第4章 第6节 第3课时 三角函数模型及解三角形的实际应用-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

高中数学高考复习课件聚焦三角函数与解三角形核心考点，涵盖余弦定理、正弦定理及实际应用。对接高考评价体系，通过回归教材梳理仰角等基础概念，分考点精研测量距离、高度等问题，归纳常考题型体现备考针对性。 该课件以“基础自测+考点突破+真题解析”为特色，如测量距离问题中结合30°、45°角用正弦定理求两点距离，培养数学思维与应用意识。通过典型题型解析构建答题思路，帮助学生掌握技巧提高得分率，为教师提供系统复习框架助力高效教学。

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第四章 三角函数与解三角形 第六节 第四章　三角函数与解三角形 余弦定理和正弦定理及其应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第3课时 第六节　余弦定理和正弦定理及其应用 三角函数模型及解三角形的实际应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 13 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 测量距离问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 测量高度问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 28 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 测量角度问题 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（四十） 本部分内容讲解结束 1．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． 2．方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图②)． 3．方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等． 4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．(　　) (2)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解．(　　) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　) √ √ × 俯角是视线与水平线所构成的角． (4)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　) × 从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β，故错误． 2. (北师大必二P115例2改编)如图是古希腊数学家特埃特图斯(约前417～前369)用来构造无理数，，，…的图形之一，此图形中∠BAD的余弦值是(　　) A． B． C． D． 在△ABC中，∠ACB＝45°，在△BCD中，∠DCB＝90°＋45°＝135°，所以BD2＝1＋1＋2×1×1×＝2＋，在△BAD中，cos∠BAD＝＝. 3. (人A必二P50例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　) A．(30＋30)m B．(15＋30)m C．(30＋15)m D．(15＋15)m 在△ABP中，∠APB＝45°－30°＝15°，所以sin∠APB＝sin 15°＝×－×＝，由正弦定理得PB＝＝＝30(＋)m，所以该树的高度为30(＋)sin 45°＝(30＋30)m. 4．(人A必一P241T6)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．将 A，B两点间的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d＝________，t∈[0,60]． 如图，设∠AOB＝α，则α＝×t＝t，所以＝t， 因为5sin＝，所以d＝10sin＝10sint，t∈[0,60]． 10sint 【例1】　(1)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为(　　) A．8海里/小时 B．16海里/小时 C．16海里/小时 D．32海里/小时 如图所示，在△PNM中，由题意可知∠PNM＝45°，∠MPN＝75°＋45°＝120°，PM＝64海里，由正弦定理＝，可得MN＝＝＝32(海里)，且该船航 行时间为4小时，所以该船航行的速度为＝ 8(海里/小时)．故选A. (2)阿蓬江为长江二级支流，乌江一级支流，阿蓬江国家湿地公园以河流湿地为主，有着一江两岸秀美的湿地风光．如图，为了测量湿地内A，B两点间的距离，观察者在同一平面内找到在同一条直线上的三点C，D，E，从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝ km，CE＝1 km，则A，B两点间的距离为(　　) A． km B． km C．3 km D．2 km 在△ADC中，因为∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，所以∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝ km.在△BCE中，因为∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，所以∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得 ＝，可得BC＝＝＝(km)．在△ABC中，因为BC＝ km，AC＝ km，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝，得AB＝ km，故选B. [规律方法]　距离问题的解题思路 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当. 【训练1】　海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为(　　) A．80 　　 B．80 　　 C．160 　　 D．80 如图所示，在△BCD中，CD＝80，∠BDC＝15°，∠BCD＝∠ACB＋∠DCA＝120°＋15°＝135°，∠CBD＝30°，由正弦定理，得＝，解得BD＝80，在△ACD中，CD＝80，∠DCA＝15°，∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝135°＋15°＝150°， ∠CAD＝15°，则AD＝CD＝80，在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD· cos∠ADB＝802＋(80)2－2×80×80×cos 135° ＝802×5，解得AB＝80，即A，B两点间的距离 为80，故选D. 【例2】　(1)镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一背铜铸葫芦．小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高为7.5 m，在地面上点C处(B，C，N在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为(参考数据≈1.73)(　　) A．37.52 m B．35.48 m C．33.26 m D．31.52 m sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，在△ABC中，AC＝＝，在△ACM中，∠ACM＝180°－60°－15°＝105°，∠MAC＝30°＋15°＝45°，则∠AMC＝180°－∠ACM－∠MAC＝30°，由正弦定理得＝⇒MC＝＝×，所以MN＝MCsin∠MCN＝ ××sin 60°＝ ≈35.48(m)．故选B. (2)某中学研究性学习小组为测量如图所示的陶行知雕塑的高度，在和它底部O位于同一水平高度的三点A，B，C处测得雕塑顶端P处仰角均为，且AB＝BC＝5 m，AC＝6 m，则该雕塑的高度为________m. 由题可知，∠AOP＝∠BOP＝∠COP＝，∠PAO＝∠PBO＝∠PCO＝，设PO＝x m，如图，在Rt△AOP中，tan∠PAO＝＝＝1，所以AO＝x，同理可得BO＝CO＝AO＝x，所以点O为△ABC的外心，且外接圆半径为x，由余弦定理，得cos∠ABC＝＝， 所以sin∠ABC＝，由正弦定理，得 ＝＝2x，则x＝，所以 该雕塑的高度为m. [规律方法]　高度问题的易错点 (1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错； (2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错. 【训练2】　(2025·湖南模拟)为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，A，C，D在水平地面上，塔AB和建筑物DE均垂直于地面(如图所示)．测得CD＝18 m，AD＝15 m，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则塔AB的高度约为(≈1.732，精确到0.1 m)(　　) A．35.0m B．36.4m C．38.4m D．39.6m 如图，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，过点E作EF⊥AB，交AB于点F，则有EF＝AD，AF＝ED，在Rt△ECD中，因为∠ECD＝30°，所以DE＝CD·tan∠DCE＝18×tan 30°＝6，在Rt△BEF中， 因为∠BEF＝60°，所以BF＝EF·tan∠BEF＝15×tan 60° ＝15，则AB＝BF＋AF＝BF＋ED＝15＋6＝ 21＝36.4(m)．故选B. 【例3】　已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘救援艇．岛A处的一艘故障船正以10海里/小时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问救援艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障 船？ 如图，设救援艇在C处追赶上故障船，D为岛A正南方向上一点，救援艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180° －38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝9＋25－2×3×5×＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故救援艇以14海里/小时的速度 向正北方向行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船． [规律方法]　角度问题的解题方法 首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点. 【训练3】　如图所示，某旅游景区的B，C景点相距2 km，测得观光塔AD的塔底D在景点B的北偏东45°，在景点C的北偏西60°方向上，在景点B处测得塔顶A的仰角为45°，现有游客甲从景点B沿直线去往景点C，则沿途中观察塔顶A的最大仰角的正切值为________．(塔顶大小和游客身高忽略不计) 如图，由塔底D在景点B的北偏东45°，在景点C的北偏西60°方向上，可知∠DBC＝45°，∠DCB＝30°，在△BDC中，BC＝2，由sin∠BDC＝sin(45°＋30°)＝，结合正弦定理得＝⇒BD＝，在Rt△ABD可得：AD＝BDtan 45°＝ ，过点D作DE⊥BC交BC于E， 由于AD⊥平面DBC，DE⊂平面DBC，可得：AD⊥DE，即tan∠AED＝＝，当DE取最小值时：DE＝BDsin 45°＝×＝，由正切函数在锐角范围是单调递增，即要求仰角的最大值，即求其正切值的最大值，所以tan∠AED有最大值＝. $$