第10章 第6节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第六节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 事件的相互独立性、条件概率 与全概率公式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 相互独立事件的概率 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 条件概率 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 全概率公式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十五） 本部分内容讲解结束 1.结合有限样本空间，了解相互独立事件、条件概率的含义． 2．结合古典概型，了解随机事件的独立性与条件概率的关系，能利用独立性、乘法公式、全概率公式计算概率. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T20 T21 全国Ⅱ卷 T19 T12 T18 重点提示：相互独立事件、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 1．相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝__________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与________，与________，与也都相互独立． P(A)P(B)　 　 B 2．条件概率 (1)概念：设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，称__________________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝________； ②概率的乘法公式：P(AB)＝________________. P(B|A)＝ P(A)P(B|A) 3．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ __________________，称此公式为全概率公式． (Ai)P(B|Ai) 【常用结论】 1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 2．条件概率公式P(B|A)＝＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数． (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　) × 若事件A，B互斥，则P(B|A)＝0. (2)若A，B相互独立，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则A，B都不发生的概率为0.3.(　　) √ 因为A，B相互独立，P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，所以P()＝0.5，P()＝0.6，所以P()＝0.5×0.6＝0.3. (3)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第1枚为正面向上”为事件A，“第2枚为正面向上”为事件B，则A，B相互独立．(　　) (4)若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．(　　) √ √ 2．(人A必二P253 练习T3改编)天气预报报道：元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　) A．0.2 　　B．0.3 　　C．0.38 　　D．0.56 设“甲地降雨”为事件A，“乙地降雨”为事件B，则两地中恰有一地降雨为事件A＋B，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38. 3．(人A选三P48T3改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回， 则他在第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________． 设A＝“甲第一次拿到白球”，B＝“甲第二次拿到红球”，则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝. 4．已知P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)＝________. P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝. 角度1　相互独立事件的判断 【例1】　(多选题)(2025·滁州模拟)已知A，B为两个随机事件，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则(　　) A．P(A＋B)<1 B．若A，B为互斥事件，则P(AB)＝0 C．若P(AB)＝0.24，则A，B为相互独立事件 D．若A，B为相互独立事件，则P()＝P(AB) 若A，B为互斥事件，又P(A)＋P(B)＝1，则A∩B＝∅且A＋B＝Ω，故P(A＋B)＝1，P(AB)＝0，故A错误，B正确；若P(AB)＝0.24，即P(AB)＝P(A)P(B)，故A，B为相互独立事件，故C正确；若A，B为相互独立事件，则，也相互独立，即P()＝P()P()，又P()＝0.6，P()＝0.4，所以P(AB)＝0.4×0.6＝P()P()，故P()＝P(AB)，故D正确． [规律方法]　相互独立事件的判断方法 (1)定义法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)充要条件法：事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B). 【训练1】　(多选题)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1,2,3的三个号签；乙袋有编号为1,2,3,4,5,6的六个号签．现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签6；事件C：抽取的两个号签和为3；事件D：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是(　　) A．P(AB)＝ B．P(C)＝ C．事件A与事件C相互独立 D．事件A与事件D相互独立 对于A，事件A，B相互独立，P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，A正确；对于B，样本点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18种，事件C包括(1,2)，(2,1)2种情况，P(C)＝＝，B正确；对于C，由P(AC)＝≠×＝P(A)P(C)，得事件A，C不相互独立，C错误；对于D，由P(AD)＝＝×＝P(A)P(D)，得事件A，D相互独立，D正确． 角度2　相互独立事件的概率 【例2】　(2024·山西太原二模)某产品需要通过两类质量检验才能出货．已知该产品第一类检验单独通过率为，第二类检验单独通过率为p(0<p<1)，规定：第一类检验不通过则不能进入第二类检验，每类检验未通过可修复后再检验一次，修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次，且各类检验间相互独立．若该产品能出货的概率为，则p＝(　　) A． 　　B． 　　C． 　　D． 设Ai表示第i次通过第一类检验，Bi表示第i次通过第二类检验(i＝1,2)，由题意得P(A1B1＋1A2B1＋A11B2＋1A21B2)＝，即p＋×p＋×(1－p)p＋××(1－p)p＝，解得p＝或p＝(舍去)．故选C. [规律方法]　求相互独立事件的概率求解方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积． (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【训练2】　(2025·宁波调研)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为.四支箭投完，以得分多者赢．则乙赢得这局比赛的概率为________． 由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：①第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，其概率为P1＝×＝.②第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，其概率为P2＝×＝.所以乙赢得这局比赛的概率为P＝P1＋P2＝＋＝. 【例3】　某地开展党史知识竞赛活动，以党支部为单位参加比赛，某党支部在5道党史题中(包含3道选择题和2道填空题)不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽 到选择题”，则P(B|A)＝________. 解法一(定义法)：P(A)＝＝，P(AB)＝＝ ，由条件概率公式可得P(B|A)＝＝＝. 解法二(样本点数法)：不放回地依次随机抽取2道题作答，样本空间有5×4＝20 个样本点，n(A)＝3×4＝12，n(AB)＝3×2＝6，所以P(B|A)＝＝＝. 解法三(缩小样本空间法)：第1次抽到选择题后，第二次再抽一道题，其样本空间有4个样本点，满足事件B 的样本点有2个，所以P(B|A)＝＝. [规律方法]　条件概率的求解方法 【训练3】　(1)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A．0.8 　　B．0.6 　　C．0.5 　　D．0.4 令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝＝＝0.8. (2)从包含男生甲、乙，女生丙的5名男生和2名女生中任选3人参加学校组织的演讲比赛，则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一人被选中的概率是(　　) A． 　　B． 　　C． 　　D． 解法一：设男生甲被选中为事件A，男生乙和女生丙至少一人被选中为事件B，则P(B|A)＝＝＝＝. 解法二：在男生甲被选中的情况下，基本事件总数为C＝15，其中男生乙和女生丙都没有被选中的基本事件数为C＝6，所以所求概率为1－＝. 【例4】　(2025·河北石家庄模拟)玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只．假设各箱含有0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买．设事件A表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件Bi表示“箱中恰好有i(i＝0,1,2)只残次品”．求： (1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率； 由题设可知，P(B0)＝0.8，P(B1)＝0.1，P(B2)＝0.1，且P(A|B0)＝1，P(A|B1)＝＝，P(A|B2)＝＝，所以P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2) ＝0.8×1＋0.1×＋0.1×＝，即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率是. (2) 在顾客买下的一箱玻璃杯中，没有残次品的概率． 因为P(B0|A)＝＝＝，所以在顾客买下的一箱玻璃杯中，没有残次品的概率是. [规律方法]　利用全概率公式求解概率的步骤 【训练4】　书架上放有2本语文书和3本数学书，学生甲先随机取走2本书，学生乙再在剩下的书中随机取走1本书．已知甲至少取走了1本数 学书，则乙取走语文书的概率为________． 记2本语文书为a，b,3本数学书为1,2,3，则甲至少取走了1本数学书包含的样本点有：(a,1)，(a,2)，(a,3)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(1,2)，(2,3)，(1,3)，共9个．设“甲至少取走了1本数学书的情况下甲取走i 本数学书”为事件Ai(i＝1,2)，“乙取走语文书”为事件B，则事件A1 包含(a,1)，(a,2)，(a,3)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，共6个样本点，故P(A1)＝＝，P(B|A1)＝，同理可得P(A2)＝，P(B|A2)＝，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝. 【微点拓展】 两个条件概率之间的关系——贝叶斯公式 *贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n. 【典例】　随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式有三种，早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果某天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________. 解法一：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，则P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(D|A)＝，P(D|B)＝，P(D|C)＝；P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝×，小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是P(A|D)＝＝＝＝. 解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率P＝＝. 【微练】　(1)某校高一(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一人做学生代 表．已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率________． 设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”，由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，P(B)＝＝，所以“已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率”为＝＝. (2)某人从保山到昆明，可以乘坐高铁、客车、飞机三种交通工具，出行方式如下表， 交通工具 高铁 客车 飞机 乘坐概率 迟到概率 0.1 0.3 0.3 某人已迟到，则他乘坐飞机迟到的概率为____________. 0.25 由题意知，所求概率P＝＝0.25. $$