第4章 第6节 第1课时 余弦定理、正弦定理-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学高考复习课件聚焦“余弦定理和正弦定理及其应用”核心考点，严格依据课标要求掌握定理及变形、解决三角形问题。通过分析2022-2024年全国卷三年考情，明确高频考点分布，结合回归教材梳理、基础自测巩固、分考点突破的方式，归纳解三角形、判断形状、面积计算等常考题型，对接高考评价体系，备考针对性强。 课件亮点在于深度融合高考真题训练与应试技巧指导，如2024新课标Ⅰ卷面积问题、2023全国乙卷射影定理应用等真题解析，培养学生逻辑推理与数学运算素养。通过易错点辨析和典型题型建模，帮助学生掌握定理灵活应用技巧，提升得分率。为教师提供系统备考体系，助力高效复习教学，推动学生高考冲刺。

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第四章 三角函数与解三角形 第六节 第四章　三角函数与解三角形 余弦定理和正弦定理及其应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第1课时 第六节　余弦定理和正弦定理及其应用 余弦定理、正弦定理 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 利用余弦定理、正弦定理解三角形 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 判断三角形形状 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 与三角形面积有关的问题 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（三十七） 本部分内容讲解结束 1.掌握余弦定理、正弦定理及其变形． 2．能利用余弦定理、正弦定理解决一些简单的三角形问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T18 T17 T15 全国Ⅱ卷 T18 T17 T15 重点提示：余弦定理、正弦定理、三角形面积 1．余弦定理 (1)定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝________________. (2)推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝________. (3)运用方法 适用情形：三边a，b，c，任一内角A(知三求一)． 列方程：a2＝b2＋c2－2bccos A或cos A＝___________. a2＋b2－2abcos C 2．正弦定理 (1)定理：在△ABC中，＝＝. (2)运用方法 适用情形：两角A，B及其对边a，b(知三求一)． 列方程：＝. (3)变形：a∶b∶c＝________________________. sin A∶sin B∶sin C 3．三角形解的判断 在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 ①a＝bsin A ②a≥b　　 bsin A<a<b a<bsin A a>b a≤b 解的 个数 一解 两解 无解 一解 无解 4.三角形面积公式 (1)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝____________. (2)S＝底×高；S＝×C×r(C为周长，r为内切圆半径)等． acsin B 【常用结论】 1．在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 2．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin. 3.＝＝＝＝＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)在△ABC中，若acos B＝bcos A，则△ABC是等腰三角形．(　　) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B．(　　) (3)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　) √ √ × 三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比． (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　　) × 当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形． 2．(人A必二P44 T2改编)在△ABC中，已知AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A． 　　 B． 　　C． 　　 D． 在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.故选C. 3．(人A必二P48T2(2)改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝_____________. B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，得＝，得c＝＋. ＋ 4．(人A必二P55引用“阅读与思考”)若一个三角形的三边分别为a，b，c，设p＝(a＋b＋c)，则该三角形的面积S＝，这就是著名的“海伦—秦九韶公式”．若△ABC的三边长分别为5,6,7，则该三角形的面积为________． 因为p＝(a＋b＋c)＝×(5＋6＋7)＝9，所以S△ABC＝＝＝6. 6 【例1】　(1)在△ABC中，a＝6，c＝10，cos B＝－，则b＝(　　) A．6　　 B．10 　　 C．14 　　D．10 由余弦定理得b2＝36＋100－2×6×10×＝196，故b＝14，故选C. (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，其面积为，则＝(　　) A．3 　　 B． 　　C． 　　 D． 因为A＝60°，b＝1，其面积为，所以S＝bcsin A＝·1·c·sin 60°＝，所以c＝4，由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－2×1×4×＝13，所以a＝，由正弦定理可得，＝＝2R＝＝＝.故选C. [规律方法]　正弦定理、余弦定理的作用 (1)在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素． (2)实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系． 【训练1】　(1)在△ABC中，BC＝6，A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积为(　　) A．6 　　 B．6 　　 C．9 　　 D．4 因为在△ABC中，BC＝6，A＝，由sin B＝2sin C，得b＝2c，所以cos A＝＝＝，即c2＝12，可得c＝2，所以b＝4，所以S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝6.故选A. (2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且sin A＝2sin B,2acos C＋b＝0，则cos A＝(　　) A． 　　 B． 　　C． 　　D． 因为sin A＝2sin B，所以a＝2b，因为2acos C＋b＝0，所以2a×＋b＝0，化简得a2＋2b2－c2＝0，将a＝2b代入可得6b2＝c2，所以c＝b，所以cos A＝＝＝.故选C. 【例2】　(1)在△ABC中，“AB2＋BC2<AC2”是“△ABC为钝角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 充分性：当AB2＋BC2<AC2时，cos B＝<0，又0<B<π，所以△ABC是以B为钝角的钝角三角形；必要性：当△ABC为钝角三角形时，不一定是∠ABC是钝角，所以不一定是AB2＋BC2<AC2，必要性不成立．所以“AB2＋BC2<AC2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选A. (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c<bcos A，则△ABC的形状是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 由c<bcos A，可得c<b，即a2＋c2<b2，则cos B＝<0，又B∈(0，π)，则<B<π，则△ABC的形状为钝角三角形．故选A. [规律方法]　判断三角形形状的两种思路 (1)化为边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化为角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论. 【训练2】　在△ABC中，a，b是∠A，∠B所对的边，已知bcos B＝acos A，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 在△ABC中，由bcos B＝acos A及正弦定理，得sin Bcos B＝sin Acos A，则sin 2A＝sin 2B，而0<2A<2π，0<2B<2π，0<2(A＋B)<2π，因此2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选D. 【例3】　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； 由余弦定理，得cos C＝＝，又0<C<π，所以C＝. 思维点1：由余弦定理得C＝，从而可求B． 所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝， 又0<B<π，所以B＝. (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 由(1)，得A＝π－B－C＝， 由正弦定理＝，得＝，所以a＝c. 思维点2：由正弦定理得到a与c的关系． 所以△ABC的面积S＝acsin B＝c2×＝3＋，得c＝2. 思维点3：由面积公式可列关于c的方程，从而求c. 本题源自人教A版必修第二册P54习题6.4第22题．主要考查正、余弦定理在解三角形问题中的应用．第(1)问直接采用余弦定理求出C．第(2)问利用正弦定理求出a，c之间的关系．考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养． 【训练3】　(2024·北京高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为钝角，a＝7，sin 2B＝bcos B． (1)求A； 由题知，2sin Bcos B＝bcos B．又A为钝角，所以B为锐角，故cos B≠0，所以2sin B＝b.又＝＝＝，所以sin A＝.又A为钝角，所以A＝. (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积． 条件①：b＝7；条件②：cos B＝； 条件③：csin A＝. 若选①，结合(1)得2sin B＝×7，所以sin B＝，B＝，A＋B＝π，则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①. 若选②，由题知sin B＝＝，又＝，即＝，所以b＝3.又C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×－×＝.所以S△ABC＝absin C＝×7×3×＝. 若选③，由题知c·＝，所以c＝5.由a2＝b2＋c2－2bccos A得，49＝b2＋25＋5b，即(b＋8)(b－3)＝0，解得b＝3(负值舍去)．所以S△ABC＝bcsin A＝×3×5×＝. 【微点拓展】 射影定理 设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A． 【典例】　(2023·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 解法一(射影定理法)：因为acos B－bcos A＝c，c＝acos B＋bcos A，所以2bcos A＝0，故cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝. 解法二：由题意结合正弦定理可得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，即sin Acos B－sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A，整理可得sin Bcos A＝0，由于B∈(0，π)，故sin B>0，据此可得cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝. 【微练】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若ccos B＋bcos C＝asin A，S＝(b2＋a2－c2)，则B＝(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 在△ABC中，由射影定理a＝ccos B＋bcos C及ccos B＋bcos C＝asin A，得asin A＝a，解得sin A＝1，而0°<A<180°，则A＝90°.由余弦定理cos C＝及S＝(b2＋a2－c2)得cos C＝，而S＝absin C，因此cos C＝sin C，即tan C＝.又0°<C<180°，则C＝30°.所以B＝180°－A－C＝60°. $$