第10章 第2节 排列与组合-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第二节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 排列与组合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 排列应用问题 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 组合应用问题 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 排列与组合的综合应用 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点四 分组、分配问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十一） 本部分内容讲解结束 1.理解排列、组合的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 3．能利用排列、组合解决简单的实际问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T13 全国Ⅱ卷 重点提示：排列数、组合数 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照______________排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 一定的顺序 2.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 不同排列　 不同组合 n！ C＋C 3．排列数、组合数的公式及性质 (1)A＝______________________________＝. (2)C＝＝＝________________(n，m∈N*，且m≤n)，规定C＝1. 4．排列数、组合数的性质 (1)0！＝________；A＝________. (2)C＝C；C＝____________. n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　 1　 【常用结论】 1．A＝(n－m＋1)A. 2．A＝nA. 3．(n＋1)！－n！＝n·n！. 4．kC＝nC. 5．C＋C＋…＋C＋C＝C. 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)从3,5,7,11中任取两个数相除属于组合问题．(　　) × 由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题，故错误． (2)若组合数公式C＝C，则x＝m成立．(　　) × 若组合数公式C＝C，则x＝m或x＋m＝n. (3)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．(　　) √ 由于从三个元素中取两个元素与顺序无关，所以是组合问题，故正确． (4)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(　　) × A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，故错误． 2．(多选题)若C＝C，则正整数x的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 因为C＝C，所以2x－1＝x或2x－1＋x＝11，解得x＝1或x＝4.经检验，x＝1或x＝4满足题意．故选AD. 3．(人A选三P27T13改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是(　　) A．18 　　B．24 　　C．30 　　D．36 选出的3人中有2名男同学、1名女同学的方法有CC＝18(种)，选出的3人中有1名男同学、2名女同学的方法有CC＝12(种)，故3名学生中男、女生都有的选法有18＋12＝30(种)． 4．(人B选二P12例5改编)用0,1,2，…，9这10个数字可以组成________个没有重复数字的三位数． 648 【例1】　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法种数． (1)选5人排成一排； 从7人中选5人排列，排法有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； 分两步完成，先选3人站前排，有A种排法，余下4人站后排，有A种排法，故排法共有AA＝5 040(种)． (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； 解法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，故排法共有5×A＝3 600(种)． 解法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，故排法共有AA＝3 600(种)． (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种排法，再将女生全排列，有A种排法，故排法共有AA＝576(种)． (5)全体排成一排，男生互不相邻； (插空法)先排女生，有A种排法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种排法，故排法共有AA＝1 440(种)． (6)男生顺序已定，女生顺序不定． (定序问题)7名学生站成一排，有A种排法，其中3名男生的排法有A种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有＝840(种)． [规律方法]　排列题常见求解方法 (1)相邻问题采用“捆绑法”． (2)不相邻问题采用“插空法”． (3)有限制元素采用“优先法”． (4)特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 【训练1】　(1)(2022·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24(种)．故选B. (2)(2025·黄冈模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有(　　) A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放A，B，共有A种放法；再排剩余的3道程序，共有A种放法．则共有A·A＝36(种)放法． 【例2】　现有9件产品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，从中抽取3件产品． (1)试问共有多少种不同的抽法？ 从9件产品中抽取3件产品共有C＝84(种)． (2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种？ 从9件产品中抽取3件产品，其中一等品、二等品、三等品各1件有CCC＝24(种)． (3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种？ “抽出的3件产品中至少有1件二等品”的对立事件是“抽取的3件产品没有一件二等品”，因此抽出的3件产品中至少有1件二等品共有C－C＝64(种)． [规律方法]　组合问题常见求解方法 【训练2】　(1)(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有CC＝20(种)情况．由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120(种)选法，故选C. (2)(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答). 64　 当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有CC＝16种．当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有CC＝24种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有CC＝24种．综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种)． 【微点拓展】 相同元素的分配问题解决方法——隔板法 将所有相同元素视为小球，紧挨着成一行放置，在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法． 【典例】　(2025·南京模拟)20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有(　　) A．120种　　　　　　 B．240种 C．360种 D．720种 先在编号为2号，3号的盒内分别放入1个球和2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有C＝120(种)放法． 【微练】　从某校4个班级的学生中选出7名学生参加志愿者服务，若每个班级至少有一名志愿者，则共有________种不同的选法．(用数字作答) 20 由题意，从4个班级的学生中选出7名志愿者，每个班级至少有一名志愿者，相当于7个球排成一排，中间有6个空隙，然后插3块隔板把它们分成4份，共有C＝20(种)不同的选法． 【例3】　(1)(2024·安徽二模)甲乙两人分别从a，b，c，d，e五项不同科目中随机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有(　　) A．30种 　　 B．60种 C．45种 　　 D．90种 两人恰好有两项科目相同的选法为CA＝60.故选B. (2)某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有(　　) A．192种 　　 B．252种 C．268种 　　 D．360种 若甲乙不值班，值班安排有A＝24(种)；若甲乙只有一人不值班，值班安排有CCAA＝144(种)；若甲乙都值班，值班安排有C(A＋CCA)＝84(种)，所以值班安排共有252种．故选B. [规律方法]　解决简单排列组合综合问题的常用方法 (1)将问题分类(按元素或位置)． (2)按计数原理进行计算. 【训练3】　(2025·石家庄模拟)积极参加公益活动是践行社会主义核心价值观的具体行动．现将包含甲、乙两人的5位同学分成2个小组分别去敬老院和老年活动中心参加公益活动，每个小组至少一人，则甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法的总数为(　　) A．12 　　B．14 　　C．15 　　D．16 若按1∶4分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有2A＝4(种)；若按2∶3分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有(CC－4)A＝12(种)．故甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有4＋12＝16(种)．故选D. 角度1　不等分问题 【例4】　6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有CCC＝60(种)不同的安排方法． [规律方法]　不同元素的不等分问题解决方法 (1)先分组，任何组中元素的个数都不相等． (2)再排列，注意分组时不需要除以全排列数. 角度2　整体均分问题 【例5】　近年来喜欢养宠物猫的人越来越多．某猫舍只有5个不同的猫笼﹐金渐层猫3只(猫妈妈和2只小猫崽)、银渐层猫4只、布偶猫1只．该猫舍计划将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排有(　　) A．8种 B．30种　 C．360种 D．1 440种 根据题意，将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，则把3只金渐层猫看成是1个整体，4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，则分组方法有＝3(种)，一共有4个整体进行排列放在5个不同的猫笼里，则不同的安排有A×3＝360(种)．故选C. [规律方法]　不同元素的均分问题解决方法 对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数. 角度3　部分均分问题 【例6】　(2025·聊城模拟)某综合性大学数学科学学院为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有________种不同的选修方式(用数字作答)． 54 由题意可知三年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，则四门学科可按2,1,1和2,2,0两种情况分成三组，若按2,1,1分成三组，有C＝6(种)分组方法，若按2,2,0分成三组，有＝3(种)分组方法，所以每位学生共有(6＋3)A＝54(种)不同的选修方式． [规律方法]　不同元素的部分均分问题解决方法 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数. 【对点练】 1．(角度1)第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有(　　) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有CA＝6(种)，②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有CCA＝18(种)．所以不同的安排方法共有6＋18＝24(种)．故选C. 2．(角度3)某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式种数为(　　) A．1 176 B．2 352 C．1 722 D．1 302 由题意可知，7名工作人员的分组方式有(1,1,5)，(2,2,3)，(3,3,1)三种情况；把7名工作人员分为1,1,5三组，则不同的安排方式共有·A＝126(种)；把7名工作人员分为2,2,3三组，不同的安排方式共有·A＝630(种)；把7名工作人员分为3,3,1三组，不同的安排方式有·A＝420(种)，综上，不同的安排方式种数为126＋630＋420＝1 176. 3．(角度2)甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案有________种． 90 甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案种数为×A＝90. $$