第9章 第3节 第2课时 列联表与独立性检验-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第九章 统计与成对数据的统计分析 第三节 第九章　统计与成对数据的统计分析 成对数据的统计分析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第2课时 第三节　成对数据的统计分析 列联表与独立性检验 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 分类变量的统计表示形式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 列联表与χ2的计算 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 列联表与独立性检验 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点四 独立性检验的综合应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（七十九） 本部分内容讲解结束 1．分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示． 2．列联表 关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 3.零假设 以Ω为样本空间的古典概型，设X和Y为定义在Ω上，取值于{0,1}的成对分类变量． H0：______________________.通常称H0为零假设或原假设． 分类变量X和Y独立 4．χ2公式 根据列联表知，χ2＝. 对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得下面关系成立：P(χ2≥xα)＝α. 我们称xα为α的________，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准，概率值α越小，临界值xα越大． 临界值 　根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则认为两分类变量有关的把握越大. 5．独立性检验 基于小概率值α的检验规则是： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y________，该推断犯错误的概率不超过________； 当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y________. 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 不独立 　α　 独立 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数．(　　) (2)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理成绩优秀．(　　) √ × (3)χ2的值越小，说明两事件相关程度越小．(　　) (4)在2×2列联表中，若|ad－bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强．(　　) √ × 在2×2列联表中，若|ad－bc|越大，则说明两个分类变量之间关系越强． 2．(人A选三P132例3改编)人工智能的发展为许多领域带来了巨大的便利，但同时也伴随着一些潜在的安全隐患．为了调查人们对人工智能所持的态度，某机构从所在地区随机调查100人，所得结果统计如下： 年龄在50岁以 上(含50岁) 年龄在 50岁以下 性别 男 女 男 女 持支持态度 15 10 30 15 不持支持态度 10 10 5 5 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为所持态度与年龄________(填“有关”或“无关”)． 有关 由题可得如下2×2列联表： 年龄在50岁以 上(含50岁) 年龄在50 岁以下 总计 持支持态度 25 45 70 不持支持态度 20 10 30 总计 45 55 100 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈8.129>6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为所持态度与年龄有关． 3．某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对样本观测数据的分类统计结果，并计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独立性检验的小概率值和相应的临界值，知x0.01＝6.635，则下列判断正确的是(　　) A．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010 B．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生 C．数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01 D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为数学成绩优秀与性别无关 因为χ2≈6.816>6.635＝x0.01，所以数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01，即在犯错误率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故C正确，D错误；若某人数学成绩优秀，由已知数据不能判断他为男生的概率，故A错误；每100个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，由已知数据不能确定结论，故B错误，故选C. 【例1】　(1)某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 每年体检(人) 每年未体检(人) 合计(人) 老年人 a 7 c 年轻人 6 b d 合计 e f 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是(　　) A．a＝18 B．b＝19 C．c＋d＝50 D．e－f＝2 因为抽取的村民中，老年人有25名，年轻人有25名，所以c＝25，d＝25，所以a＝25－7＝18，b＝25－6＝19，A、B对；所以e＝a＋6＝18＋6＝24，f＝7＋b＝7＋19＝26，则c＋d＝50，C对；则e－f＝24－26＝－2，D错．故选D. (2)(2025·长春模拟)观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是(　　) 观察等高堆积条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之间关系最强． [规律方法]　分类变量的两种统计表示形式 (1)等高堆积条形图：根据等高堆积条形图的高度差判断两分类变量是否有关联及关联性的强弱． (2)2×2列联表：直接利用2×2列联表中的数据进行计算分析，用定量的方式判断两分类变量是否有关联及关联性的强弱. 【训练1】　(1)如图是学校高二1班、2班期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么(　　) A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的 一定多于优秀的 D．两班学生的数学成绩优秀率存在差异 原图是学校高二1、2班期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误；两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，故D错误．故选A. (2)在下列两个分类变量X，Y的样本频数列联表中，可以判断X、Y之间有无关系的是(　　) X Y 合计 y1 y2 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d A． B． C． D． 因为χ2＝，则分类变量X和Y有关系时，ad与bc差距会比较大，由－＝＝，故与的值相差应该大，即的大小可以判断X，Y之间有无关系．故选D. 【例2】　有甲、乙两种过滤水中重金属的设备，为了检验使用这两种设备与过滤后水中重金属含量的关系，各过滤了15瓶受重金属污染的相同水体，调查得出以下数据： 重金属含量高 重金属含量低 设备甲 6 9 设备乙 1 14 根据以上数据，则χ2＝(　　) A． 　　B． 　　C． 　　D． 由题意得到如下2×2列联表： 重金属含量高 重金属含量低 合计 设备甲 6 9 15 设备乙 1 14 15 合计 7 23 30 所以χ2＝＝.故选A. [规律方法]　2×2列联表是4行4列，计算时要准确无误，关键是对涉及的变量分清类别. 【训练2】　某校团委对“学生喜欢体育和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢体育的人数占男生人数的，女生喜欢体育的人数占女生人数的，若依据α＝0.05的独立性检验，认为是否喜欢体育和性别有关，则调查人数中男生人数可能是(　　) α 0.050 0.010 xα 3.841 6.635 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. A．35 　　B．39 　　C．40 　　D．50 设男生女生人数均为x，则在2×2列联表中a＝x，b＝x，c＝x，d＝x，χ2＝＝，若依据α＝0.05的独立性检验，认为学生是否喜欢体育和性别有关，可知>3.841，解得x>40.330 5，又x是5的整数倍，可得男生人数可取50.故选D. 【例3】　(2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 s 服用 150 70 220 合计 250 t 400 (1)求s，t； s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150. (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p，给出p的估计值； p＝＝. (3)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？ 附：χ2＝ α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 零假设H0：药物A对预防疾病B无效，根据列联表中的数据可求得χ2＝＝≈6.73>6.635，根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可推断H0不成立．因此认为药物A对预防疾病B有效． [规律方法]　独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表． (2)根据公式χ2＝计算． (3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断. 【训练3】　(1)(2024·枣庄一模)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 经计算得到χ2≈4.881，根据小概率值α＝0.005的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.005＝7.879)，则可以认为(　　) A．两种疗法的效果存在差异 B．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005 C．两种疗法的效果没有差异 D．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005 零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．根据列联表中的数据，χ2≈4.881<7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异．故选C. (2)某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各50名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男市民 60－m m－10 女市民 m＋10 40－m 当m≤25，m∈N*时，若在α＝0.05的情况下，我们没有充分的证据推断男、女市民对大会的评价有差异，则m的最小值为________． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.005 xα 2.706 3.841 7.879 21 由题意得χ2＝＝＝，并令χ2＝<3.841，即(2 500－100m)2<201 652.5，近似解得－450<2 500－100m<450，即20.5<m<29.5，注意到m≤25，m∈N*，故m的最小值为21. 【例4】　(2025·南京模拟)某高中为了了解高中学生暑假期间阅读古典名著的时间x(小时/每周)和他们的语文成绩y(分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据(表一)． 表一 编号 1 2 3 4 5 阅读时间x 2 4 7 7 10 语文成绩y 82 93 95 108 122 (1)请根据所给数据求出语文成绩y的平均数和方差； ＝＝100，s2＝[(82－100)2＋(93－100)2＋(95－100)2＋(108－100)2＋(122－100)2]＝189.2，所以语文成绩y的平均数为100，方差为189.2. (2)基于上述调查，学校为了确认学生喜欢阅读古典名著与语文成绩的关系，抽样调查了200名学生．按照是否喜欢阅读古典名著与语文成绩是否优秀统计，得到下列数据(表二)．请依据表中数据及小概率值α＝0.01的独立性检验，分析“喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀”是否有关． 表二 语文成绩优秀 语文成绩不优秀 合计 喜欢阅读 75 25 100 不喜欢阅读 55 45 100 合计 130 70 200 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 零假设为H0：喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀无关． 根据数据，因为χ2＝＝≈8.791>6.635＝x0.01，所以依据α＝0.01的独立性检验，H0不成立，故可以认为“喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀”有关． [规律方法]　独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公式一般会在原题中给出. 【训练4】　(2025·河北联考)小家电指除大功率、大体积家用电器(如冰箱、洗衣机、空调等)以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模(单位：千亿元)，其中年份对应的代码依次为1～5. 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 0.9 1.2 1.5 1.4 1.6 (1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明； 由已知得＝＝3，＝1.32，(xi－)2＝10, ≈0.55，(xi－)(yi－)＝iyi－5＝21.4－5×3×1.32＝1.6，所以r≈≈0.92.因为y与x的样本相关系数近似为0.92，说明y与x的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系． (2)建立y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01)； 由题可得，iyi＝21.4，＝12＋22＋32＋42＋52＝55，＝＝＝0.16，＝－＝1.32－0.16×3＝0.84，故y关于x的经验回归方程为＝0.16x＋0.84. (3)某传媒公司为了了解中国智能小家电消费者年龄分布，随机调查了200名消费者，统计这200名消费者年龄，按照青少年与中老年分为两组，得到如下2×2列联表： 青少年 中老年 合计 喜欢购买智能小家电 80 不喜欢购买智能小家电 60 合计 110 200 依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，能否认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关？ 参考数据：＝1.32，iyi＝21.4，≈0.55，≈3.16. 参考公式：样本相关系数r＝，经验回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝，＝－.χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. 附： α 0.10 0.010 0.001 xα 2.706 6.635 10.828 由题意可得如下2×2列联表： 青少年 中老年 合计 喜欢购买智能小家电 80 30 110 不喜欢购买智能小家电 30 60 90 合计 110 90 200 零假设为H0：是否喜欢购买智能小家电与年龄无关．所以χ2＝≈31.038>10.828，所以依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，推断H0不成立，即认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关． $$