第9章 第2节 用样本估计总体-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第九章 统计与成对数据的统计分析 第二节 第九章　统计与成对数据的统计分析 用样本估计总体 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 样本的数字特征和百分位数的估计 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 总体集中趋势的估计 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 总体离散程度的估计 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（七十七） 本部分内容讲解结束 1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)、离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解集中趋势参数和离散程度参数的统计含义． 2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义． 3．结合实例，会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T9 全国Ⅱ卷 T4 重点提示：众数、平均数、中位数、百分位数、方差、标准差 1．百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．平均数、中位数和众数 (1)平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2＋…＋xn)就是这组数据的平均数，用表示，即＝____________________. (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在________的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的________(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数． (3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)叫做这组数据的众数． (x1＋x2＋…＋xn) 最中间 　平均数 3．方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，平均数记为，则 方差：s2＝(xi－)2； 标准差：s＝ 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度. 【常用结论】 1．若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a. 2．数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变． 3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. √ 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的底边中点的横坐标之和．(　　) (2)一组数据的第p百分位数可以不唯一．(　　) (3)标准差、方差的取值范围为(0，＋∞)．(　　) (4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　　) × √ × 2．(人A必二P215T2改编)若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1,2x2，…，2x9的方差为(　　) A．2 　　B．4 　　C．6 　　D．8 根据方差的性质可知，数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，那么数据2x1,2x2，…，2x9的方差为22s2＝8.故选D. 3．(人B必二P70练习AT2改编)计算数据1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的40%分位数为________． 将数据从小到大排列后可得1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，因为10×40%＝4，所以这组数据的40%分位数是＝4.5. 4.5　 4．(人A必二P205例4改编)有一组数据：－1，a，－2,3,4,2，它们的中位数是1，则这组数据的平均数是________． 数据－1，a，－2,3,4,2，已知除a以外的数据从小到大排序为－2，－1,2,3,4，要使得中位数为1，则a在第3位或第4位，即＝1，a＝0，经检验符合题意，所以这组数据的平均数是＝1. 1 【例1】　(1)(2024·九省适应性考试)样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为(　　) A．14 　　B．16 　　C．18 　　D．20 将所给样本数据按由小到大的顺序排列为10,12,14,14,16,20,24,30,40，故中位数是16.故选B. (2)(多选题)某校组织了300名学生参与测试，随机抽取了40名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．图中a的值为0.015 B．估计这40名学生考试成绩 的众数为75 C．估计这40名学生考试成绩 的中位数为82 D．估计这40名学生考试成绩的 第75百分位数约为85 由题得10a＝1－10×(0.010＋0.035＋0.030＋0.010)，解得a＝0.015，故A正确；由题中频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为75，则估计众数也为75，故B正确；0.010×10 ＋0.015×10＝0.25,0.010×10＋0.015×10＋ 0.035×10＝0.6，可知中位数落在[70,80) 内， 即中位数的估计值不是82，故C错误； 题图中各组对应的频率分别为0.1,0.15,0.35, 0.3,0.1，第75百分位数在[80,90) 内，设第 75百分位数约为x，则0.1＋0.15＋0.35＋(x－ 80)×0.030＝0.75，解得x＝85，故D正确．故选ABD. [规律方法]　求总体百分位数的步骤 (1) 计算一组n个数据第p百分位数 (2)计算频率分布直方图中第p百分位数可运用面积求． 【训练1】　(1)(2024·山东高三开学考试)某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为(　　) A．64 　　B．65 　　 C．66 　　D．67 由题图可知(a＋0.015＋0.025＋0.035＋a＋0.005)×10＝1，所以a＝0.010,0.010＋0.015＋0.025＝0.05，即第40百分位数位于区间[60,70)，设第40百分位数为x，则＝，解得x＝66.故选C. (2)(2025·唐山模拟)某校高三年级一共有1 200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为(　　) A．220 　　B．240 　　C．250 　　D．300 因为1 200×80%＝960，所以小于103分的学生最多有960人，则数学成绩不小于103分的学生至少有1 200－960＝240(人)． 【例2】　(1)(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理如下表： 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200] 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 对于A, 根据频数分布表可知， 6＋12＋18＝36<50，所以亩产量的中位数不小于 1 050 kg, 故A错误；对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24＋10＝34，所以低于1 100 kg的稻田占比为＝66%，故B错误；对于C，稻田亩产量的极差最大为1 200－900＝300，最小为1 150－950＝200，故C正确；对于D，由频数分布表可得，平均值为×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067，故D错误．故选C. (2)某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分组，绘制了 如图所示的频率分布直方图． ①求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)； 由频率分布直方图的性质，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以及格率为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%. ②估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数； 得分在110以下的学生所占比例为(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，得分在130以下的学生所占比例为0.66＋0.014×20＝0.94，所以第80百分位数位于[110,130)内，由110＋20×＝120，估计第80百分位数为120. ③估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数． 由图可得，众数的估计值为100.平均数的估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6. [规律方法]　频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和. 【训练2】　(多选题)某学校发起了“畅读经典，欢度新年”活动，根据统计数据可知，该校共有1 200名学生，所有学生每天读书时间均在20 min到100 min之间，他们的日阅读时间的频率分布直方图如图所示．则下列结论正确的是(　　) A．该校学生日阅读时间的众数约为70 B．该校学生日阅读时间不低于 60 min的人数约为360 C．该校学生日阅读时间的第50 百分位数约为65 D．该校学生日阅读时间的平均数约为64 由题图可知，[60,80)这一组的小矩形最高，所以众数约为70，故A正确；日阅读时间不低于60 min的频率为(0.020＋0.010)×20＝0.6，所以该校学生日阅读时间不低于60 min的人数约为1 200×0.6＝720，故B错误；第50百分位数即中位数，前两组的频率分别为0.005×20＝0.1,0.015×20＝0.3，所以中位数在[60,80) 这一组，设中位数为x，则(x－60)×0.020＝0.5－0.1－0.3，解得x＝65，即第50百分位数 约为65，故C正确；该校学生日阅读 时间的平均数约为(30×0.005＋50× 0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝ 64，故D正确．故选ACD. 【例3】　(2025·济南调研)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差； 甲＝×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，乙＝×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，s＝×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝35.5，s＝×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝41. (2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 由(1)知甲＝乙，s<s，甲的成绩较稳定，所以派甲参赛比较合适． [规律方法]　总体离散程度的估计 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小. 【训练3】　(1)甲、乙两人进行射击比赛，每人射击5次，射击成绩如下表： 甲命中的环数 8 8 9 8 7 乙命中的环数 7 9 10 8 6 根据上述数据，下列判断正确的是(　　) A．甲、乙的平均成绩相同，甲的成绩更稳定 B．甲、乙的平均成绩相同，乙的成绩更稳定 C．甲、乙的平均成绩不同，甲的成绩更稳定 D．甲、乙的平均成绩不同，乙的成绩更稳定 甲＝×(8＋8＋9＋8＋7)＝8，乙＝×(7＋9＋10＋8＋6)＝8，s＝×[(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2]＝，s＝×[(7－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2＋(8－8)2＋(6－8)2]＝＝2，s<s，所以甲的平均成绩和乙的平均成绩相同，甲的方差小于乙的方差，甲的成绩更稳定．故选A. (2)(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 对于选项A：设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，则n－m＝－＝，因为没有确定2(x1＋x6)，x5＋x2＋x3＋x4的大小关系，所以无法判断m，n的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得m＝n＝3.5；例如1,1,1,1,1,7，可得m＝1，n＝2；例如1,2,2,2,2,2，可得m＝2，n＝；故A错误；对于选项B：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为，故B正确；对于选项 C：因为x1是最小值，x6是最大值，则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数n＝×(2＋4＋6＋8＋10＋12)＝7，标准差s1＝ ＝，4,6,8,10，则平均数m＝×(4＋6＋8＋10)＝7，标准差s2＝＝，显然>，即s1>s2，故C错误；对于选项D：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确．故选BD. 【微点拓展】 计算分层随机抽样的方差的步骤 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记第一层有m个数，第二层有n个数，总的样本平均数为，样本方差为s2. (1)确定1，2，s，s. (2)确定＝1＋2. (3)s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]． 【典例】　(2025·广东珠海模拟)某学校在上报《国家学生体质健康标准》高三年级学生的肺活量单项数据中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其肺活量平均数为3 000 mL，方差为10；抽取了女生30人，其肺活量平均数为2 500 mL，方差为20，则可估计高三年级全体学生肺活量的平均数为________mL，方差为________． 2 700 　60 016 把男生样本平均数记为，方差记为s；把女生样本平均数记为，方差记为s；把总样本数据的平均数记为，方差记为s2.则＝＋＝×3 000＋×2 500＝2 700，s2＝{20[s＋(－)2]＋30[s＋(－)2]}＝×{20×[10＋(3 000－2 700)2]＋30×[20＋(2 500－2 700)2]}＝60 016.据此可估计高三年级全体学生肺活量的平均数为2 700 mL，方差为60 016. 【微练】　某校有高中生200人，为了获得该校全体高中生的身高信息，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的平均数为170，方差为16，女生样本的平均数为160，方差为20，则总样本的方差为________. 43 因为男生样本的平均数为170，女生样本的平均数为160，所以总样本的平均数为×170＋×160＝165，所以总样本的方差s2＝×[16＋(170－165)2]＋×[20＋(160－165)2]＝43. $$