13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课件+教案+同步探究学案2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

分课时教学设计 第三课时《13.2.2 三角形的中线、角平分线、高》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本节主要内容聚焦三角形的三种重要线段（中线、角平分线、高）以及三角形的重心。内容以三角形三边关系为基础，通过概念、作图及探究活动，深入剖析线段的几何特征，为后续学习三角形的面积计算、全等三角形等知识奠定基础。 学习者分析 学生已掌握线段、角、垂线的基本概念，理解三角形的定义及三边关系，具备基本的尺规作图能力（如作垂线、找中点）。对“平分线”“中点” 等概念有初步认识，但可能混淆“三角形角平分线”与“角的平分线” 的图形属性。 教学目标 1．理解三角形的中线、角平分线、高以及重心的概念。 2．能画出给定的三角形的中线、角平分线、高。 教学重点 1．三角形中线、角平分线、高的概念与作图方法。 2．不同类型三角形高的位置特征归纳。 教学难点 钝角三角形高的画法。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解三角形的中线、角平分线、高以及重心的概念． 2．能画出给定的三角形的中线、角平分线、高． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：1．三角形三边之间的关系： （1）________________ （2）________________ 答案：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边 2．三角形是具有________的图形. 答案：稳定性 导入：与三角形有关的线段，除了三条边，还有三种重要的线段：三角形的中线、角平分线、高. 学生活动2： 学生积极回答问题 活动意图说明： 通过复习三角形三边之间的关系，为继续探究与三角形有关的线段做好准备。 环节三：新知讲解 教师活动3： 操作1：如图所示，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线。 预设： 符号语言： ∵AD是△ABC的中线 ∴BD ＝CD ＝BC 反之： ∵BD＝CD (BD＝BC) ∴AD是△ABC的中线 试一试：你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的中线吗？ 预设： 追问：你发现了什么？ 归纳：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 操作2：如图所示，画∠A 的平分线AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线． 预设： 符号语言： ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD＝∠CAD ＝∠BAC 反之： ∵∠BAD＝∠CAD (∠BAD＝∠BAC) ∴AD是△ABC的角平分线 试一试：你能用同样方法，画出△ABC的另外两条角平分线吗？ 预设： 追问：你发现了什么？ 归纳：一个三角形有三条角平分线，这三条角平分线相交于一点. 操作3：如图所示，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线. 三角形的高线简称三角形的高. 预设： 符号语言： ∵AD是△ABC的高 ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90° 反之： ∵∠ADC=90°(∠ADB=90°) ∴AD是△ABC的高 探究1：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 预设： 归纳1：锐角三角形的三条高都在三角形的内部(图(1)）；直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边(图(2)）；钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上(图(3)）。 归纳2：一个三角形有三条高，这三条高所在的直线相交于一点. 探究2：如图所示，线段AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD与△ACD的面积有什么关系？ 预设：△ABD与△ACD的面积相等，即： 理由如下： 作△ABC的边BC上的高AE 则BDE，CDE ∵AD是△ABC的中线 ∴BD ＝CD ∴ 例 1：如图 ，在△ABC 中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD，BE 分 别是边 BC，AC 上的高，且 AD＝6.5，求 BE 的长． 解：在△ABC 中，AD，BE 分别是边 BC，AC 上的高，已知 AC＝8，BC＝6，AD＝6.5， 根据三角形面积公式，得 即 解得 归纳：根据三角形面积公式求高 解决与三角形高线和面积有关的问题时，根据三角形面积公式可求得不同边上的高． 例 2：如图，CD 是△ABC 的中线，AC＝9 cm，BC＝3 cm，求△ACD 和△BCD 的周长差． 分析：根据 CD 是△ABC 的中线，可得 BD＝AD ． 所以△ACD 和△BCD 的周长差就是 AC 和 BC 的差． 解：因为CD 是△ABC 的中线， 所以BD＝AD． 所以△ACD 和△BCD 的周长差为 (AC＋CD＋AD)－(BC＋CD＋BD) ＝AC－BC＝9－3＝6（cm）， 即△ACD 和△BCD 的周长差为 6 cm． 归纳：三角形中线常见的两个应用 （1）根据中线平分对边得两条相等的线段，一般用于求解与三角形的周长有关的问题； （2）根据中线把三角形分成面积相等的两部分，用于求解与面积有关的问题． 例 3：如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4． （1）AD 是△_______和△_______的角平分线； （2）试判断∠EAF 与∠BAC 的关系． 分析：（1）根据∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可得∠1＋∠2＝∠3＋∠4， 所以 AD 是 △AEF 和 △ABC 的角平分线； （2）根据 ∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 可得∠2＋∠3＝∠1＋∠4， 所以∠EAF＝∠BAC． 解：（1）AEF ，ABC； （2）因为∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 所以∠2＋∠3＝(∠1＋∠2＋∠3＋∠4)， 即∠EAF＝∠BAC． 归纳：三角形中边角的等量变换——沟通已知与未知的纽带 在判断角之间或线段之间的数量关系时，往往根据已知或隐含的相等关系进行等量变换，从而沟通已知与未知，这也体现了数学中的转化思想． 学生活动3： 在老师的指导下动手操作，然后小组合作探究老师提出的相关问题并班内讨论交流，最后听老师的点评 活动意图说明： 通过让学生动手操作画三角形的中线、角平分线、高，从动手实践中获得直观感受，引导学生模拟知识发生、发展的过程，加深学生对相关概念的理解．并通过例题，提高学生对所学知识的运用能力。 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。 板书设计 课题：13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 一、三角形的中线 二、三角形的角平分线 三、三角形的高 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长的差是( ) A.2 B.3 C.6 D.不能确定 答案：A 2．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( ) A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠ACB＝2∠3 D．CE是△ABC的角平分线 答案：D 3．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( ) 答案：A 选做题： 4．如图，AD⊥BC于点D，则图中以AD为高的三角形有____个． 答案：6 【综合拓展类练习】 5．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A． B． C． D． 答案：D 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．三角形一边上的中线把原三角形分成两个( ) A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 答案：B 2.如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE//BC，交AC于点E，若∠ACB＝60°，则∠EDC的度数是( ) A．15° B．30° C．45° D．60° 答案：B 3．如图，△ABC中BC边上的高是____，△ACD中CD边上的高是____，△BCE中BC边上的高是____，以CF为高的三角形是 ． 答案：AD；AD；BE；△ABC，△BCF，△AFC 选做题： 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13，BC＝12，AC＝5. (1)求△ABC的面积； (2)求CD的长． 解：(1)S△ABC＝AC·BC＝30 (2)∵S△ABC＝ AB·CD， ∴CD＝ ＝ 【综合拓展类作业】 5．如图，三角形中，D为边上任一点，，三角形的面积为1平方厘米，求三角形的面积． 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积（平方厘米） 教学反思 本课教学以“概念理解—作图实践—规律归纳”为主线，通过对比分析和探究活动，帮助学生厘清三种线段的本质差异，同时突破了钝角三角形高的作图难点。在今后的教学中需聚焦学生的认知障碍，通过直观手段和分层训练优化教学效果，渗透数学思想方法，为后续几何学习夯实基础。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同步探究学案 课题 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 单元 第十三章 学科 数学 年级 八年级 学习 目标 1．理解三角形的中线、角平分线、高以及重心的概念． 2．能画出给定的三角形的中线、角平分线、高． 重点 1．三角形中线、角平分线、高的概念与作图方法。 2．不同类型三角形高的位置特征归纳。 难点 钝角三角形高的画法。 探究过程 导入新课 【引入思考】 1．三角形三边之间的关系： （1）________________ （2）________________ 2．三角形是具有________的图形. 新知探究 本节课来研究： 与三角形有关的线段，除了三条边，还有三种重要的线段：三角形的中线、角平分线、高。 操作1：如图所示，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的__________。你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的中线吗？你发现了什么？ 符号语言： ∵AD是△ABC的中线 ∴BD ＝____＝BC 反之： ∵BD＝CD (BD＝BC) ∴AD是△ABC的______ 归纳：一个三角形有____条中线，这三条中线相交于____点. 三角形三条中线的______叫作三角形的重心. 操作2：如图所示，画∠A 的平分线AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线．你能用同样方法，画出△ABC的另外两条角平分线吗？你发现了什么？ 符号语言： ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD＝∠_____ ＝∠BAC 反之： ∵∠BAD＝∠CAD (∠BAD＝∠BAC) ∴_______是△ABC的角平分线 归纳：一个三角形有_____条角平分线，这三条角平分线相交于____点. 操作3：如图所示，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线. 三角形的高线简称三角形的高. 符号语言： ∵AD是△ABC的高 ∴∠ADB ＝∠______ ＝90° 反之： ∵∠ADC=90°(∠ADB=90°) ∴AD是△_______的高 探究1：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 归纳1：锐角三角形的三条高都在三角形的_____(图(1)）；直角三角形有两条高恰好是它的两条_________(图(2)）；钝角三角形有两条高在三角形的______，两个垂足落在边的延长线上(图(3)）。 归纳2：一个三角形有三条高，这三条高所在的直线相交于______点. 探究2：如图所示，线段AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD与△ACD的面积有什么关系？ 解：△ABD与△ACD的面积_______， 即： 理由如下： 例1：如图 ，在△ABC 中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD，BE 分 别是边 BC，AC 上的高，且 AD＝6.5，求 BE 的长． 例2：如图，CD 是△ABC 的中线，AC＝9 cm，BC＝3 cm，求△ACD 和△BCD 的周长差． 例3：如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4． （1）AD 是△_______和△_______的角平分线； （2）试判断∠EAF 与∠BAC 的关系． 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长的差是( ) A.2 B.3 C.6 D.不能确定 2．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( ) A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠ACB＝2∠3 D．CE是△ABC的角平分线 3．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( ) 选做题： 4．如图，AD⊥BC于点D，则图中以AD为高的三角形有____个． 【综合拓展类练习】 5．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A． B． C． D． 课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？ 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．三角形一边上的中线把原三角形分成两个( ) A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 2.如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE//BC，交AC于点E，若∠ACB＝60°，则∠EDC的度数是( ) A．15° B．30° C．45° D．60° 3．如图，△ABC中BC边上的高是____，△ACD中CD边上的高是____，△BCE中BC边上的高是____，以CF为高的三角形是 ． 选做题： 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13，BC＝12，AC＝5. (1)求△ABC的面积； (2)求CD的长． 【综合拓展类作业】 5．如图，三角形中，D为边上任一点，，三角形的面积为1平方厘米，求三角形的面积． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 1．理解三角形的中线、角平分线、高以及重心的概念． 2．能画出给定的三角形的中线、角平分线、高． 　　（1）__________________________．　 　　（2）__________________________． 1．三角形三边之间的关系： 三角形两边的和大于第三边 三角形两边的差小于第三边 2．三角形是具有________的图形. 稳定性 与三角形有关的线段，除了三条边，还有三种重要的线段：三角形的中线、角平分线、高. 4 符号语言： ∵AD是△ABC的中线 ∴BD ＝CD ＝BC 反之： ∵BD＝CD (BD＝BC) ∴AD是△ABC的中线 操作1：如图所示，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线。 试一试：你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的中线吗？ 一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 你发现了什么？ 符号语言： ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD＝∠CAD ＝∠BAC 反之： ∵∠BAD＝∠CAD (∠BAD＝∠BAC) ∴AD是△ABC的角平分线 操作2：如图所示，画∠A 的平分线AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线． 试一试：你能用同样方法，画出△ABC的另外两条角平分线吗？ 你发现了什么？ 一个三角形有三条角平分线，这三条角平分线相交于一点. 操作3：如图所示，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线. 三角形的高线简称三角形的高. 符号语言： ∵AD是△ABC的高 ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90° 反之： ∵∠ADC=90°(∠ADB=90°) ∴AD是△ABC的高 探究1：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 锐角三角形的三条高都在三角形的内部(图(1)）；直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边(图(2)）；钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上(图(3)）。 探究1：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 一个三角形有三条高，这三条高所在的直线相交于一点. 探究2：如图所示，线段AD是△ABC的边BC上的中线， △ABD与△ACD的面积有什么关系？ △ABD与△ACD的面积相等 即： 理由如下： 作△ABC的边BC上的高AE 则BDE，CDE ∵AD是△ABC的中线 ∴BD ＝CD ∴ 例 1：如图 ，在△ABC 中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD，BE 分 别是边 BC，AC 上的高，且 AD＝6.5，求 BE 的长． 解：在△ABC 中，AD，BE 分别是边 BC，AC 上的高，已知 AC＝8，BC＝6，AD＝6.5， 根据三角形面积公式，得 即 解得 A B C D E 根据三角形面积公式求高 解决与三角形高线和面积有关的问题时，根据三角形面积公式可求得不同边上的高． 例 2：如图，CD 是△ABC 的中线，AC＝9 cm，BC＝3 cm，求△ACD 和△BCD 的周长差． 分析：根据 CD 是△ABC 的中线，可得 BD＝AD ． 所以△ACD 和△BCD 的周长差就是 AC 和 BC 的差． A B C D 解：因为CD 是△ABC 的中线， 所以BD＝AD． 所以△ACD 和△BCD 的周长差为 (AC＋CD＋AD)－(BC＋CD＋BD) ＝AC－BC＝9－3＝6（cm）， 即△ACD 和△BCD 的周长差为 6 cm． A B C D 例 2：如图，CD 是△ABC 的中线，AC＝9 cm，BC＝3 cm，求△ACD 和△BCD 的周长差． 三角形中线常见的两个应用 （1）根据中线平分对边得两条相等的线段，一般用于求解与三角形的周长有关的问题； （2）根据中线把三角形分成面积相等的两部分，用于求解与面积有关的问题． 例 3：如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4． （1）AD 是△_______和△_______的角平分线； （2）试判断∠EAF 与∠BAC 的关系． 分析：（1）根据∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可得∠1＋∠2＝∠3＋∠4， 所以 AD 是 △AEF 和 △ABC 的角平分线； （2）根据 ∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 可得∠2＋∠3＝∠1＋∠4， 所以∠EAF＝∠BAC． 1 2 3 4 A B E D F C 18 解：（1）AEF ，ABC； （2）因为∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 所以∠2＋∠3＝(∠1＋∠2＋∠3＋∠4)， 即∠EAF＝∠BAC． 例 3：如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4． （1）AD 是△_______和△_______的角平分线； （2）试判断∠EAF 与∠BAC 的关系． 1 2 3 4 A B E D F C 三角形中边角的等量变换 ——沟通已知与未知的纽带 在判断角之间或线段之间的数量关系时，往往根据已知或隐含的相等关系进行等量变换，从而沟通已知与未知，这也体现了数学中的转化思想． 【知识技能类练习】必做题： 1．已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长的差是( ) A.2 B.3 C.6 D.不能确定 A 【知识技能类练习】必做题： 2．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( ) A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠ACB＝2∠3 D．CE是△ABC的角平分线 D 【知识技能类练习】必做题： 3．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( ) A 【知识技能类练习】选做题： 4．如图，AD⊥BC于点D，则图中以AD为高的三角形有____个． 6 【综合拓展类练习】 5．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（     ） D 与三角形有关的线段 高 中线 角平分线 重心 【知识技能类作业】必做题： 1．三角形一边上的中线把原三角形分成两个( ) A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 B 【知识技能类作业】必做题： 2.如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE//BC，交AC于点E，若∠ACB＝60°，则∠EDC的度数是( ) A．15° B．30° C．45° D．60° B 【知识技能类作业】必做题： 3．如图，△ABC中BC边上的高是____，△ACD中CD边上的高是____，△BCE中BC边上的高是____，以CF为高的三角形是 ． AD AD BE △ABC，△BCF，△AFC 【知识技能类作业】选做题： 解：(1)S△ABC＝AC·BC＝30 (2)∵S△ABC＝ AB·CD， ∴CD＝ ＝ 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13，BC＝12，AC＝5. (1)求△ABC的面积；(2)求CD的长． 【综合拓展类作业】 5．如图，三角形中，D为边上任一点， ，三角形的面积为1平方厘米，求三角形的面积． 解：连接， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴ ， ∴三角形的面积 （平方厘米） $$