第10章 第4节 随机事件、频率与概率-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第四节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 随机事件、频率与概率 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 随机事件的关系与运算 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 随机事件的频率与概率 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 互斥事件与对立事件的概率 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十三） 本部分内容讲解结束 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别． 2．理解事件间的关系与运算. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷 T12 重点提示：随机事件、频率、概率 1．样本点和样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点(用ω表示)，全体样本点的集合称为试验E的样本空间(用Ω表示)． 2．随机事件及其概率 (1)必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件． (2)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件． (3)随机事件：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件． 3．事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 ________ 相等关系 B⊇A且A⊇B ________ 并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 _____________ A⊆B　 A＝B A∪B或A＋B 交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生 _____________ 互斥 (互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 ____________ 互为对立 事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 _________________________ A∩B或AB　 A∩B＝∅　 A∩B＝∅， 且A∪B＝Ω 4.频率与概率 (1)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐________事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 稳定于 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　) ×　 频率是概率的近似值，概率是频率的期望值． × (2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(　　) (3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．(　　) (4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(　　) √ × 概率和频率都能反映随机事件发生可能性的大小，错误． 2．容量为20的样本数据，分组后的频数如表： 分组 [10,20) [20,30) [30,40) 频数 2 3 4 分组 [40,50) [50,60) [60,70] 频数 5 4 2 用频率估计概率，则样本数据落在区间[10,40)内的概率为(　　) A． 0.35 　　B． 0.45 　　C． 0.55 　　D． 0.65 由题表知[10,40) 的频数为2＋3＋4＝9，所以样本数据落在区间[10,40) 内的概率为＝0.45. 3．(人A必二P235T1改编)某人打靶时连续射击两次，与事件“至多一次中靶”互斥的事件是(　　) A．至少一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”． 4．(人A必二P235T2改编)抛掷一颗质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则(　　) A．A∪B表示向上的点数是1或3或5 B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或3 D．A∩B表示向上的点数是1或5 设A＝{1,3}，B＝{1,5}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1,3,5}，所以A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5. 【例1】　(1)(多选题)(2025·贵州贵阳期末)抛掷一枚质地均匀的骰子，定义以下事件：D1＝“点数大于2”，D2＝“点数不大于2”，D3＝“点数大于3”，D4＝“点数为4”，则下列结论正确的是(　　) A．D3⊆D1 B．D4⊆D3　 C．D1∪D3＝D3 D．D1∩D2＝∅ 对于A，D3＝“点数大于3”，D1＝“点数大于2”，显然D3⊆D1，故正确；对于B，D4＝“点数为4”，D3＝“点数大于3”，D4⊆D3，故正确；对于C，由A知，D3⊆D1，则D1∪D3＝D1，故错误；对于D，D1＝“点数大于2”，D2＝“点数不大于2”，显然不能同时发生，则D1∩D2＝∅，故正确．故选ABD. (2)从1,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，下列两个事件互为对立事件的是(　　) A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数” B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数” C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数” D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数” 从1,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，可能有0个奇数和3个偶数，1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“至多有一个是偶数”包括2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“至多有两个是偶数”包括1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，即“至多有一个是偶数”包含于“至多有两个是偶数”，故A错误；“恰有一个是奇数”即1个奇数和2个偶数，“恰有一个是偶数”即2个奇数和1个偶数，所以“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是互 斥但不对立事件，故B错误；同理可得“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故D错误；“至少有一个是奇数”包括1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“全都是偶数”即0个奇数和3个偶数，所以“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”为对立事件，故C正确．故选C. [规律方法]　互斥事件、对立事件的判断 (1)定义法：不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件中，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件；对立事件一定是互斥事件． (2)集合法：①若A，B满足A∩B＝∅，则A，B是互斥事件；②若A，B满足则A，B是对立事件. 【训练1】　(1)(多选题)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是(　　) A．A⊆B B．A∩B＝∅ C．A∪B＝“至少一次中靶” D．A与B互为对立事件 事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥事件但不是对立事件，所以A，D错误，B正确；A∪B＝“至少一次中靶”，C正确． (2)(多选题)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有(　　) A．2张卡片不全为红色 B．2张卡片中恰有一张为红色 C．2张卡片中至少有一张为红色 D．2张卡片都为绿色 C中“2张卡片中至少有一张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者并非互斥；A中“2张卡片不全为红色”与“2张卡片都为红色”是对立事件．B，D正确，故选BD. 【例2】　(1)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为(　　) A． 　　B． 　　C． 　　D． 甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6×6＝36种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有A＝30种，则其概率为＝.故选A. (2)两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图①所示，则符合这一结果的试验是(　　) A．抛一枚硬币，正面朝上的概率 B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 C．转动如图②所示的转 盘，转到数字为奇数的概率 D．从装有2个红球和1 个蓝球的口袋中任取一个球恰 好是蓝球的概率 根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率P＝，选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；选项B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；选项C，转动如题图所示的转盘，转到 数字为奇数的概率为，故此 选项不符合题意；选项D，从 装有2个红球和1个蓝球的口 袋中任取一个球恰好是蓝球的 概率为，故此选项符合题意．故选D. [规律方法]　(1)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． (2)利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率. 【训练2】　(多选题)某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人数，剩下的为食用米线、汉堡等其他食品(每人只选一种)，结果如表所示： 总人数 食用大米套餐人数 食用面食人数 1 000 550 260 假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套餐”为事件M，“吃面食”为事件N，“吃米线、汉堡等其他食品”为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则下列结论正确的是(　　) A．P(M)＝0.55 B．P(N)＝0.26 C．P(H)＝0.19 D．P(N∪H)＝0.65 用频率估计概率得P(M)＝＝0.55，P(N)＝＝0.26，P(H)＝＝0.19，故A，B，C正确；P(N∪H)表示事件N发生或事件H发生，且N与H互斥，故P(N∪H)＝P(N)＋P(H)＝0.26＋0.19＝0.45，故D错误． 【例3】　从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示： 红灯 个数 0 1 2 3 4 5 6个及 6个以上 概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03 (1)求表中字母a的值； 由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2. (2)求至少遇到4个红灯的概率； 设事件A为“遇到红灯的个数为4”，事件B为“遇到红灯的个数为5”，事件C为“遇到红灯的个数为6个及6个以上”，则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C，因为事件A，B，C 互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4 个红灯的概率为0.33. (3)求至多遇到5个红灯的概率． 设事件D为“遇到6个及6个以上红灯”，则“至多遇到5个红灯”为事件.则P()＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97，所以至多遇到5个红灯的概率为0.97. [规律方法]　事件关系的运算策略 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义．二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式．三是间接法：正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，一般用间接法求解更简单. 【训练3】　(1)已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P()＝(　　) A．0.5 　　B．0.1 　　C．0.7 　　D．0.8 因为随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，所以P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，所以P()＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5. (2) 为有效落实家校共育，某校派出教师进行家访，了解家庭对孩子的教育情况．一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示： 派出人数 3 4 5 ≥6 概率 0.36 0.3 0.2 0.04 则该校本月至多派出3名教师进行家访的概率为________. 0.46 由题表得，该校本月至少派出4名教师进行家访的概率为P1＝0.3＋0.2＋0.04＝0.54，所以至多派出3名教师进行家访的概率为P2＝1－0.54＝0.46. 【微点拓展】 求复杂互斥事件的概率的两种方法 (1)直接法 (2)间接法：正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，一般用间接法求解更简单． 【典例】　某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有16个四种不同颜色，但形状、大小完全相同的小球，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、不中奖．其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖．从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为.现小华同学获得一次抽奖机会． (1)求小华不能中奖的概率； 设“小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖”的事件分别为A，B，C，D，它们彼此是互斥事件，由题意得P(A)＝，P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝，由对立事件的概率公式得P(D)＝1－P(A＋B＋C)＝1－P(B＋C)－P(A)＝1－－＝，所以小华不能中奖的概率为. (2) 若小华中一等奖或二等奖的概率是，试计算黄球的个数． 因为P(A＋B)＝，又P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，所以P(B)＝－＝.因为P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝，所以P(C)＝－＝，所以小华中三等奖的概率为，所以黄球的个数为16×＝5. 【微练】　围棋起源于中国，是一种策略型两人棋类游戏，中国古时称“弈”，属“琴棋书画”四艺之一．现有一围棋盒子中有多枚黑子和白子，若从中取出的2枚都是黑子的概率是0.1，都是白子的概率是0.3，则从盒中任意取出2枚恰好是一黑一白的概率是(　　) A．0.4　　　 B．0.6　　　 C．0.1　　　 D．0.3 取出的2枚都是黑子的事件记为A1，取出的2枚都是白子的事件记为A2，显然A1与A2互斥，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.3，从盒中任意取出2枚恰好是一黑一白的事件记为A，其对立事件是A1＋A2，所以从盒中任意取出2枚恰好是一黑一白的概率P(A)＝1－P(A1＋A2)＝1－P(A1)－P(A2)＝0.6.故选B. $$