第10章 第8节 二项分布与超几何分布-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第八节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 二项分布与超几何分布 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 n重伯努利试验 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 二项分布 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 二项分布的应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点四 超几何分布 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十七） 本部分内容讲解结束 1.通过具体实例，了解伯努利试验． 2．掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． 3．通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷 T12 T18 重点提示：二项分布、超几何分布 1．二项分布 (1)伯努利试验：只包含______可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为______________． 两个 n重伯努利试验　 np(1－p) (2)二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝_________________，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作_____________． (3)二项分布的均值与方差：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝________，D(X)＝________. Cpk(1－p)n－k　 X～B(n，p) np 2．超几何分布 (1)定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． (2)均值E(X)＝________. 3．二项分布与超几何分布的关系 在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布. 区别 ①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布； ②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布 √ 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项，其中a＝p，b＝1－p.(　　) (2)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．(　　) (3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．(　　) (4)设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝.(　　) × × √ 2．(人A选三P78例5改编)从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是(　　) A． B． C． D． 设随机变量X表示取出次品的个数，X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，X的可能的取值为0,1,2，所求概率为P(X＝1)＝＝.故选B. 3．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是(　　) A． 　　B． 　　C． 　　D． 用X表示发芽的粒数，则X～B，则P(X＝3)＝C×3×2＝，故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为. 4．(人A选三P76T1改编)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷4次，X表示“奇数点”出现的次数，则随机变量X的均值E(X)＝(　　) A．2 　　B．1 　　C． 　　D． 由题意可知，X～B，E(X)＝4×＝2. 【例1】　(1)以下分布中是伯努利分布的是(　　) A．掷一枚硬币正面次数X的分布 B．掷两枚硬币正面次数X的分布 C．抛一颗骰子点数X的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用x表示白球个数的分布 只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布．则选项A符合，选项BCD不符合．故选A. (2)某班级准备进行“福气到”抽奖活动，福袋中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖．若有5名同学参与此次活动，则恰好有3人获奖的概率是(　　) A． B． C． D． 每次抽奖中，总情况数为C＝10，获奖的情况共有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(3,4,5)这4种，所以每次抽奖获奖的概率p＝.设这5人中获奖人数为X，则X～B，所以P(X＝3)＝C32＝.故选C. [规律方法]　n重伯努利试验求概率的步骤 (1)先确定好n，p和k的值． (2)事件恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k. 【训练1】　(1)数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动8次，则质点位于－2的位置的概率是(　　) A．44 B．62 C．C53 D．C35 依题意此实验满足8重伯努利实验，设向左移动次数为X，则X～B，从原点O出发，共移动8次，最后质点位于－2，则需向右移动3次，向左移动5次，所以质点位于－2的位置的概率为P(X＝5)＝C35.故选D. (2)(2025·保定高三模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为________. 事件“甲恰好比乙多击中目标1次”分为“甲击中1次乙击中0次”，“甲击中2次乙击中1次”，“甲击中3次乙击中2次”三种情形．其概率P＝C××2×3＋C×2××C××2＋C3×C×2×＝. 【例2】　甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为(每场单打比赛不考虑平局的情况)． (1)求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分的概率； 记“五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分”为事件A，而五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分，即五场单打比赛中甲队赢3场，乙队赢2场，所以P(A)＝C×3×2＝. (2)设比赛结束后甲队的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 由题意得，X的可能取值为0,1,2,3,4,5.P(X＝0)＝C×0×5＝，P(X＝1)＝C×1×4＝，P(X＝2)＝C×2×3＝，P(X＝3)＝C×3×2＝，P(X＝4)＝C×4×1＝，P(X＝5)＝C×5×0＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. [规律方法]　二项分布概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件： (1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p. (2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的． (3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. 【训练2】　(1)已知随机变量X服从二项分布B(4，p)，P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________． 或 P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝6p2(1－p)2＝，即p2(1－p)2＝2×2，解得p＝或p＝. (2)某商场为了刺激消费，进行消费抽奖活动，规则如下：顾客消费每满600元即可获得抽奖券1张，每张抽奖券中奖的概率均为，若获奖，则可获得价值150元的现金券．已知小王在该商场购买了价值3 800元的手机， 则小王得到750元现金券的概率为________． 由题意，小王购买了价值3 800元的手机，可得小王购物后可以获得6张抽奖券，因为每张抽奖券中奖的概率均为，所以获奖次数X服从X～B，又因为若获奖获得价值150元的现金券，则获得750元现金券需要中奖5次，所以小王得到750元现金券的概率为P＝C5×1＝. 【例3】　(1)(多选题)已知随机变量X满足：X～B(4，p)，0<p<1，E(X)＝D(X)，则(　　) A．p＝ B．E(X)＝ C．E(2X＋1)＝ D．D(2X＋1)＝ 对A，因为X～B(4，p)，E(X)＝D(X)，所以×4p(1－p)＝4p，解得p＝，故A错误；对B，由上知E(X)＝4×＝，故B正确；对C，E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝，故C正确；对D，D(2X＋1)＝4D(X)＝4×4×(1－)＝，故D正确．故选BCD. (2)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A，B，C三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表： 班级 一 二 三 四 人数 3 2 3 4 ①从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率； 从这12人中随机抽取2人，共有C＝66(种)可能情况，记“这2人恰好来自同一班级”为事件A，则事件A包含的可能情况有C＋C＋C＋C＝3＋1＋3＋6＝13(种)，所以P(A)＝. ②从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A，B两款软件学习的概率都是，且他们选择A，B，C任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，因为选A，B两款软件学习的概率都是，且他们选择A，B，C任一款软件都是相互独立的，所以他们选择C款软件学习的概率是1－－＝，所以这三名学生中下午自习时间选 软件C的人数服从二项分布ξ～B，所以P(ξ＝0)＝C03＝，P(ξ＝1)＝C12＝＝，P(ξ＝2)＝C21＝＝，P(ξ＝3)＝C30＝，所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝3×＝2. [规律方法]　注意随机变量满足二项分布的关键词 (1)视频率为概率． (2)人数很多、数量很大等. 【训练3】　(1)小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为X，则(　　) A．E(X)＝2.4 B．E(X)＝4.8 C．D(X)＝0.48 D．D(X)＝0.96 设小明投中次数为ξ，则由题意可知ξ～B(3，0.8)，则E(ξ)＝3×0.8＝2.4，D(ξ)＝3×0.8×(1－0.8)＝0.48，因为投中一次得2分，没投中得0分，所以X＝2ξ，则E(X)＝2E(ξ)＝2×2.4＝4.8，D(X)＝4D(ξ)＝1.92.故选B. (2)“节约用水”自古以来就是中华民族的优良传统．某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如图所示，将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立． ①求在未来连续4个月里，有连续 2个月的月用水量都不低于12吨且另2 个月的月用水量低于4吨的概率； 由频率分布直方图可知月用水量低于4吨与不低于12吨的概率分别为：p1＝0.037 5×4＝0.15，p2＝(0.05＋0.025)×4＝0.3，故在未来连续4个月里连续2个月的月用水量都不低于12吨且另2个月的月用水量低于4吨的概率P＝3×0.32×0.152＝0.006 075. ②用X表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)． X可能取的值为0,1,2,3，且X～B(3,0.3)，则有P(X＝0)＝C×(1－0.3)3＝0.343，P(X＝1)＝C×0.3×(1－0.3)2＝0.441，P(X＝2)＝C×0.32×(1－0.3)＝0.189，P(X＝3)＝C×0.33＝0.027. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 故X的数学期望为E(X)＝np2＝3×0.3＝0.9. 【例4】　(1)口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望E(X)＝________. 从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0,1,2；则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (2)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同的心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，剩下的5人接受乙种心理暗示． ①用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列； 由题意知X 的可能取值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ②若用Y表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求Y的分布列． 由题意可知Y 的可能取值为1,2,3,4,5，则P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝＝，P(Y＝4)＝＝，P(Y＝5)＝＝.所以Y 的分布列为 Y 1 2 3 4 5 P [规律方法]　求超几何分布的分布列的步骤 【训练4】　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490,495]，(495,500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图(如下图)． (1)根据频率分布直方图， 求质量超过505克的产品数量； 质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)． (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； 质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布．P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 P (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． 根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B， P(Y＝k)＝C2－kk，k＝0,1,2.所以P(Y＝0)＝C2＝，P(Y＝1)＝C··＝，P(Y＝2)＝C·2＝.所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 【微点拓展】 与二项分布、超几何分布有关的 概率最大值问题解题步骤 (1)确定好n，k的值，注意“停止型”模型的算法区别． (2)由题意将X服从二项分布或超几何分布，表达出 (3)求出最大值． 【典例】　投掷一枚骰子，向上点数共有1～6六种可能，每一种情况的发生是等可能的，连续投掷40次，记出现6点的次数X，则概率最大时随机变量X的值为________． 6 由题意X～B，所以P(X＝i)＝C·i·40－i.由≥1⇒i≤；由≥1⇒i≥.所以i＝6时，P(X＝i)最大，即X＝6时概率最大． 【微练】　一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，则小球全部取出的概率最大时需要经过试验的次数为________. 8或9 设经过n(n≥5)次试验后小球全部取出的概率最大，此时前(n－1)次有4次投掷硬币，正面朝上，第n次投掷硬币，正面朝上，故概率为Cn－1×＝Cn，令解得8≤n≤9，又n∈N*.所以n＝8或9. $$