第10章 第3节 二项式定理-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第三节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 二项式定理 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 通项的应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 二项式系数与项的系数和问题 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 二项展开式中的最值问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十二） 本部分内容讲解结束 1．理解二项式定理、掌握二项式系数的性质． 2．会利用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T13 全国Ⅱ卷 重点提示：二项式定理通项、二项式系数的性质 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝_____________________________________(n∈N*)． (2)通项：Tk＋1＝________，它表示第________项． (3)二项式系数：(a＋b)n的二项展开式中各项的系数C(k＝0,1,2，…，n)． Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn Can－kbk 　k＋1 C 2．二项式系数的性质 对称性：与首末“等距离”的两个二项式系数相等，即__________． 增减性：当k＜(n∈N*)时，C随k的增加而________；当k＞(n∈N*)时，C随k的增加而________． 最大值：当n为偶数时，中间的一项______取得最大值；当n为奇数时，中间的两项C与C相等，且同时取得最大值． C＝C　 增大　 减小 3．各二项式系数的和 (1)(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝________. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝________. 2n　 2n－1 【常用结论】 1．在二项式定理中，令a＝1，b＝x得(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn. 2．若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则： (1)a0＋a1＋a2＋…＋an＝f(1)． (2)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝. (3)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 令r＝1，得T2＝Cx4(－1)1＝－5x4，所以x4项的系数为－5，故正确． × 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　) (2)(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同．(　　) (3)(x－1)5的展开式中x4项的系数为－5.(　　) (4)(a＋b)n的展开式中一定有常数项．(　　) × √ √ 2．(人A选三P31T4改编)(x－2)10的展开式的第6项的系数是(　　) A．26C B．－26C C．25C D．－25C T6＝Cx5(－2)5，所以第6项的系数是－25C.故选D. 3．(苏教选二P96T9)若6展开式中的常数项为60，则常数a的值为(　　) A．4 　　B．2 　　C．8 　　D．6 由二项式定理得Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－1)r·a·x6－3r.令6－3r＝0，得r＝2，故15a＝60，a＝4. 4．(人A选三P38T3(5)改编)在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________． 令x＝1可得各项系数的和为(1－2)10＝1. 1 角度1　(a＋b)n(n∈N*)型展开式问题 【例1】　(1)若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　) A．2 　　B． 　　C．1 　　D． 二项式7展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cx7－rr＝Carx7－2r.又展开式中的系数是84，即7－2r＝－3，解得r＝5.所以Ca5＝84，解得a＝.故选B. (2)(2023·天津高考)在6的展开式中，x2的系数是________． 60 解法一：二项式6展开式的通项Tk＋1＝C(2x3)6－kk＝(－1)k26－k·Cx18－4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为(－1)4×22×C＝60. 解法二：将二项式6看成6个多项式相乘，要想出现x2项，则先在2个多项式中分别取2x3，然后在余下的多项式中都取－相乘，即C(2x3)2×C4＝60x2，所以x2的系数为60. [规律方法]　求与特定项相关量的步骤 (1)利用二项式定理写出二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)． (2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k. (3)把k代入通项中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量. 角度2　(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)型展开式问题 【例2】　(1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　) A．56 　　B．84 　　C．112 　　D．168 在(1＋x)8的展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4的展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168. (2)(2022·新课标Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． －28 (x＋y)8 展开式的通项Tr＋1＝Cx8－ryr，r＝0,1，… ,7,8.令r＝6，得T6＋1＝Cx2y6，令r＝5，得T5＋1＝Cx3y5，所以(x＋y)8 的展开式中x2y6 的系数为C－C＝－28. [规律方法]　求两个因式之积的特定项(或系数)的两种常用方法 (1)对每一个二项式展开，利用多项式乘法法则对其展开即可． (2)先利用运算性质对其进行化简，再利用二项式定理进行展开. 【对点练】 1．(角度1)已知二项式5的展开式中的系数是10，则实数a＝(　　) A．－1 　　B．1 　　C．－2 　　D．2 二项式5的展开式的通项为C·x5－r·(ax－1)r＝ar·C·x5－2r，令5－2r＝－1，解得r＝3，所以a3·C＝10a3＝10，解得a＝1. 2．(角度2)(2025·江苏模拟)(x2＋2x＋3)(2x＋1)6的展开式中，x2的系数是________. 205 (x2＋2x＋3)(2x＋1)6＝(x2＋2x＋3)(1＋2x)6＝(x2＋2x＋3)·2k·xk，所以x2的系数为C20＋2×C×21＋3×C×22＝205. 【微点拓展】 (a＋b＋c)n型展开式问题 求解(a＋b＋c)n(n∈N*)型展开式中问题的方法 (1)因式分解法：将三项式利用因式分解变化为两个二项式，然后再用二项式定理求解问题． (2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题． (3)组合知识法：把(a＋b＋c)n看成n个(a＋b＋c)的积，利用组合知识分析项的构成． 【典例】　在5的展开式中，x2的系数为(　　) A．－50　　B． －120　　C． 120　　D． 50 解法一：5＝5，通项为Tr＋1＝C(x－2)5－rr，r＝0,1,2,3,4,5.当r＝0 时，x2的系数为CC×(－2)3，当r＝1 时，x2的系数为CC×(－2)1，当r＝2,3,4,5时，不会出现含x2 的项，所以x2 的系数为CC(－2)3＋CC(－2)1＝－80－40＝－120. 解法二：5＝5＝，x2的系数即为(x－1)10 的展开式中x7 的系数，所以x2 的系数为C×(－1)3＝－120. 解法三：5 表示5个因式x＋－2 的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选x，其余的3个因式都选－2，相乘可得含x2 的项；或者有3个因式选x，有1个因式选，1个因式选－2，相乘可得含x2 的项，故x2 的系数为C×(－2)3＋CC×(－2)＝－120.故选B. 【微练】　(1)6的展开式中，x3y3的系数是________(用数字作答)． －120 6表示6个因式的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是CC×(－2)＝20×3×(－2)＝－120. (2)(2x2＋y＋1)5的展开式中，x4y2的系数为________(用数字作答). 120　 将(2x2＋y＋1)5看作5个因式(2x2＋y＋1)相乘，根据x4y2的指数可得5个因式中有两个选2x2，两个选y，一个选1，进行相乘，即(2x2＋y＋1)5的展开式中x4y2的系数为C×22×C＝120. 【例3】　(1)(2025·成都诊断)已知n的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为(　　) A．212 　　B．312 　　C．310 　　D．210 因为n，且第3项与第9项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，取x＝1，所以所有项的系数之和为310. (2)(多选题)若(3x－2)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 025x2 025(x∈R)，则(　　) A．a0＝22 025 B．a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝ C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝ D．＋＋＋…＋＝22 025－1 对于A，当x＝0时，a0＝(－2)2 025＝－22 025，A错误；对于B，C，当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＝12 025＝1，当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝－52 025，所以a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝，a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝，所以B正确，C错误；对于D，当x＝时，2 025＝a0＋＋＋…＋，所以＋＋＋…＋＝(－1)2 025－a0＝22 025－1，D正确． [规律方法]　求二项式系数与项的系数和的方法 (1)二项式系数直接运用公式： ①(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2n. ②奇(偶)数项的二项式系数的和：C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. (2)项的系数和常用“赋值法” 若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 【训练】　(1)(多选题)已知2n＋1的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则(　　) A．n＝4 B．展开式中所有项的系数和为1 C．展开式中二项式系数和为24 D．展开式中不含常数项 由题意得＝，则＝，解得n＝4，故A正确；所以2n＋1＝9，令x＝1，则所有项的系数之和为－1，故B错误；所以9的二项式系数和为29，故C错误；9的通项公式为Tk＋1＝C9－k(－2x)k＝C(－2)kx2k－9，若Tk＋1为常数项，则有2k－9＝0，解得k＝∉N，所以不存在常数项，故D正确． (2)(2025·西安质检)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝(　　) A．1 　　B．243 　　C．121 　　D．122 令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1　①，令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243　②，①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝122＋121＝243. 角度1　二项式系数的最值问题 【例4】　在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(　　) A．－126 B． －70 C． －56 D． －28 因为只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8，8的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCx8－k，k＝0,1,2，… ,8，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C＝－56. [规律方法]　二项式系数最大项的确定方法 (1)n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为C (2)n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为C或C. 角度2　项的系数的最值问题 【例5】　10的展开式中系数最大项为________． 15 360x4 因为Tr＋1＝C(2x)10－r＝C210－rx10－2r，所以得即解得≤r≤.因为r∈N，所以r＝3.故系数最大的项是第4项，第4项为T4＝C27x4＝15 360x4. [规律方法]　二项展开式中系数最大的求解方法 待定系数法：设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用注意解出k后要检验首末两项. 【对点练】 1．(角度1)(多选题)已知n(n∈N*)展开式中共有8项，则该展开式结论正确的是(　　) A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为8 C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项 A项，因为n的展开式共有8项，所以n＝7.故所有项的二项式系数和为27＝128，故A正确；B项，令x＝1，可得所有项的系数和为7≠8，故B错误；因为二项展开式的通项为Tr＋1＝C·x7－r·r＝r·C· x7－，r＝0,1,2，…，7，C项， 当r∈N*,1≤r≤6，设Tr＋1项系数最大， 由解得则r＝2，且T3＝C2x4＝x4，第3项系数为.当r＝0时，T1＝x7，系数为1，当r＝7时，T8＝C7x＝x，系数为，由<，1<，故第3项的系数最大，故C错误；D项，由7－为整数，且r＝0,1,2，…，7可知，r的值可以为0,2,4,6，所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确．故选AD. 2．(角度2)已知(1＋2x)6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则＝________. 12 由题意可知(1＋2x)6 展开式的二项式系数为C(r＝0,1，…6)，当r＝3 时，取得最大值a＝C＝20，(1＋2x)6展开式的系数为C2r，r＝0,1，… ,6，当满足 时，系数最大，即 所以即解得≤r≤.又因为r＝0,1，…，6，所以当r＝4 时，系数的最大值b＝C24＝240，则＝＝12. $$