第4章 第1节 任意角、弧度制及三角函数的概念-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学高考复习课件聚焦“任意角、弧度制及三角函数的概念”核心考点，依据课标要求梳理三大考查维度，结合三年考情明确“任意角、三角函数值”重点，通过回归教材构建知识体系，分角的概念表示、弧度制应用、三角函数定义三大题型归纳常考类型，对接高考评价体系实现精准备考。 课件亮点在于“基础自测+考点精研+规律方法”三阶突破模式，如例1终边相同角计算培养推理意识，例2扇形面积最值问题渗透数学思维，通过定义法求三角函数值、符号判定等策略，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺高考。

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第四章 三角函数与解三角形 第一节 第四章　三角函数与解三角形 任意角、弧度制及三角函数的概念 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 角的概念及其表示 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 弧度制及其应用 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 三角函数的定义及其应用 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（二十九） 本部分内容讲解结束 1.了解任意角的概念和弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． 3．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷 重点提示：任意角、三角函数值 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类：按旋转方向，角可以分成三类：________、负角和________． (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝_________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 正角　 零角　 α＋k·360°，k∈Z 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同. 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 半径长 (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 1°＝rad；1rad＝° 弧长公式 l＝________ 扇形面积公式 S＝lr＝________ |α|r |α|r2 角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用. 3．任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y) x 定义 正弦 把点P的纵坐标____叫做α的正弦函数，记作sin α，即____＝sin α 余弦 把点P的横坐标____叫做α的余弦函数，记作cos α，即____＝cos α 正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值______叫做α的正切函数，记作tan α，即______＝tan α(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 y　 y　 x (2)定义的推广：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝______；cos α＝______；tan α＝______(x≠0)． 【常用结论】 1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．象限角 3．轴线角 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．(　　) × 锐角的取值范围是. (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　) (3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．(　　) (4)若角α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) √ × √ 2．(人A必一P176T7(2))已知α是第一象限角，那么是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角 易知2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，故kπ<<＋kπ，所以是第一或第三象限角．故选D. 3．(人B必三P7练习A T5改编)以下说法正确的是(均指在平面直角坐标系中，始边在x轴正半轴上)(　　) A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同的角一定相等 C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限 4．(人A必一P180T3改编)已知角α的终边过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________. －　 －　 因为x＝2，y＝－3，所以点P 到原点的距离r＝＝，则sin α＝＝＝－，tan α＝＝－. 【例1】　(1)(多选题)如果角α与角(γ＋45°)的终边重合，角β与角(γ－45°)的终边重合，那么α－β的可能值为(　　) A．90° B．360° C．450° D．3 330° 由条件知α＝γ＋45°＋k1·360°(k1∈Z)，β＝γ－45°＋k2·360°(k2∈Z)，将以上两式相减消去γ，得α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k1，k2∈Z，k1－k2＝k)，当k＝0时，α－β＝90°；当k＝1时，α－β＝450°；当k＝9时，α－β＝3 330°.故选ACD. (2)角α的终边在第一象限，则＋的取值集合为(　　) A．{－2,2} B．{0,2} C．{2} D．{0，－2,2} 因为角α的终边在第一象限，所以2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，所以kπ<<kπ＋，k∈Z，所以为第一象限角或第三象限角，当为第一象限角时，sin>0，cos>0，故＋＝1＋1＝2；当为第三象限角时，sin<0，cos<0，故＋＝－1＋(－1)＝－2.所以＋的取值集合为{－2,2}．故选A. [规律方法]　利用终边相同的角求适合某些条件的角 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． (2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法；先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置. 【训练1】　(1)若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在图中的位置(阴影部分)是(　　) 当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则有n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，角α的终边在介于45°～90°角终边所在的区域内；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则有n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，角α的终边在介于225°～270°角终边所在的区域内．故选C. (2)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是____________________. 直线y＝－x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为. 【例2】　(2025·云南联考)已知一扇形的圆心角为α(α为正角)，周长为C，面积为S，所在圆的半径为r. (1)若α＝36°，r＝10 cm，求扇形的弧长； α＝36°＝36×rad＝πrad，扇形的弧长l＝αr＝π×10＝2π(cm)． (2)若C＝4 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 设扇形的弧长为l，半径为r，则2r＋l＝4，所以l＝4－2r(0<r<2)，则S＝lr＝(4－2r)r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，当r＝1时，Smax＝1 cm2，此时l＝4－2×1＝2 cm，α＝＝2，所以S的最大值是1 cm2，此时扇形的半径是1 cm，圆心角是2 rad. [规律方法]　应用弧度制解决问题时的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练2】　苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图①是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD，如图②，砖雕厚度为6 cm，AD＝80 cm，＝3，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为(单位：cm2)(　　) A．3 200π B．480π＋960 C．6 880π＋960 D．3 680π＋960 延长DA与CB交于点O.由＝3，AD＝80 cm，得OA＝40 cm，OD＝120 cm.因为所对的圆心角为直角，所以＝60π cm，＝20π cm.所以该梅花砖雕的侧面积S侧＝6(＋＋AD＋BC)＝480π＋960(cm2)，扇环ABCD的面积为(π×1202－π×402)＝3 200π(cm2)， 则该梅花砖雕的表面积S表面积＝480π＋960＋2× 3 200π＝6 880π＋960(cm2)．故选C. 角度1　三角函数的定义 【例3】　(1)已知角α的终边经过点，则tan α＝(　　) A．－ B． C．－ D． sin＝sin＝，cos＝－cos＝－，所以tan α＝＝－， 故选A. (2)(2025·南京模拟)在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(x,4)且tan(－π＋α)＝－2，则cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 因为角α的终边过点(x,4)且tan(－π＋α)＝tan α＝－2，所以＝－2，所以x＝－2，所以cos α＝＝－.故选B. [规律方法]　定义法求三角函数值的两种类型 (1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解． (2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，再根据定义中的两个量，列方程求参数值. 角度2　三角函数值符号的判定 【例4】　已知θ为第二或第四象限角，则下列正确的是(　　) A．sin θtan θ<0 B．cos θtan θ<0 C．>0 D．sin θcos θ<0 A选项，sin θtan θ＝，因为sin2θ>0，在第二象限cos θ<0，第四象限cos θ>0，故A错误；B选项，cos θtan θ＝sin θ，因为在第二象限sin θ>0，第四象限sin θ<0，故B错误；C选项，＝cos θ，因为在第二象限cos θ<0，第四象限cos θ>0，故C错误；D选项，注意到第二象限cos θ<0，sin θ>0，第四象限cos θ>0，sin θ<0，则sin θcos θ<0，故D正确．故选D. [规律方法]　判定三角函数值符号的注意点 要判定三角函数值的符号，关键是要弄清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解. 【对点练】 1．(角度2)若α是第一象限角，则下列结论一定成立的是(　　) A．sin>0 B．cos>0 C．tan>0 D．sincos<0 因为α在第一象限，所以2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，所以kπ<<＋kπ，k∈Z，所以是第一、三象限角，当是第一象限角时，sin>0，cos>0，tan>0，sincos>0；当是第三象限角时，sin<0，cos<0，tan>0，sincos>0.综上，tan>0一定成立．故选C. 2．(角度1)若角α的终边上有一点P，k<0，则sin α·tan α的值是________． － 因为角α的终边上有一点P，所以OP＝＝－k，sin α＝＝，tan α＝＝－，所以sin α·tan α＝·＝－. $$