第10章 第5节 古典概型、概率的性质-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第五节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 古典概型、概率的性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 古典概型 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 …… …… 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 概率的性质 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十四） 本部分内容讲解结束 1.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 2．熟练运用概率性质解决相应概率问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T5 T14 全国Ⅱ卷 重点提示：古典概型、概率的性质 1．古典概型 (1)古典概型特征． ①有限性：样本空间的样本点只有________． ②等可能性：每个样本点发生的可能性________． (2)古典概型的概率公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 有限个 相等 2．概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________. 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝________. P(A)＋P(B) 1－P(B) 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝ ________________________. P(A)＋P(B)－P(A∩B) 【常用结论】 1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 3．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”．(　　) × 发芽与不发芽不一定是等可能，所以不正确 (2)若事件A，B，C两两互斥，则事件A与B∪C互斥．(　　) √ 若事件A，B，C两两互斥，则事件A，B，C不可能同时发生，则事件A与B∪C也不可能同时发生，则事件A与B∪C互斥，故正确． (3)若事件A与B对立，则P(A∪B)＝1.(　　) (4)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　　) √ 若事件A与B对立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，故正确． √ 2．(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　) A． 　　B． 　　C． 　　D． 从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率P＝＝.故选C. 3．(人A必二P229例3改编)先后三次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1，反面向上记为0，则这个试验的样本空间中有______个样本点． 这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(0,0,1)，(0,1,0)，(1,0,0)，(0,0,0)}，共8个样本点． 8 4．从3名男生和2名女生中，任选3人参加社区志愿服务，其中男生、女生都入选的概率为________． 依题意，男生、女生都入选的概率为＝. 角度1　简单古典概型的概率…………………………教考衔接⑰ 教材题 [题源]　(人A必二P239例10)从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人，(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层随机抽样的样本空间； 设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组(x1，x2)表示样本点． 根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间Ω1＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}．不放回简单随机抽样的样本空间Ω2＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}．按性别等比例分层随机抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间Ω3＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}． (2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率． 设事件A＝“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，A＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2)}．因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．因此P(A)＝＝.对于不放回简单随机抽样，A＝{(B1，B2)，(B2，B1)}．因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．因此P(A)＝＝.因为按性别等比例分层随机抽样，不可能抽到两名男生，所以A＝∅，因此P(A)＝0. 高考题 (2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A．　　　 B． 　　　 C． 　　　 D． 记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的样本点有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的样本点有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝.故选D. [规律方法]　 古典概型求解步骤 角度2　与古典概型交汇问题的概率 【例1】　(1)已知二项式n(n∈N*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为(　　) A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． 因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式的总项数为7，故n＝6，展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－rr＝C26－rx6r，当r是偶数时该项为有理项，所以r＝0,2,4,6，有4项，所以从展开式中任取2项，取到的项都是有理项的概率为P＝＝.故选A. (2)(2025·广东惠州调研)从2,4,6,8中任取2个不同的数分别记为x，y，则|x－y|＝4的概率是(　　) A． 　　B． 　　C． 　　D． 从2,4,6,8中任取2个不同的数，设样本空间为Ω，则n(Ω)＝4×3＝12，设“取出的2个数之差的绝对值等于4”为事件A，则事件A＝{(2,6)，(4,8)，(6,2)，(8,4)}，即n(A)＝4，所以所求概率为P(A)＝＝.故选B. [规律方法]　与古典概型交汇问题的概率求解步骤 (1)确定所求问题为古典概型． (2)利用古典概型公式P(A)＝求其概率. 【对点练】 1．(角度1)在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为(　　) A． 　　B． 　　C． 　　D． 不超过12的质数有2,3,5,7,11，任取两个不同数有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共10个，其中和为偶数的结果有(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共6个，所以随机选取两个不同的数，和为偶数的概率为＝.故选B. 2．(角度1)(2024·全国甲卷)某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定．则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是(　　) A． 　　B． 　　C． 　　D． 解法一：四人由随机抽签的方式确定出场次序，基本事件共有24个：(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，甲，丙，丁)，(乙，甲， 丁，丙)，(乙，丙，甲，丁)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，甲，丙)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，甲，丁)，(丙，乙，丁，甲)，(丙，甲，乙，丁)，(丙，甲，丁，乙)，(丙，丁，乙，甲)，(丙，丁，甲，乙)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，乙，甲，丙)，(丁，丙，乙，甲)，(丁，丙，甲，乙)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，甲，丙，乙)，其中事件“丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场”包含的基本事件有8个：(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)，(丁，丙，甲，乙)，(丁，甲，丙，乙)，所以丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率为P＝＝. 解法二：设A表示事件“丙不是第一个出场，且甲最后出场”，B表示事件“丙不是第一个出场，且乙最后出场”．四人由随机抽签的方式确定出场次序，基本事件共有24个，事件A包含的基本事件有4个，故P(A)＝＝，类似地有P(B)＝.由于事件A与事件B互斥，故丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝. 3．(角度2)(2025·张家口质检)已知a是1,3,3,5,7,8,10,11的第75百分位数，在1,3,3,5,7,8,10,11中随机取两个数，这两个数都小于a的概率为(　　) A． 　　B． 　　C． 　　D． 因为8×75%＝6，所以a＝＝9.8个数中有6个数小于9，所以随机取两个数，这两个数都小于a的概率为＝. 【例2】　(1)若随机事件A，B满足P(A)＝，P(B)＝，P(A＋B)＝，则P(AB)＝(　　) A． 　　B． 　　C． 　　D． 由概率的性质，P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝＋－＝.故选B. (2)(多选题)(2025·河北名校联考)中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，则(　　) A．P(A)＝0.55 　　B．P(B)＝0.18 C．P(C)＝0.27 　　D．P(B∪C)＝0.55 由题意可知P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18，因为事件A∪B为事件C的对立事件，且事件A，B，C两两互斥，所以P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，所以P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.45. [规律方法]　事件关系的运算策略 (1)要紧扣运算的定义． (2)要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果． (3)当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式. 【训练】　(1)某潜艇部队在南海进行实弹演习，已知甲、乙两艘潜艇发射导弹一次的命中率分别为0.8,0.7.按照演习计划，甲、乙两艘潜艇各发射导弹一次，若两艘潜艇都命中的概率为0.6，则甲或乙潜艇命中的概率为(　　) A．0.56 　　B．0.5 　　C．0.9 　　D．0.6 设“甲潜艇命中”为事件A，“乙潜艇命中”为事件B，根据概率的加法公式可得，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.7－0.6＝0.9.故选C. (2)若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝a2－5，P(B)＝5－2a，则实数a的取值范围为_____________． (，1＋] 因为随机事件A，B互斥，且 A，B发生的概率均不等0 ，且P(A)＋P(B)≤1，所以即解得a∈(，1＋]． $$