第3章 微突破5 三次函数的图象与性质-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学高考复习课件聚焦三次函数的单调性、对称性等核心考点，依据高考评价体系明确导数应用、函数性质的考查要求。通过梳理近五年真题，分析出单调性判断、对称中心确定等高频考点分布，归纳了选择填空及解答题中的典型题型，体现备考针对性。 课件亮点在于真题驱动与技巧提炼，如以2024新课标Ⅱ卷、2022新课标Ⅰ卷真题为例，运用数学思维分析导数判别式与单调区间关系，借助数学眼光抽象对称中心的拐点求法。总结“导数零点分析”“二阶导求对称中心”等突破方法，帮助学生掌握答题逻辑，教师可据此高效指导学生冲刺高考。

微突破五 三次函数的图象与性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 目标一 三次函数的单调性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 目标二 三次函数的对称性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 增|分|训|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（二十五） 本部分内容讲解结束 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点． 【例1】　(1)已知函数f(x)＝x2(x－3)，则(　　) A．f(x)在内单调递增 B．f(x)在内单调递减 C．f(x)在(－2,1)内单调递增 D．f(x)在(－∞，－2)内单调递减 由函数f(x)＝x2(x－3)，可得f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0，可得0<x<2；令f′(x)>0，可得x<0或x>2，所以f(x)在区间(0,2)内单调递减，在(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，由(，＋∞) ⊈ (2，＋∞)，所以A错误；由⊆(0,2)，所以B正确；由(－2,1) ⊈ (－∞，0)，所以C错误；由(－∞，－2)⊆(－∞，0)，所以D错误．故选B. (2)(多选题)若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是(　　) A．－3 B．－1 C．0 D．2 当a＝0时，f(x)＝3x2－x＋1，显然不满足题意；当a≠0时，依题意知，f′(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，所以解得a>－3且a≠0.故选BD. [规律方法]　三次函数单调性的相关概念 三次函数的导数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，把Δ＝4b2－12ac叫做三次函数导函数的判别式． 当b2－3ac≤0时，三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在R上是单调函数； 当b2－3ac＞0时，三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在R上有三个单调区间． 需要根据a＞0，a＜0两种不同情况进行分类讨论. 【例2】　(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　) A．当a>1时，f(x)有三个零点 B．当a<0时，x＝0是f(x)的极大值点 C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴 D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心 A选项，f′(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)，由于a>1，故x∈(－∞，0)∪(a，＋∞)时f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)，(a，＋∞)上单调递增，x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则f(x)在x＝0处取到极大值，在x＝a处取到极小值，由f(0)＝1>0，f(a)＝1－a3<0，则f(0)f(a)<0，根据函数零点存在定理f(x)在(0，a)上有一个零点，又f(－1)＝－1－3a<0，f(2a)＝4a3＋1>0，则f(－1)f(0)<0，f(a)f(2a)<0，则f(x)在(－1,0)，(a,2a)上各有一个零点，于是a>1时，f(x)有三个零点，A选项正确；B选项，f′(x)＝6x(x－a)，a<0时，x∈ (a,0)，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(0，＋∞)时f′(x)>0，f(x)单调递增，此时f(x)在x＝0处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的a，b，使得x＝b为f(x)的对称轴，即存在这样的a，b使得f(x)＝f(2b－x)，即2x3－3ax2＋1＝2(2b－x)3－3a(2b－x)2＋1，根据二项式定理，等式右边(2b－x)3展开式含有x3的项为2C(2b)0(－x)3＝－2x3，于是等式左右两边x3的系数不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的a，b，使得x＝b为f(x)的对称轴，C选项错误； D选项，解法一：利用对称中心的表达式化简．f(1)＝3－3a，若存在这样的a，使得(1,3－3a)为f(x)的对称中心，则f(x)＋f(2－x)＝6－6a，事实上，f(x)＋f(2－x)＝2x3－3ax2＋1＋2(2－x)3－3a(2－x)2＋1＝(12－6a)x2＋(12a－24)x＋18－12a，于是6－6a＝(12－6a)x2＋(12a－24)x＋18－12a，即解得a＝2，即存在a＝2，使得(1，f(1))是f(x)的对称中心，D选项正确． 解法二：直接利用拐点结论，任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f(x)＝2x3－3ax2＋1，f′(x)＝6x2－6ax，f″(x)＝12x－6a，由f″(x)＝0⇔x＝，于是该三次函数的对称中心为，由题意(1，f(1))也是对称中心，故＝1，解得a＝2，即存在a＝2，使得(1，f(1))是f(x)的对称中心，D选项正确．故选AD. [规律方法]　三次函数的对称中心的求法 对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，设f′(x)是函数y＝f(x)的导数， f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．对称中心的横坐标是f″(x)＝0的解，即点是三次函数的对称中心. 1．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－2,4)，则b＋c＝(　　) A．－27 B．－16 C．16 D．27 由题意f′(x)＝3x2＋2bx＋c，且f′(x)<0的解集为(－2,4)，故解得b＝－3，c＝－24，故b＋c＝－27.故选A. 2．(多选题)(2022·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　) A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点 C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线 因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝0，得x＝±，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)有两个极值点，故选项A正确．因为f＝－＋1＝>0，所以f(x)的极小值大于0，所以f(x)仅有一个零点，故选项B错误．由于函数f(x)的 图象是由奇函数y＝x3－x的图象向上平移1个单位长度得到的，故f(x)的图象关于点(0,1)对称，即点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故选项C正确．曲线y＝f(x)的切线斜率为2，即f′(x)＝2，得x＝±1，故曲线y＝f(x)的斜率为2的切线方程为y＝2x－1或y＝2x＋3，故选项D错误．故选AC. 3．函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数 k的取值范围是________． (3,27)　 函数求导f′(x)＝3x2－k，因为在区间(－3，－1)上不单调，所以f′(x)在区间(－3，－1)内有零点．又因为f′(x)＝3x2－k为偶函数，所以f′(x)＝0在(－3，－1)上只有1个根．f′(－3)f′(－1)<0，因为f′(－3)＝27－k，f′(－1)＝3－k，所以(27－k)(3－k)<0⇒(k－27)(k－3)<0⇒3<k<27. $$