第3章 第3节 第1课时 导数与函数的极值-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的极值”核心考点，依据课标要求梳理极值的判定条件、求解方法及综合应用。通过近三年全国卷考情分析，明确其在选择、填空及解答题中的高频考查地位，归纳出图象判断极值、求函数极值、极值与参数综合三大常考题型，实现高考备考的精准对接。 课件亮点在于“真题引领+规律建模+素养提升”，精选2023-2024年新课标卷真题，如2024新课标Ⅰ卷极值点判断、2023新课标Ⅱ卷极值存在条件分析，提炼“求导-判号-定极值”三步法，培养学生的数学思维与逻辑推理能力。特设易错警示（如“f'(x0)=0非极值充要条件”），助力学生掌握得分技巧，教师可依托此课件实现高效复习指导。

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第三章 一元函数的导数及其应用 第三节 第三章　一元函数的导数及其应用 导数与函数的极值、最值 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第1课时 第三节　导数与函数的极值、最值 导数与函数的极值 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 7 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 根据图象判断极值 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 求函数的极值 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 极值的综合问题····································教考衔接⑦ 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（二十三） 本部分内容讲解结束 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．会用导数求函数的极大值、极小值． 3．会求闭区间上函数的最大值、最小值. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T10、T22 T11、T19 T10、T18 全国Ⅱ卷 T11、T22 T11、T16 重点提示：函数的极值、函数的最值 函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． f′(x)<0　 f′(x)>0 极值 (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧________，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为________． f′(x)>0　 f′(x)<0 极值点 ①函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点． ②在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值． ③极大值与极小值之间无确定的大小关系. 【常用结论】 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(　　) (2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(　　) (3)若函数f(x)在区间(a，b)内有极值，则f(x)在该区间内一定不是单调函数．(　　) (4)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点．(　　) × × √ √ 2. (人A选二P92T1 改编)已知函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，一个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 设f′(x) 的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x<x1 时，f′(x)>0，当x1<x<x2 时，f′(x)<0，则x1 为f(x) 的极大值点，同理，x3为f(x) 的极大值点，x2，x4为f(x) 的极小值点．故选C. 3．(人A选二P91例5改编)函数f(x)＝的极大值为(　　) A．e－6 B．e－7 C．e－8 D．e－9 f′(x)＝，当x<7时，f′(x)>0，当x>7时，f′(x)<0.所以f(x)＝的极大值为f(7)＝＝.故选B. 4．(人A选二P104T9改编)函数f(x)＝x(x－c)2有极值，则实数c的取值范围是____________________． f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2.由题意知f′(x)有变号零点，所以Δ＝16c2－12c2＝4c2>0，解得c≠0，即c∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． (－∞，0)∪(0，＋∞) 【例1】　(多选题)如图为函数F(x)的导函数图象，则以下说法正确的是(　　) A．F(x)在区间[b，d]递增 B．F(x)的递减区间是[a，b]，[d，f] C．F(i)为函数 F(x)极大值 D．F(x)的极值点个数为4 令函数F(x)的导函数为F′(x)，观察题图知，当x<a或b<x<d时，F′(x)>0，当x>f时，F′(x)≥0，且当x＝h时，F′(x)＝0；当a<x<b或d<x<f时，F′(x)<0，因此函数F(x)在(－∞，a)，[b，d]，(f，＋∞)上单调递增，在[a，b]，[d，f]上单调递减，AB正确；函数F(x)在x＝a，x＝d处都取得极大值，在x＝b，x＝f处都取得极小值，F(x)的极值点个数为4，D正确；由于F(x)在x＝i及邻近区域值得F′(x)>0，因此F(x)在x＝i处没有极值，C错误．故选ABD. [规律方法]　由图象判断函数y＝f(x)的极值(点) (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点． (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性． (1)(2)结合可得极值点. 【训练1】　(1)函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在x＝x1处取得最大值 B．f(x)在区间(x1，x2)上单调递减 C．f(x)在x＝x2处取得极大值 D．f(x)在区间(a，b)上有2个极大值点 由导函数的图象可知： x (a，x2) x2 (x2，x3) x3 (x3，b) f′(x) ＋ 0 － 0 非负 f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 故选C. (2) 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． 【例2】　(1)(2024·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x.若a＝－2，求f(x)的极值． 当a＝－2时，f(x)＝(1＋2x)ln(1＋x)－x，故f′(x)＝2ln(1＋x)＋－1＝2ln(1＋x)－＋1，因为y＝2ln(1＋x)，y＝－＋1在(－1，＋∞)上为增函数，故f′(x)在(－1，＋∞)上为增函数，而f′(0)＝0，故当－1<x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，故f(x)在x＝0处取极小值且极小值为f(0)＝0，无极大值． (2)设函数f(x)＝(x2＋ax＋b)ex，(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为6x＋y＋3＝0. ①求a，b的值； 因为f(x)＝(x2＋ax＋b)ex，所以f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋b]ex，f(0)＝(02＋a×0＋b)e0＝b，f′(0)＝[02＋(a＋2)×0＋a＋b]e0＝a＋b，因为切线6x＋y＋3＝0过点P，所以f(0)＝b＝－3，由导数的几何意义可知，斜率k＝f′(0)＝a＋b＝－6，所以a＝b＝－3. ②求函数f(x)的极值． 由①，知a＝b＝－3，可得f(x)＝(x2－3x－3)ex，所以f′(x)＝(x2－x－6)ex＝(x＋2)(x－3)ex，令f′(x)＝0，则(x＋2)(x－3)ex＝0，解得x＝－2或x＝3，当x<－2或x>3时，f′(x)>0，当－2<x<3时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－2)和(3，＋∞)上单调递增，在(－2,3)上单调递减， 从而可知x＝－2是函数的极大值点，极大值为f(－2)＝7e－2，x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－3e3.所以函数f(x)的极大值为7e－2，极小值为－3e3. [规律方法]　求函数极值的一般步骤 (1)先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数． (2)求f′(x)＝0的根． (3)判断f′(x)＝0的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点． (4)求出函数f(x)的极值. 【训练2】　(1)函数f(x)＝x＋＋2的所有极值之和为________． 4 函数f(x)＝x＋＋2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，求导得f′(x)＝1－，由f′(x)<0，得－<x<0或0<x<，由f′(x)>0，得x<－或x>，因此函数f(x)在(－，0)，(0，)上单调递减，在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，于是当x＝－时，f(x)取得极大值f(－)＝－2＋2，当x＝时，f(x)取得极小值f()＝2＋2，所以函数f(x)＝x＋＋2的所有极值之和为f(－)＋f()＝4. (2)已知函数f(x)＝. ①判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值； f(x)＝，则f′(x)＝，令f′(x)>0，得x<0，f′(x)<0，得x>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在x＝0处取得极大值，且f(0)＝1，无极小值． ②设函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)，讨论函数g(x)的零点个数． 由题意知g(x)＝f(x)－a，要求函数g(x)的零点个数，即求方程a＝f(x)的根的个数，即求直线y＝a与函数y＝f(x)图象的交点个数．由(1)知f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 且f(x)max＝f(0)＝1，f(－1)＝0，当x→－∞时f(x)→ －∞，当x>0时f(x)>0，如图，由图可知当a≤0或 a＝1时，函数g(x)有1个零点；当0<a<1时，函数 g(x)有2个零点；当a>1时，函数g(x)有0个零点． 教材题 [题源]　(人A选二P104T9)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，求c的值． 函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意可得f′(2)＝0，可得12－8c＋c2＝0，解得c＝2或c＝6，当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(x－2)(3x－2)，由x>2或x<，f′(x)>0，f(x)单调递增；由<x<2，f′(x)<0，f(x)单调递减，可得x＝2为极小值点；当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，由x>6或x<2，f′(x)>0，f(x)单调递增；由2<x<6， f′(x)<0，f(x)单调递减，可得x＝2为极大值点．综上可得c＝6. 高考题 (1)(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　) A．x＝3是f(x)的极小值点 B．当0<x<1时，f(x)<f(x2) C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0 D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x) 对A，因为函数f(x)的定义域为R，而f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，易知当x∈(1,3)时，f′(x)<0，当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故x＝3是函数f(x)的极小值点，正确；对B，当0<x<1时，x－x2＝x(1－x)>0，所以1>x>x2>0，而由上可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(x)>f(x2)，错误；对C，当1<x<2时，1<2x－1<3，而由上可知，函数f(x)在(1,3)上单调递减，所以f(1)>f(2x－1)>f(3)，即－4<f(2x－1)<0，正确；对D，当－1<x<0时，f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)>0，所以f(2－x)>f(x)，正确．故选ACD. (2)(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值又有极小值，则(　　) A．bc>0　　　　　　　 B．ab>0 C．b2＋8ac>0 D．ac<0 函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝－－＝，因为函数f(x)既有极大值又有极小值，则函数f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正根x1，x2，于是即显然a2bc<0，即bc<0，所以A错误，BCD正确．故选BCD. (3)(2024·新课标Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 解法一：因为f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a，若a≤0，则f′(x)>0对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意；若a>0，令f′(x)>0，解得x>ln a；令f′(x)<0，解得x<ln a；可知f(x)在(－∞，ln a)内单调递减，在(ln a，＋∞)内单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，无极大值，由题意可得f(ln a)＝a－aln a－a3<0，即a2＋ln a－1>0，设g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，则g′(a)＝2a＋>0，可知g(a)在(0，＋∞)内单调递增，且g(1)＝0，不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1，所以a的取值范围为(1，＋∞)． 解法二：因为f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a，若f(x)有极小值，则f′(x)＝ex－a有零点，令f′(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，可知y＝ex与y＝a有交点，则a>0，若a>0，令f′(x)>0，解得x>ln a；令f′(x)<0，解得x<ln a；可知f(x)在(－∞，ln a)内单调递减，在(ln a，＋∞)内单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，无极大值，符合题意，由题意可得f(ln a)＝a－aln a－a3<0，即a2＋ln a－1>0，设g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)内单调递增，可知g(a)在(0，＋∞)内单调递增，且g(1)＝0，不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1，所以a的取值范围为(1，＋∞)． [规律方法]　根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：求解后验证根的合理性. 【训练3】　(1)(2025·河南模拟)已知函数f(x)＝sin(ω≠0)在x＝处取得最值，且f(x)在(0，π)上恰有两个极值点，则ω＝(　　) A．4 B．10 C．－2 D．－8 由题意可知，(ω－1)＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝6k＋4，k∈Z，当ω>0时，由x∈(0，π)，得ωx－∈，由题意，得<ωπ－≤，解得<ω≤，所以ω不存在，当ω<0时，由x∈(0，π)，得ωx－∈，由题意，得－≤ωπ－<－，解得－≤ω<－，所以ω＝－2.故选C. (2)已知函数f(x)＝ex－ax2在R上无极值，则a的取值范围是________． 由题意，得f′(x)＝ex－2ax，故f′(0)＝1＞0，因为函数f(x)＝ex－ax2在R上无极值，所以f′(x)≥0在R上恒成立．当x＞0时，a≤，设g(x)＝，则g′(x)＝＝，当0＜x＜1时，得g′(x)＜0，当x＞1时，得g′(x)＞0，则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而g(x)≥g(1)＝，故a≤.当x<0时，a≥，又＜0，则a≥0.综上，0≤a≤. $$