：． 结束 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$