第10章 微突破16 以概率统计为载体的创新题-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

微突破十六 以概率统计为载体的创新题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 增|分|训|练 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 证明 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 以概率统计为背景的创新题通常给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求学生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，实现信息的迁移，使得问题得以解决． 【例1】　质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5,5和7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则P(B|A)＝(　　) A． 　　B． 　　C． 　　D． 不超过32的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31共11个，孪生素数有3和5,5和7,11和13,17和19,29和31，共5种情况，所以n(A)＝C＝55，n(AB)＝C－5＝50，所以P(B|A)＝＝＝.故选A. [规律方法]　概率创新题的解题关键点是对新定义的理解，只有理解了定义，才可解决相应的问题. 【例2】　将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数填入如图所示的3×3的九宫格中，每个格子中只填入1个数，已知4个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的3个数字之积都能被3整除的概率为(　　) A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． 依题意，5个奇数填入白色格子的试验的样本点总数为A，中间行必有一格填奇数3,9之一，另一个填入不含6的那一行，有2A种方法，再排奇数1,5,7，有A种方法，因此每一行的3个数字之积都能被3整除的事件含有的样本点数为2AA，所以每一行的3个数字之积都能被3整除的概率p＝＝＝.故选B. [规律方法]　利用排列组合知识求概率是解决概率问题的一种常用方法，涉及对事件的不同情况进行分析，结合古典概型公式计算这些情况发生的可能性. 【例3】　甲、乙两人对局比赛，甲赢得每局比赛的概率为p(0<p<1)，每局比赛没有平局． (1)若赛制为3局2胜，p＝，求最终甲获胜的概率； 设前两局比赛甲赢为事件A，则P(A)＝2＝；设前两局比赛甲赢一局且最后甲胜为事件B，则P(B)＝C×××＝，所以最终甲获胜的概率为P(A)＋P(B)＝. (2)若赛制为5局3胜，记f(p)为“恰好进行4局比赛且甲获得最终胜利”的概率，求f(p)的最大值及此时p的值． 恰好进行4局比赛且甲最后胜，则前三局比赛甲赢两局，第四局甲赢，可得f(p)＝Cp2(1－p)p＝3p3－3p4,0<p<1，则f′(p)＝9p2－12p3＝3p2(3－4p)，令f′(p)＝0，解得p＝，当p∈时，f′(p)>0，可知f(p)在上为增函数；当p∈时，f′(p)<0，可知f(p)在上为减函数，所以f(p)的最大值为f＝，此时p＝. [规律方法]　本题是以概率为背景的创新题，利用函数常见性质(如单调性等)解决问题. 【例4】　(2025·湖北联考)某游泳馆为了给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务(顾客可选择A和B两个套餐之一)，并在APP平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在APP平台10天销售优惠券情况. 第t天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量 y/千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：＝i＝2.2，iyi＝118.73，＝385. (1)因为优惠券购买火爆，APP平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和t呈线性关系，现剔除第10天的数据，求y关于t的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)； 剔除第10天的数据，可得新＝＝2.4，新＝＝5，则iyi＝118.73－10×0.4＝114.73，＝ 385－102＝285，所以＝＝＝，可得＝2.4－×5＝，所以＝t＋. (2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，且顾客选择套餐后才能够买套餐可用数量的优惠券．记APP平台累计销售优惠券为n张的概率为Pn，求Pn； 由题意知P1＝，P2＝×＋＝，当n≥3时，Pn＝Pn－1＋Pn－2，所以Pn＋Pn－1＝Pn－1＋Pn－2(n≥3)，又P2＋P1＝＋×＝1，所以当 n≥2时，是各项都为1的常数列，即Pn＋Pn－1＝1(n≥2)，所以Pn－＝－(n≥2)．又P1－＝－＝－，所以数列是首项为－，公比为－的等比数列，故Pn－＝－n－1，所以Pn＝－n－1＋＝＋n. (3)记(2)中概率Pn的值构成数列{Pn}(n∈N*)．求Pn的最值． 参考公式：经验回归方程＝x＋中，＝＝，＝－. 当n为偶数时，Pn＝＋·n>，Pn随n的增大而减小，最大值为P2＝.当n为奇数时，Pn＝－·n<，Pn随n的增大而增大，最小值为P1＝.综上可得，数列{Pn}的最大值为，最小值为. [规律方法]　解决此类问题的关键点 (1)结合已知条件，能分析出递推关系． (2)由递推关系式求通项公式． (3)构造等比数列求通项. 1．通过手机验证码登录一款APP，验证码由四位数字随机组成，若收到的验证码(a1，a2，a3，a4)(注：ai＝0,1,2，…，9，i＝1,2,3,4)满足a1>a2>a3>a4，则称该验证码为“递减型验证码”，某人收到一个验证码，那么是首位为6 的“递减型验证码”的概率为________． 因为a1＝6,6>a2>a3>a4，所以a2，a3，a4从5,4,3,2,1,0中选出3个数，让其按照从大到小的顺序排有C＝20(种)方法，又验证码共有10×10×10×10＝10 000种，所以首位为6的“递减型验证码”的概率为＝. 2．(2025·河南模拟)现有一种不断分裂的X细胞，每个时间周期T内分裂一次，一个X细胞每次分裂能生成一个或两个新的X细胞，每次分裂后原X细胞消失．设每次分裂成一个新X细胞的概率为p，分裂成两个新X细胞的概率为1－p；新细胞在下一个周期T内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的X细胞，在第一个周期T中开始分裂，其中p∈. (1)设2T结束后，X细胞的数量为ξ，求ξ的分布列和数学期望； 2T结束后，ξ的取值可能为1,2,3,4，其中P(ξ＝1)＝p2，P(ξ＝2)＝p(1－p)＋(1－p)p2＝p－p3，P(ξ＝3)＝(1－p)×C×p×(1－p)＝2p(1－p)2，P(ξ＝4)＝(1－p)3，所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P p2 p－p3 2p(1－p)2 (1－p)3 E(ξ)＝1×p2＋2×(p－p3)＋3×[2p(1－p)2]＋4×(1－p)3＝p2－4p＋4. (2)设nT(n∈N*)结束后，X细胞数量为m的概率为Pm(n)． ①求P2(n)； P2(n)表示分裂nT结束后共有2个X细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个X细胞．不妨设在第kT时分裂为2个X细胞，之后一直有2个X细胞，此事件概率P2，k＝pk－1×(1－p)×(p2)n－k＝(1－p)×p2n－1－k，所以P2(n)＝P2,1＋P2,2＋P2,3＋…＋P2，n＝ (1－p)·p2n－1－k＝(1－p)p2np－1－k＝pn－1·(1－pn)． ②证明：P3(n)<. P3(n)代表分裂nT后有3个X细胞的概率，设X细胞在kT后分裂为2个新的X细胞，这2个X细胞在剩下的(n－k)T中，其中一个分裂为2个X细胞，一个保持一直分裂为1个X细胞，此事件的概率P3，k＝pk－1·(1－p)·Cpn－k·P2(n－k)＝pk－1·(1－p)·2·pn－k·pn－k－1·(1－pn－k)，得P3，k＝2p2n－2·(1－p)·p－k－2p3n－2·(1－p)·p－2k，P3(n)＝P3,1＋P3,2＋…＋P3，n＝2p2n－2·(1－p)·p－k－2p3n－2·(1－p)·p－2k＝＝ ，其中p∈，pn∈(0,1)．令x＝pn，P3(n)＝<＝，记f(x)＝x(1－x)2，f′(x)＝(1－x)(1－3x)，令f′(x)＝0，得x＝.当x∈，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈，f′(x)<0，f(x)单调递减．故(f(x))max＝f＝，所以P3(n)<×＝. $$