第10章 微突破15 概率与函数、数列-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

微突破十五 概率与函数、数列 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 目标一 概率与函数 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 目标二 概率与数列 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十九） 本部分内容讲解结束 在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式、数列的有关性质去实现． 【例1】　为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产． (1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望； 根据题意可知X的取值可能为2,3,4， 则P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝×＋＝，P(X＝4)＝＝，则X的分布列为 X 2 3 4 P 所以E(X)＝2×＋3×＋4×＝. (2)设每件新产品为次品的概率都为p(0<p<1)，且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f(p)，问p取何值时，f(p)最大． 由题意可得，f(p)＝Cp2(1－p)48(0<p<1)，f′(p)＝C[2p(1－p)48－48p2(1－p)47]＝C·2p(1－p)47·(1－25p)，令f′(p)＝0，解得p＝，因为当0<p<时，f′(p)>0，所以f(p)为单调递增函数，因为当<p<1时，f′(p)<0，所以f(p)为单调递减函数，所以当p＝时，f(p)取得最大值． [规律方法]　解决概率与函数问题的步骤 (1)求初始事件的概率p1(或p0)． (2)利用事件关系将f(pn)表达为关于p的表达式． (3)利用函数的单调性等相关知识，解决问题. 【训练1】　设随机变量X服从正态分布N(10，σ2)，P(X>17)＝m，P(3≤X≤10)＝n，则m2＋n2的最小值为______. 由题意可知，正态曲线关于x＝10对称，所以P(x>17)＝P(x<3)＝m，所以m＋n＝，因为m2＋n2≥2mn，得2(m2＋n2)≥m2＋n2＋2mn，得m2＋n2≥(m＋n)2＝×2＝，等号成立时，m＝n＝，所以m2＋n2的最小值为. 【例2】　(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； 第2次投篮的人是乙分为两种情况：第1次投篮的人是甲且投篮未命中，其概率为0.5×(1－0.6)＝0.2；第1次投篮的人是乙且投篮命中，其概率为0.5×0.8＝0.4，所以第2次投篮的人是乙的概率为0.2＋0.4＝0.6. (2)求第i次投篮的人是甲的概率； 设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝pi＋，所以pi＋1－＝，又p1－＝－＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以pi－＝×i－1，所以pi＝＋×i－1. (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1,2，…，n，则E(i)＝i.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)． 设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi.Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn.则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由(2)知，pi＝＋×i－1，所以p1＋p2＋p3＋…＋pn＝＋×＝＋×＝＋×. [规律方法]　解决概率与数列问题的步骤 (1)理清初始事件的概率p1(或p0)． (2)利用事件关系寻求第n步的概率pn与第n＋1步的概率pn＋1之间的关系，即递推关系pn＋1＝f(pn)． (3)利用数列的相关知识，由已知p1与pn＋1＝f(pn)求出通项公式pn. 【训练2】　(2025·扬州两校联考)某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查．据统计，其中的学生计划只选择校本课程一，另外的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二．每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分．假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率． (1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； 由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为，选择校本课程二的概率为，则X的可能取值为3,4,5,6，P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝C××2＝，P(X＝5)＝C×2×＝，P(X＝6)＝3＝，所以X的分布列为 X 3 4 5 6 P 所以E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝. (2)从学生中随机抽取n人(n∈N*)，记这n人的合计得分恰为n＋1的概率为Pn，求P1＋P2＋…＋Pn. 因为这n人的合计得分为n＋1分，所以其中只有1人计划选择校本课程二，所以Pn＝C·×n－1＝，设Sn＝P1＋P2＋…＋Pn＝＋＋＋…＋　①，则Sn＝＋＋＋…＋　②，①－②，得Sn＝＋ ＋＋…＋－，即Sn＝3×－＝1－－＝1－，所以P1＋P2＋…＋Pn＝. $$