第9章 第3节 第1课时 变量的相关性与一元线性回归模型-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第九章 统计与成对数据的统计分析 第三节 第九章　统计与成对数据的统计分析 成对数据的统计分析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第1课时 第三节　成对数据的统计分析 变量的相关性与一元线性回归模型 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 7 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 成对数据的统计相关性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 回归模型及应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 样本相关系数的应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点四 残差分析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（七十八） 本部分内容讲解结束 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的经验回归方程系数公式建立经验回归方程． 3．了解独立性检验及回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T20 全国Ⅱ卷 重点提示：经验回归方程、独立性检验 1．变量的相关关系 (1)相关关系的分类：正相关和负相关． (2)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在__________附近，我们就称这两个变量线性相关． (3)非线性相关：一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 一条直线 相关关系与函数关系不同，函数关系中的两个变量间是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度的这种关系. 2．样本相关系数 (1)样本相关系数r的计算． 变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下： r＝. 强 　弱 (2)样本相关系数r的性质． ①当r>0时，称成对样本数据____相关； 当r<0时，称成对样本数据____相关； 当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系． ②样本相关系数r的取值范围为________． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越____； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越____． 正　 负　 [－1,1] 3．一元线性回归模型 (1)最小二乘法 求经验回归直线使得样本数据点到经验回归直线的________________ _________的方法叫做最小二乘法． (2)经验回归方程为＝x＋，其中＝，＝－. 竖直距离平方和 最小 4．判断回归模型的拟合效果 由成对样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)按照最小二乘法得到经验回归方程＝x＋，其中y叫做观测值，叫做预测值，残差e＝y－.相应于样本点(xi，yi)的随机误差i＝yi－i＝yi－(xi＋)． (1)残差分析法 ①作残差图：作图时纵坐标为________，横坐标可以选为样本编号，或xi数据，或yi数据，这样作出的图形称为残差图； ②残差分析：残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高． 残差 (2)决定系数(R2)法：R2＝1－，R2越大，模型的拟合效果越好；R2越小，模型的拟合效果越差． 【常用结论】 1．经验回归直线过样本点的中心(，)． 2．根据经验回归方程计算的值，仅是一个预测值，不是真实发生的值． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)相关关系是一种非确定性关系．(　　) (2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(　　) √ √ (3)经验回归直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(　　) (4)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．(　　) × 经验回归直线＝x＋恒过样本中心点(，)． √ 2．(苏教选二P153“思考”改编)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(　　) 3．(多选题)在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)利用最小二乘法得到两个变量的经验回归方程为＝x＋，那么下列说法正确的是(　　) A．直线＝x＋必经过点(，) B．直线＝x＋表示最接近y与x之间真实关系的一条直线 C．相关系数为r，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小 D．用决定系数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好 直线＝x＋必过样本点中心即点(，)，故A正确；直线＝x＋是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故B正确；相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关程度越强，越接近于0，相关程度越弱，故C正确；用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，故D错误． 4．(人A选三P113T2改编)某车间为了确定加工某零件所花费的时间，进行了5次试验，根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得经验回归方程为＝0.67x＋54.9. 零件数x/个 10 20 30 40 50 加工时间y/分钟 62 75 81 89 现发现表中有一个数据看不清，则该数据的值为________． 由已知得＝30，则＝0.67×30＋54.9＝75.设所求数据为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，解得a＝68. 68 【例1】　(1)(2023·天津高考)鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”．鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名(图①)，寓意鹏程万里、前途无量．通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位：cm)，绘制对应散点图如图②.计算得样本相关系数为0.864 2，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为＝0.750 1x＋0.610 5.根据以上信息，如下判断正确的为(　　) A．花萼长度与花瓣长度不存在相关关系 B．花萼长度与花瓣长度负相关 C．花萼长度为7 cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.861 2 cm D．若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.864 2 样本相关系数为0.864 2，这说明成对样本数据之间存在正相关关系，故A和B错误；把x＝7代入经验回归方程＝0.750 1x＋0.610 5，得＝5.861 2，故C正确；由于样本发生变化， 样本相关系数不一定相同，故D错 误．选C. (2)如图对两组数据x，y和v，u分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得线性回归方程分别是y＝b1x＋a1和u＝b2v＋a2，并对变量x，y进行线性相关检验，得到相关系数r1，对变量v，u进行线性相关检验，得到相关系数r2，则下列判断正确的是(　　) A．b1>0 B．b2<0 C．|r1|<|r2| D．r1＋r2<0 由散点图可知，x与y负相关，v与u正相关，则b1<0，b2>0，故A、B错误；且图形中点(x，y)比点(v，u)更加集中在一条直线附近，则|r1|>|r2|，又r1<0，r2>0，得r1＋r2<0.故C错误，D正确．故选D. [规律方法]　判定两个变量相关性的方法 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关． (2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近于1，线性相关性越强． (3)经验回归方程：当>0时，正相关；当<0时，负相关. 【训练1】　(2025·黄冈模拟)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn互不相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x－5上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　) A．－ 　　B． 　　C．－1 　　D．1 由题意可知，所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x－5上，则这组样本数据完全正相关，且样本相关系数为1，故选D. 角度1　线性回归模型及应用 【例2】　(1)(多选题)下表是某市1～5月份新能源汽车销量y(单位：千辆)与月份x的统计数据， 由表中数据求得经验回归方程为＝0.7x＋，则下列说法正确的是(　　) A．＝3.9 B．y与x正相关 C．由经验回归方程估计，月份每增加1个月，销量平均增加0.7千辆 D．由已知数据可以确定，6月份该市新能源汽车销量一定为8.1千辆 月份x 1 2 3 4 5 销量y 5 5 6 6 8 由＝＝3，＝＝6，得样本点的中心为(3,6)，代入＝0.7x＋，得6＝0.7×3＋，解得＝3.9，故A正确；由经验回归方程的系数是0.7>0，知y与x正相关，且月份每增加1个月，销量平均增加0.7千辆，故B、C正确；经验回归方程只能预测趋势，不能确定销量，故D错误．故选ABC. (2)(2025·蚌埠模拟)某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表： 利率上升百分点x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 日均存款总额y(亿元) 0.2 0.35 0.5 0.65 0.8 ①在给出的坐标系中画出上表数据的散点图； 如图所示． ②根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程＝x＋； 由表格数据可得＝×(0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5)＝0.3，＝×(0.2＋0.35＋0.5＋0.65＋0.8)＝0.5，所以＝＝＝1.5，＝－＝0.5－1.5×0.3＝0.05，故＝1.5x＋0.05. ③已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据(2)中的经验回归方程，预测日均存款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？ 参考公式及数据：①＝，＝－，②iyi＝0.9，＝0.55. 设利率需上升x个百分点，由②，得0.625×2＝1.5x＋0.05，解得x＝0.8，所以预测利率需上升0.8个百分点． [规律方法]　一元线性回归模型分析问题的解题步骤 (1) 求经验回归方程 (2)利用经验回归方程进行预测 把经验回归方程看作一次函数，求函数值作为预测值. 角度2　非线性回归分析 【例3】　(1)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx 由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y＝a＋bln x．故选D. (2)(2025·广州质检)一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本．为了调查年技术创新投入x(单位：千万元)对每件产品成本y(单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi(i＝1,2,3，…，10)的数据进行分析，得到如 散点图，并计算得：＝6.8，＝70， ＝3，＝1.6，＝350. ①根据散点图可知，可用函数模型y＝＋α拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程； 令u＝，则y关于u的线性回归方程为y＝＋u，依题意，得＝＝＝200，＝－＝70－200×0.3＝10，则y＝10＋200u，所以y关于x的回归方程为y＝10＋. ②已知该产品的年销售额m(单位：千万元)与每件产品成本y的关系为m＝－＋＋＋100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据①的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？ (注：年利润＝年销售额－年投入成本) 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 由y＝10＋，得x＝，年利润M＝m－x－10＝－＋＋＋100－－10＝－(y－20)2＋90.8，当y＝20时，年利润M取得最大值，此时，x＝＝＝20，所以当年技术创新投入20千万元时，年利润的预报值最大． [规律方法]　非线性回归问题的求解步骤 (1)作出散点图或利用已知散点图． (2)根据散点图选择恰当的拟合函数． (3)作恰当变换，将其化成线性函数，求经验回归方程． (4)在(3)的基础上通过变换，可得非线性回归方程. 【训练2】　(1)(多选题)为研究混凝土的抗震强度y与抗压强度x的关系，某研究部门得到下表的样本数据： x 140 150 170 180 195 y 23 24 26 28 28 若y与x线性相关，且经验回归方程为＝0.1x＋，则下列说法正确的是(　　) A．＝9.1 B．当x增加1个单位时，y增加约0.1个单位 C．y与x正相关 D．若抗压强度为220时，抗震强度一定是33.1 由题意可得＝＝167，＝＝25.8，所以25.8＝0.1×167＋，解得＝9.1，所以经验回归方程为＝0.1x＋9.1，A正确；对于B，由＝0.1x＋9.1，可知当x增加一个单位时，y增加约0.1个单位，B正确；对于C，因为0.1>0，所以y与x正相关，C正确；对于D，当x＝220时，＝0.1×220＋9.1＝31.1，抗震强度约为31.1，D错误． (2)2024海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情．在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据(i，yi)，其中i＝1,2,3,4,5，yi为第i次入口人流量数据(单位：百人)，由此得到y关于i的回归方程＝log2(i＋1)＋5，∈N*，已知＝9，根据回归方程(参考数据：log23≈1.6，log25≈2.3)，可预测下午4点时入口游客的人流量为(　　) A．9.6 B．11.0 C．11.4 D．12.0 令z＝log2(i＋1)，则＝(log22＋log23＋log24＋log25＋log26)＝(4＋log25＋2log23)，又＝9，由＝·＋5，得＝≈＝，因为∈N*，所以≈2，则＝2log2(i＋1)＋5，下午4点时对应的是x＝7，可得＝2log28＋5＝11.0，故选B. 【例4】　(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得＝0.038，＝1.615 8，iyi＝0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； 设这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为，则＝＝0.06，＝＝0.39. (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； 由题意，得(xi－)2＝－102＝0.038－10×0.062＝0.002，(yi－)2＝－102＝1.615 8－10×0.392＝0.094 8，(xi－)(yi－)＝iyi－10 ＝0.247 4－10×0.06×0.39＝0.013 4，所以样本相关系数r＝＝≈≈0.97. (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：样本相关系数r＝，≈1.377. 设所有这种树木的根部横截面积总和为X，总材积量为Y，则＝，故Y＝×186＝1 209(m3)． [规律方法]　利用相关系数检验相关性关键点 (1)当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强； (2)当|r|越趋近于0时，两变量的线性相关性越弱. 【训练3】　(1)相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析． 方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程＝1x＋1，样本相关系数为r1；方案二：剔除点(10,32)，根据剩下的数据得到经验回归方程＝2x＋2，样本相关系数为r2.则(　　) A．0<r1<r2<1 B．0<r2<r1<1 C．－1<r1<r2<0 D．－1<r2<r1<0 由散点图可知这两个变量为负相关，所以r1<0，r2<0.因为剔除点(10,32)后，剩下点的数据线性相关性更强，|r2| 更接近1，所以－1<r2<r1<0.故选D. (2)(2025·山东青岛模拟)某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”，某种机械设备的使用年限x (单位：年)与失效费y (单位：万元)的统计数据如下表所示： 使用年限x (单位：年) 1 2 3 4 5 6 7 失效费y(单位：万元) 2.90 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.90 由上表数据可知，y 与x的样本相关系数为________． 0.99 (精确到0.01，参考公式和数据：r＝，(xi－)(yi－)＝14.00，(yi－)2＝7.08，≈14.08) 由题意，知＝＝4， ＝＝4.30，(xi－)2＝(1－4)2＋(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2＋(7－4)2＝28.所以r＝＝≈≈0.99.所以y 与x的样本相关系数近似为0.99. 【例5】　(1)某医院为了提高服务水平和病人满意度，对一周前出院的病人进行电话回访，主要涉及住院期间护士的服务态度、医生是否收取红包、对医院有什么建议等问题．某天上午回访的5人中，通话时间(单位：秒)如表所示： 序号x 1 2 3 4 5 时间y 37 65 21 m 32 根据表中数据，得到y关于x的经验回归方程＝x＋40.9.据此求出(5,32)残差为－7.4，则m＝(　　) (残差＝实际值－观测值) A．45 　　B．25 　　C．37 　　D．7 由题知，当x＝5时，＝5＋40.9＝32＋7.4＝39.4，解得＝－0.3，所以y关于x的经验回归方程为＝－0.3x＋40.9.当x＝＝3时，＝＝－0.3×3＋40.9＝40，所以×(37＋65＋21＋m＋32)＝40，解得m＝45，故选A. (2)已知x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用＝c1ec2x拟合时的决定系数为R，用＝x＋拟合时的决定系数为R，则R，R中较大的是________． R　 由散点图知，用＝c1ec2x拟合的效果比＝x＋拟合的效果要好，所以R>R，故较大者为R. [规律方法]　检验回归模型的拟合效果的两种方法 (1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果． (2)R2分析：通过公式计算R2，R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差. 【训练4】　(1)(多选题)(2025·滨州模拟)下列说法正确的是(　　) A．在经验回归方程＝－0.3x＋10中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位 B．在回归分析中，残差点分布的带状区域的宽度越窄表示拟合效果越差 C．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好 D．在一元线性回归模型分析中，决定系数R2用来刻画模型的拟合效果，若R2的值越小，则模型的拟合效果越好 在经验回归方程＝－0.3x＋10中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位，故A正确；在回归分析中，残差点分布的带状区域的宽度越窄表示拟合效果越好，故B错误；残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；在一元线性回归模型分析中，若R2的值越小，则模型的拟合效果越差，故D错误． (2)(多选题)变量x，y之间的相关数据如下表所示，其经验回归直线＝x＋经过点(10，m)，且相对于点(11,5)的残差为0.2，则(　　) x 9 9.5 10 10.5 11 y 11 10 m 6 5 A．m＝8 B．＝－2.8 C．＝36 D．残差和为0 因为经验回归直线＝x＋经过点(10，m)，所以m＝10＋，5m＝11＋10＋m＋6＋5，因为相对于点(11,5)的残差为0.2，所以5－(11＋)＝0.2，所以m＝8，＝－3.2，＝40，A正确，B错误，C错误；所以＝－3.2x＋40，当x＝9时，＝－3.2×9＋40＝11.2，当x＝9.5时，＝－3.2×9.5＋40＝9.6，当x＝10时，＝－3.2×10＋40＝8，当x＝10.5时，＝－3.2×10.5＋40＝6.4，当x＝11时，＝－3.2×11＋40＝4.8，所以残差和为11－11.2＋10－9.6＋8－8＋6－6.4＋5－4.8＝0，D正确．故选AD. $$