第4章 微突破7 三角形的三线——高线、中线、角平分线-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学高考复习课件聚焦三角形三线（高线、中线、角平分线）高考几何核心考点，考查几何计算与逻辑推理能力，分目标系统梳理考点，对接评价体系分析高频考向，归纳三类问题常考题型，体现备考的系统性与针对性。 课件以“解析精讲+增分训练”为特色，含典型题型解析与实战训练，通过三线问题培养几何直观（数学眼光）与推理能力（数学思维），强化解题模型构建（数学语言），助力学生掌握应试技巧，为教师提供精准复习教学指导。

微突破七 三角形的三线—— 高线、中线、角平分线 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 目标一 三角形中的角平分线问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 目标二 三角形中的中线问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 目标三 三角形中的高线问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 增|分|训|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（三十八） 本部分内容讲解结束 解三角形类问题在考查时除了结合正弦定理，余弦定理，勾股定理设置题目外，往往还和三角形的一些常见元素：中线、角平分线、高线结合在一起考查．连接三角形一个顶点和对边上的任意一点构成的图形也常称作“爪”型结构． 【例1】　(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2，若角C的内角平分线CM＝2，则·的最小值为(　　) A．8 　　 B．4 　　C．16 　　 D．12 因为a2＋b2＋ab＝c2，所以cos C＝＝－，而C为三角形内角，所以C＝，由S△ABC＝S△ACM＋S△BCM，所以absin＝b·CM·sin＋a·CM·sin，化简得到ab＝2b＋2a，所以ab＝2(b＋a)≥4，则ab≥16，当且仅当a＝b＝4时，等号成立，所以·＝|| ||·cos＝ab≥8，所以·的最小值为8.故选A. (2)(2023·全国甲卷)在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝________. 2 如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a，解法一：由余弦定理，可得22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋，由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，可得×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋ ×AD×b×sin 30°，解得AD＝＝＝2. 解法二：由余弦定理，可得22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋，由正弦定理，可得＝＝，解得sin B＝，sin C＝，因为1＋>>2，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2. [规律方法]　角平分线解题技巧 在△ABC中，若AD平分∠BAC，可用内角平分线定理：＝，也可用S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，得到(b＋c)AD＝2bccos，即AD＝(角平分线长公式). 【例2】　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，BD为AC边上的中线，BD＝2，且acos C－2bcos B＋ccos A＝0，则△ABC的面积为(　　) A．2 　　 B． 　　 C． 　　D． 由射影定理知acos C＋ccos A＝2bcos∠ABC＝b，所以cos∠ABC＝.因为∠ABC是三角形内角，所以∠ABC＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos∠ABC,9＝a2＋c2－ac.由中线定理知a2＋c2＝2(BD2＋AD2)，即a2＋c2＝2×＝，所以ac＝，所以S△ABC＝acsin∠ABC＝××＝，故选C. (2)在△ABC中，AB＝3，AC＝2.若AD是边BC上的中线，且AD＝，则BC＝________. 解法一：因为AD是边BC上的中线，所以设BD＝CD＝x，x>0，因为cos∠BDA＋cos∠ADC＝0，cos∠BDA＝＝，cos∠ADC＝＝，所以＝0，化简可得x2＝，解得x＝或x＝－(舍去)．所以BC＝2x＝2×＝. 解法二：由于＝(＋)，所以2＝(2＋2＋2·)，即＝(32＋22＋2×3×2×cos A)，得cos A＝－.由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝9＋4－2×3×2×＝19，所以BC＝. [规律方法]　中线解题技巧 本题可运用∠BDA与∠ADC互补，列出关系式，利用cos∠BDA＋cos∠ADC＝0，解方程求x值，从而求出BC的长度．也可运用＝(＋)求解. 【例3】　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B． (1)求sin A； 因为A＋B＋C＝π，A＋B＝3C，所以C＝，B＝－A，又因为2sin(A－C)＝sin B，所以2sin＝sin，即2＝cos A－sin A，整理得sin A＝3cos A，又因为sin2A＋cos2A＝1，A∈，所以sin A＝. (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解法一：过C作CD⊥AB，垂足为D，如图所示．在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝3.由(1)知cos A＝，所以sin B＝sin＝cos A＋sin A＝.在 Rt△BCD中，CD＝BC·sin B＝3×＝6，即AB边上 的高为6. 解法二：由(1)知C＝，sin A＝，cos A＝，则sin B＝sin＝cos A＋sin A＝.在△ABC中，由正弦定理得＝＝，所以＝＝，所以AC＝2，BC＝3，所以S△ABC＝AC·BC·sin C＝×2×3×＝15.设AB边上的高为h，则×5h＝15，所以h＝6. [规律方法]　 1．在△ABC中，C＝，CA边上的高等于CA，则sin B＝(　　) A． 　　 B． 　　 C． 　　D． 如图，CA边上的高为BD，BD＝CA，且C＝，所以CB＝CA，则CD＝BC·cos＝CA，则AD＝CA，AB＝＝AC，所以∠ABC＝∠C＝，则sinB＝sin＝.故选B. 2．若△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，b＝16，CD平分∠ACB交AB于D，且CD＝4，则BD＝(　　) A． 　　B．3 　　C．2 　　 D．3 如图，因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，由正弦定理，又∠ADC＋∠BDC ＝π⇒sin ∠ADC＝sin BDC，则＝＝4.设BD＝x，则AD＝4x.又∠ADC＋∠BDC＝π⇒cos∠ADC＋cos∠BDC＝0，由余弦定理，＋＝0⇒＋＝0⇒＝0⇒x2＝12⇒x＝2.故选C. 3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的平分线，AB＝3，AC＝4，E是AC的中点，则DE的长度为(　　) A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． 如图，因为∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，所以△ABC的面积为S＝×4×3＝6；因为AD是∠BAC的平分线，所以S＝AB·ADsin 45°＋AC·ADsin45°＝AD＝6，解得AD＝.在△DAE中，AE＝AC＝2，∠DAE＝45°，所以DE2＝AD2＋AE2－2AD·AE cos∠DAE＝＋4－2××2×＝， 即DE＝.故选A. 4．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC边上的中线AD＝，则△ABC的面积S为(　　) A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． 如图所示，延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE，又因为BD＝DC，∠ADB＝∠CDE，所以△ABD≌△ECD，所以CE＝AB＝2，AE＝2，△ABC的面积等于△ACE的面积．在△ACE中，由余弦定理得cos ∠ACE＝＝＝－，又0<∠ACE <π，则sin ∠ACE＝＝，所以S△ABC＝ S△ACE＝AC·CE·sin ∠ACE＝××2×＝. $$