第10章 第9节 正态分布-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

第九节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 正态分布 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 正态密度函数及正态曲线 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 正态分布的概率计算 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 正态分布的综合应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十八） 本部分内容讲解结束 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量． 2．通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征． 3．了解正态分布的均值、方差及其含义. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T9 全国Ⅱ卷 T13 重点提示：正态分布、正态分布的均值及方差 1．正态曲线 函数f(x)＝e－，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称函数f(x)为正态密度函数，称它的图象为______________，简称正态曲线． 正态密度曲线 1 2．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴________，当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (2)曲线是单峰的，它关于直线________对称； (3)曲线在________处达到峰值； (4)曲线与x轴围成的面积为________； 上方 x＝μ　 x＝μ　 (5)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着________的变化而沿x轴平移，如图①所示； (6)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ________时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ______时，峰值低，正态曲线 “矮胖”，表示随 机变量X的分布比 较分散，如图②所示． μ 较小 较大 3．正态分布的定义及表示 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e－，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为____________．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． X～N(μ，σ2) 4．3σ原则 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 5．正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝________. μ 　σ2 【常用结论】 1．当X～B(n，p)时，P(X＝k)的最大值： (1)若(n＋1)p是不超过n的正整数，则k＝(n＋1)p或k＝(n＋1)p－1时，P(X＝k)取得最大值． (2)若(n＋1)p是不超过n的非整数，则k＝(n＋1)p(不大于(n＋1)p的最大整数)时，P(X＝k)取得最大值． 2．若X～N(μ，σ2)，则P(X<a)＝1－P(X≥a)；P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)． √　 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)正态曲线的对称轴由μ确定，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．(　　) (2)正态曲线关于直线x＝σ对称，只有当x∈(－2σ，2σ)时曲线才在x轴上方．(　　) (3)正态曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数．(　　) (4)正态分布是对于连续型随机变量而言的．(　　) √　 × × 2．正态密度函数f(x)＝·e－ (μ<0)的图象是(　　) 因为f(x)的图象的对称轴为x＝μ(μ<0)，又正态曲线位于x轴上方，所以由图象知只有A适合． 3．(人A选三P87习题T2改编)随机变量X～N(8，σ2)，若P(7≤X≤9)＝0.4，则P(X>9)＝(　　) A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 因为随机变量X～N(8，σ2)，P(7≤X≤9)＝0.4，所以P(X>8)＝0.5，P(8<X≤9)＝0.2，所以P(X>9)＝0.3.故选D. 4．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是(　　) A．32 B．16 C．8 D．20 因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.682 7.根据正态密度曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是×0.682 7×48≈16.故选B. 【例1】　(1)设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e－，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　) A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.故选B. (2)(多选题)(2025·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙 工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙 工厂生产零件尺寸的稳定性 X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，结合正态密度函数的图象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性， 故C正确，D错误． [规律方法]　解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为x＝μ； (2)标准差为σ； (3)分布区间转化为3σ特殊区间. 【训练1】　(1)(多选题)某工厂为了提高工人的理论基础和实际操作技能，举办了青年工人“双能”大奖赛，满分为100分，60分及格，竞赛成绩X服从正态分布N(65,25)，则(　　) A．竞赛成绩的平均值为65分 B．竞赛成绩的标准差为25 C．竞赛成绩的合格率约为0.84 D． 不合格人数与80分以上人数大致相等 μ 代表均值，故竞赛成绩的平均值为65分，A正确；标准差为＝5，B错误；因为σ＝5，所以合格率P(X≥60)≈0.5＋≈0.84，C正确；因为不合格的概率约为1－0.84＝0.16，而P(X>80)≈≈0.001 4，D错误． (2)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，若Z～N(μ1，σ)，则下列结论正确的是(　　) A．μ1<μ2，σ1>σ2 B．P(μ1≤Z≤μ2)≥P(μ1≤X≤μ2) C．P(Z≥μ2)≥P(Z≥μ1) D．P(Z≤μ2)>P(Y≤μ1) 由题可知两曲线分别关于X＝μ1，Y＝μ2对称，X的分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，所以由题图可知，μ1<μ2，σ1<σ2，A错误；Z～N(μ1，σ)，故Z的曲线关于x＝μ1对称，且与Y的分布曲线一样“矮胖”，故P(μ1≤Z≤μ2)<P(μ1≤X≤μ2)，B错误；因为μ1<μ2，所以P(Z≥μ2)<P(Z≥μ1)，C错误；P(Z≤μ2)>P(Z≤μ1)＝>P(Y≤μ1)，D正确．故选D. 【例2】　(1)(2022·新课标Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________. 0.14 因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14. (2)已知某种袋装食品每袋质量X～N(500,16)，则随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量在区间[492,504]内约有________袋．(质量单位：g)(附：X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) 8 186　 由题意得P(500－4≤X≤500＋4)≈0.682 7，P(500－8≤X≤500＋8)≈0.954 5，则P(492≤X<496)≈＝0.135 9，故P(492≤X≤504)≈0.135 9＋0.682 7＝0.818 6，则袋装质量在区间[492,504] 内约有10 000×0.818 6＝8 186(袋)． [规律方法]　解决正态分布问题有三个关键点 (1)对称轴x＝μ. (2)标准差σ. (3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ 分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ 特殊区间，从而求出所求概率，注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x＝0. 【训练2】　(1)设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≥a)＝0.5，P(X<b)＝3P(X≥b)，则P(X≤2a－b)＝(　　) A．0.25 　　B．0.3 　　C．0.5 　　D．0.75 由已知得a＝μ，P(X<b)＝1－P(X≥b)，P(X≥b)＝0.25，故由正态曲线的对称性可得P(X≤2a－b)＝P(X≥b)＝0.25. (2)(2025·枣庄模拟)某地区有20 000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(72,82)，则数学成绩位于[80,88]的人数约为(　　) 参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. A．455 　　B．2 718 　　C．6 346 　　D．9 545 由题意可知，μ＝72，σ＝8，P(80≤X≤88)＝P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，则数学成绩位于[80,88]的人数约为0.135 9×20 000＝2 718. 【例3】　(1)新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位：kW·h/100 km)情况，随机调查得到了1 200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ～N(13，σ2)，若P(12<ξ<14)＝0.7，则样本中耗电量不小于14 kW·h/100 km的汽车大约有(　　) A．180辆 　　B．360辆 　　C．600辆 　　D．840辆 因为ξ～N(13，σ2)，且P(12<ξ<14)＝0.7，所以P(ξ≥14)＝×[1－P(12<ξ<14)]＝×(1－0.7)＝0.15，所以样本中耗电量不小于14 kW·h/100 km的汽车大约有1 200×0.15＝180(辆)． (2)为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1 000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． ①计算该市化工企业的平均得分(同一组中的数据以这组数据的中间值为代表)； 该市被调查的化工企业的得分的平均值为＝(10×0.005 0＋30×0.012 5＋50×0.015 0＋70×0.010 0＋90×0.007 5)×20＝51. ②已知化工企业的得分情况X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝，σ2＝162，则得分在内的企业大约有多少家； 由①知化工企业的得分情况X～N(51，162)．因为67＝51＋16,83＝51＋16×2，所以P(67≤X≤83)＝P(0≤X≤83)－P(0≤X<67)＝P(0≤X≤51＋16×2)－P(0≤X<51＋16)＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈＝0.135 9.可得所求企业大约有0.135 9×1 000≈136家． ③按照②中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 由②得P(X≥19)＝P(X≥μ－2σ)≈0.5＋≈0.977 3，所以每家企业得分不低于19分的概率为0.977 3，则得分不低于19分的企业数ξ～B(100,0.977 3)．其中恰有k家企业得分不低于19分的概率为P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)100－k，令＝>1，＝>1，可得101p－1<k<101p，解得k＝98，故在抽取的100家化工企业中，分数不低于19分的企业有98家时概率最大． [规律方法]　在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重要参数μ，σ求出来，然后确定三个区间(范围)：[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]并与已知概率值进行联系求解. 【训练3】　(1)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时X和骑自行车用时Y都近似服从正态分布．绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行车(　　) A．有26 min可用 B．有30 min可用 C．有34 min可用 D．有38 min可用 由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具．根据X和Y的分布密度曲线图可知，P(X≤26)>P(Y≤26)，P(X≤30)>P(Y≤30)，P(X≤34)>P(Y≤34)，P(X≤38)<P(Y≤38)．所以如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车． (2)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献，目前超级稻计划亩产已经实现1 100公斤．现有某试验田，超级稻亩产量ξ(单位：公斤)均服从正态分布N(1 150，502)，且P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，则1 000亩试验田超级稻的亩产量在1 250公斤以上的大约为________亩(结果保留一位小数)． 22.8 由题可知μ＝1 150，σ＝50，P(ξ>1 250)≈×(1－0.954 5)＝0.022 75，又1 000×0.022 75≈22.8，则1 000亩试验田超级稻的亩产量在1 250公斤以上的大约为22.8亩． $$