第10章 第7节 离散型随机变量及其分布列与数字特征-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第七节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列与数字特征 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 离散型随机变量 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 离散型随机变量分布列的性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 求离散型随机变量的分布列 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点四 离散型随机变量的数字特征 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十六） 本部分内容讲解结束 1.了解离散型随机变量的概念． 2．理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差). 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷 重点提示：离散型随机变量的分布列、均值、方差 1．离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 唯一 2．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 3．离散型随机变量分布列的性质 (1)pi________0，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝________. ≥ 1 4．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值：E(X)＝______________________＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，它反映了随机变量取值的________． x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　 平均水平　 (2)方差：D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ __________________为随机变量X的方差，并称________为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的________． (xi－E(X))2pi 偏离程度 a2D(X) 5．两点分布的分布列及其数字特征 若X服从两点分布，则分布列如下： X 0 1 P 1－p p 期望E(X)＝______，方差D(X)＝________. 6．均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝____________. (2)D(aX＋b)＝________.(a，b为常数) p　 p(1－p) aE(X)＋b 【常用结论】 1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． 2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． 3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)手机电池的使用寿命X是离散型随机变量．(　　) × 手机电池的使用寿命X的取值是某一区间内的任意非负实数，不能一一列举出，不是离散型随机变量，错误． (2)在离散型随机变量分布列中随机变量的每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　) × × 在离散型随机变量分布列中随机变量的每一个可能值对应的概率是区间[0,1]上的某个值，错误． (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　) (4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．(　　) √ √ 2．(人A选三P63例1改编)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值为(　　) A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1 某运动员罚球1次的得分为X，X的取值可能为0,1，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝1)＝0.8，E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.故选C. 3．随机变量X的分布列为： X 0 1 m P n 且E(X)＝1.1，则D(X)＝________. 由＋n＋＝1，得n＝，因为E(X)＝1.1，所以0×＋1×＋m×＝1.1，得m＝2，所以D(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49. 0.49 4．(人A选三P66T1改编)已知随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P 若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________． E(X)＝－＋＝－，则E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝. 【例1】　(1)下列随机变量不是离散型随机变量的是(　　) A．掷一颗骰子出现的点数 B．投篮一次的结果 C．某同学在12：00至12：30到校的时间 D．从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数 A中骰子出现的点数为1,2,3,4,5,6，可以一一列举出来．B中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来．D中所取3件产品的合格品数可能为0,1,2,3，共4种情况，可以一一列举出来．C中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来，因此C不是离散型随机变量，故选C. (2)(多选题)抛掷两颗骰子各一次，记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数的差为X，则“X>3”表示的试验的结果有(　　) A．第一颗为5点，第二颗为1点 B．第一颗大于4点，第二颗也大于4点 C．第一颗为6点，第二颗为1点 D．第一颗为6点，第二颗为2点 因为5－1＝4>3,6－1＝5>3,6－2＝4>3，所以选项ACD符合题意，对于选项B：第一颗大于4点，可以是5点，6点，第二颗也大于4点，可以是5点，6点，因为5－5＝0<3,5－6＝－1<3,6－5＝1<3,6－6＝0<3，所以本选项不符合题意，故选ACD. [规律方法]　随机变量的三大特征 (1)结果可用数来表达． (2)实验前可以判断其可能出现的结果． (3)在试验前不能确定值. 【训练1】　从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则{X≤1}表示_____________________ _______. 所选3人中至多有1 名女生 {X≤1}包含两种情况：{X＝1}或{X＝0}．故{X≤1}表示所选3人中至多有1名女生． 【例2】　(1)(多选题)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是(　　) A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确． (2)(2025·黑龙江大庆模拟)已知随机变量X的分布列满足P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a为常数，则P＝(　　) A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． 因为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，则＋＋＋＝a＝1，解得a＝，所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.故选C. [规律方法]　离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值． (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 【训练2】　设随机变量X满足P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则k＝________；P(X≥2)＝________. 　 由已知得随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 所以＋＋＝1，所以k＝. 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 所以P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 【例3】　甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为，，.记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列． 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝××＝，P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝.所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P [规律方法]　离散型随机变量分布列的求解步骤 【训练3】　从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记－1分，取出黄球记零分．以X表示所得分数，求X的概率分布． 依题意，当取到2个白球时，随机变量X＝－2；当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X＝－1；当取到2个黄球时，随机变量X＝0；当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X＝1；当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X＝2；当取到2个黑球时，随机变量X＝4，所以随机变量X的 可能取值为－2，－1,0,1,2,4，可得P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以X的概率分布为 X －2 －1 0 1 2 4 P 角度1　期望与方差 【例4】　(1)(多选题)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P m 3m 下列结论正确的有(　　) A．m＝ B．E(X)＝ C．E(2X－1)＝ D．D(X)＝ 由分布列的性质，得＋4m＝1，解得m＝，故A正确；E(X)＝－1×＋0×＋1×＝，故B正确；E(2X－1)＝2E(X)－1＝－，故C不正确；D(X)＝×2＋×2＋×2＝，故D正确．故选ABD. (2)(2025·石家庄调研)在一次班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目． ①求a同学摸球三次后停止摸球的概率； 设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E，则P(E)＝＝，故a同学摸球三次后停止摸球的概率为. ②记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差． 随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＋＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2，方差D(X)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝. [规律方法]　求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能取值． (2)求X取每个值的概率． (3)写出X的分布列． (4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X). 角度2　决策问题 【例5】　(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； 设A1＝“甲、乙所在队进入第二阶段”，则P(A1)＝1－(1－0.4)3＝0.784. 思维点1：计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率． 设A2＝“乙在第二阶段至少得5分”，则P(A2)＝1－(1－0.5)3＝0.875. 思维点2：计算乙至少得5分的概率，从而计算甲、乙所在队不少于5分的概率． 设A3＝“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则P(A3)＝P(A1)·P(A2)＝0.686. (2)假设0<p<q. (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P甲， 则P甲＝[1－(1－p)3]·q3＝pq3·(3－3p＋p2)． 思维点3：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率． 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P乙， 则P乙＝[1－(1－q)3]·p3＝qp3·(3－3q＋q2)． 思维点4：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率． 则P甲－P乙＝pq(3q2－3pq2＋p2q2－3p2＋3p2q－p2q2)＝3pq(q－p)(p＋q－pq)， 由0<p<q≤1，得q－p>0，p＋q－pq＝p＋q(1－p)>0， 所以P甲－P乙>0，即P甲>P乙． 思维点5：作差法比较大小． 故应该由甲参加第一阶段比赛． (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15. P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3， P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·C·q·(1－q)2， P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·C·q2·(1－q)， P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·Cq3， 所以E(X)＝[1－(1－p)3]·[15q(1－q)2＋30q2(1－q)＋15q3]＝[1－(1－p)3]·15q＝15pq(p2－3p＋3)． 思维点6：计算甲参加第一阶段比赛，甲、乙所在队比赛成绩的数学期望． 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15. 同理，可得E(Y)＝15pq(q2－3q＋3)． 思维点7：计算乙参加第一阶段比赛，甲、乙所在队比赛成绩的数学期望． E(X)－E(Y)＝15pq(p2－3p－q2＋3q)＝15pq(q－p)(3－p－q)， 由0<p<q≤1，得q－p>0,3－p－q＝3－(p＋q)>0， 所以E(X)－E(Y)>0，即E(X)>E(Y)． 思维点8：作差法比较大小． 故应该由甲参加第一阶段比赛． 本题以相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列为工具，考查分类讨论思想和推理论证能力，使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出，发挥高考的选拔功能，引导数学教学关注对学生核心素养的培养． 【对点练】 1．(角度1)(多选题)(2025·四川模拟)设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则(　　) A．m＝0.4 B．E(X)＝2，D(X)＝1.2 C．E(Y)＝3，D(Y)＝3.4 D．E(Y)＝5，D(Y)＝4.8 由离散型随机变量X的分布列性质可得m＝1－0.1－0.2－0.2－0.1＝0.4，A正确；E(X)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.1＝1.2，B正确；由于Y＝2X＋1，故E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝4.8，C错误，D正确；故选ABD. 2．(角度2)有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示： 甲公司 乙公司 职位 A B C D 职位 A B C D 月薪/千元 5 6 7 8 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应 职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 获得相应 职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 (1)若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为η，求η的分布列； 根据题意可知随机变量η的可能取值有0,1,2， P(η＝0)＝0.8×0.8＝0.64，P(η＝1)＝2×0.2×0.8＝0.32，P(η＝2)＝0.2×0.2＝0.04. 随机变量η的分布列为 η 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 (2)若小明和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小明月薪高于小芳月薪的概率； 小明月薪高于小芳月薪的概率为P＝0.4×0.4＋0.3×0.4＋0.2×(0.4＋0.3)＋0.1×(0.4＋0.3)＝0.49. (3)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？并说明理由． 入职甲公司，月薪的期望为E(X)＝0.4×5＋0.3×6＋0.2×7＋0.1×8＝6，方差D(X)＝0.4×(5－6)2＋0.3×(6－6)2＋0.2×(7－6)2＋0.1×(8－6)2＝1.入职乙公司，月薪的期望为E(Y)＝0.4×4＋0.3×6＋0.2×8＋0.1×10＝6，方差D(Y)＝0.4×(4－6)2＋0.3×(6－6)2＋0.2×(8－6)2＋0.1×(10－6)2＝4，由(2)知甲公司月薪高于乙公司的概率为0.49，乙公司月薪高于甲公司的 概率为P＝0.3×0.4＋0.2×(0.4＋0.3＋0.2)＋0.1＝0.4，即E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，0.4<0.49.即两家公司月薪的期望相同，但甲公司月薪的波动性小，乙公司月薪的波动性更大，且甲公司月薪高于乙公司月薪的概率更大，故选甲公司． $$