第3章 微突破3 曲线的公切线问题-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学高考复习课件聚焦“曲线的公切线问题”这一高考热点考点，依据高考评价体系明确了求公切线方程、判断公切线条数、求参数取值范围三大考查要求。通过梳理近五年高考真题，分析该考点高频考查权重，归纳出三大常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题引领+规律方法+素养提升”的复习策略，如结合2024新课标Ⅰ卷真题实例，解析利用导数求公切线方程的步骤，通过构造函数、求导判断单调性等数学思维方法突破参数取值范围问题。培养学生用数学思维分析问题、用数学语言表达推理过程的素养，助力学生掌握解题技巧，教师可据此系统开展专题教学，提升复习效率。

微突破三 曲线的公切线问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 目标一 求两条曲线的公切线方程 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 目标二 判断公切线的条数 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 目标三 求参数的取值范围 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 增|分|训|练 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（二十） 本部分内容讲解结束 求曲线的公切线问题是高考的热点题型之一．学生在做题过程中，解决单一曲线的切线问题相对比较熟练，求解方法也较容易理解．但是对于两条曲线的公切线问题的求解，显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多，灵活得多． 　　　 　　　　　 【例1】　(1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m＝(　　) A．－3 B．1 C．3 D．5 依题意，设曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同．因为f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝－4，所以即因为x0>0，所以x0＝1，m＝5. (2)若曲线f(x)＝ex在x＝1处的切线与曲线g(x)＝ln x＋a也相切，则a＝(　　) A． B．1 C． D．2 由f(x)＝ex得f(1)＝e，f′(x)＝ex，所以f′(1)＝e，则曲线f(x)＝ex在x＝1处的切线为y＝ex，设该直线与曲线g(x)＝ln x＋a相切的切点为(x0，ln x0＋a)，由g(x)＝ln x＋a得g′(x)＝，则g′(x0)＝＝e，所以x0＝，所以切点为，由在直线y＝ex上得a－1＝e×，解得a＝2，故选D. (3)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________. ln 2　 由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1；由y＝ln(x＋1)＋a得y′＝，设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln(x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线得y′＝＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln＝2x＋1＋a－ln 2，根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. [规律方法]　既与曲线y＝f(x)相切又与曲线y＝g(x)相切的直线叫两曲线的公切线，这类问题的解法步骤是： (1)设直线与曲线y＝f(x)相切于点P(x1，f(x1))，与曲线y＝g(x)相切于点Q(x2，g(x2))． (2)切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x－f′(x1)x1＋f(x1)，同理切线方程也为y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)，即y＝g′(x2)x－g′(x2)x2＋g(x2)． (3)由解出x1，x2，从而得出切线方程. 【例2】　曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝ln x公切线的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 设(x0，ex0－1)是曲线f(x)图象上任意一点，f′(x)＝ex－1，所以f′(x0)＝ex0－1，所以过点(x0，ex0－1)的切线方程为y－ex0－1＝ex0－1(x－x0)，整理得y＝ex0－1·x＋(1－x0)ex0－1　①.g′(x)＝，令＝ex0－1，解得x1＝e1－x0，则g(x1)＝1－x0，所以曲线g(x)上过点(e1－x0，1－x0)的切线方程为y －(1－x0)＝ex0－1 (x－e1－x0)，整理得y＝ex0－1·x－x0　②.由于切线①②重合，故(1－x0)ex0－1＝－x0，即(x0－1)·ex0－1－x0＝0　③.构造函数h(x)＝(x－1)ex－1－x，则h′(x)＝xex－1－1，h″(x)＝(x＋1)ex－1，故当x<－1时h″(x)<0，h′(x)单调递减，当x>－1时h″(x)>0，h′(x)单调递增．注意到当x<0时h′(x)<0，且h′(1)＝0，所以当x<1时h′(x)<0，h(x)单调递减，当x>1时，h′(x)>0，h(x)单调递增，而h(－1)＝1－>0，h(1)＝－1<0，h(2)＝e－2>0，根据函数零点存在定理可知在区间(－1,1)，(1,2)各存在h(x)的一个零点，即h(x)有两个零点，即方程③有两个根，即曲线f(x)和曲线g(x)有两条公切线．故选B. [规律方法]　判断公切线的条数最终转化为判断方程解的个数. 【例3】　(1)(2025·福建质量检测)若直线y＝ax＋b与曲线y＝ex相切，则a＋b的取值范围为(　　) A．(－∞，e] B．[2，e] C．[e，＋∞) D．[2，＋∞) 设切点为(x0，ex0)，则a＝ex0，所以切线方程为y＝ex0(x－x0)＋ex0，则b＝(1－x0)ex0，所以a＋b＝(2－x0)ex0，设f(x)＝(2－x)ex，则f′(x)＝(1－x)ex，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)≤f(1)＝e，故选A. (2)若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝4ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝________. －3 f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，则有f′(x)＝2x，g′(x)＝－2.设公共切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝－2，f(x0)＝x＋a，g(x0)＝4ln x0－2x0.根据题意，有解得 [规律方法]　根据切线斜率列出相应方程，即转化为方程有解问题，可用直接法也可分离参数求解参数的范围. 1．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 因为y＝x＋ln x，所以y′＝1＋，y′|x＝1＝2.所以曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，所以a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.故选D. 2．(2025·湖南衡阳一模)若函数f(x)＝x3＋4与g(x)＝x2－2x图象的交点为A，则曲线y＝f(x)在点A处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A．4 B．6 C． D． 由f(x)＝g(x)，得x3－x2＋2x＋4＝x3＋x2－2x2－2x＋4x＋4＝(x＋1)(x2－2x＋4)＝0，解得x＝－1，所以A(－1，3)．由f′(x)＝3x2，得f′(－1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点A处的切线方程为y－3＝3(x＋1)，即y＝3x＋6，令x＝0，得y＝6，令y＝0，得x＝－2，则所求三角形的面积为×6×2＝6.故选B. 3．若曲线y＝ln(3x－8)与曲线y＝x2－3x在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为____________． y＝3x－9 设公共点为(x0，y0)，由y＝ln(3x－8)，得y′＝，由y＝x2－3x，得y′＝2x－3，所以＝2x0－3，解得x0＝3或(舍去)，所以y0＝0，y′|x＝x0＝＝3，所以切线的方程为y－0＝3(x－3)，即y＝3x－9. 4．若曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2x＋a(x<0)有公切线，则实数a的取值范围是_________________． (－ln 2－1，＋∞) 设f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋2x＋a(x<0)，则f′(x)＝，g′(x)＝2x＋2(x<0)．设与曲线y＝x2＋2x＋a(x<0)相切的切点为(s，t)，s<0，与曲线y＝ln x相切的切点为(m，n)，m>0，则2s＋2＝＝，又t＝s2＋2s＋a，n＝ln m，所以a＝s2－1－ln(2s＋2)．设h(s)＝s2－1－ln(2s＋2)(－1<s<0)，则h′(s)＝<0，所以h(s)在(－1,0)上单调递减，所以h(s)>－ln 2－1，所以a>－ln 2－1. $$