第09讲-3 抽象函数奇偶型单调性总结 讲义-2026届高三数学一轮复习

第09讲 （三）抽象函数奇偶型单调性总结归纳 题型01：保和型（类线性）抽象函数f（a+b）=f（a）+f（b） 1.若函数对任意，恒有． （1）指出的奇偶性，并给予证明； （2）如果时，，判断的单调性； （3）在（2）的条件下，若对任意实数x，恒有．成立，求k的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）在R上单调递减，证明见解析；（3） 【分析】（1）利用赋值法求出，根据函数奇偶性定义即可证明； （2）根据函数单调性定义即判断函数的单调性； （3）结合函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，即可得到结论 【详解】（1）为奇函数； 证明：令，得，解得： 令，则， 所以函数为奇函数； （2）在R上单调递减； 证明：任意取，且，则， 又，即 所以在R上单调递减； （3）对任意实数x，恒有等价于成立 又在R上单调递减， 即对任意实数x，恒成立， 当时，即时，不恒成立； 当时，即时，则，解得： 所以实数k的取值范围为 2.设函数对任意的实数，，都有，且时，，. （1）求证：是奇函数； （2）试判断函数单调性； （3）试问当时，是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）单调递增函数；（3）有，最大值4，最小值. 【分析】（1）令得，再令得，即得解； （2）利用证明函数单调性即可； （3）利用函数的单调性求解函数最大值，最小值. 【详解】（1）证明：依题意令，得，即， 令得，∴， ∴是奇函数. （2）单调递增函数，理由如下： 任取，设，则，由已知可得， ∵， ∴，∴在是单调递增函数. （3）有最大值4，最小值. 由（2）知在区间上是增函数. 又，， 当时，，. 【点睛】方法点睛：本题考查了抽象函数的性质，对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义，应该构造出并与0比较大小，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 3.已知函数定义域为，若对任意的，都有，且时，. （1）判断的奇偶性； （2）讨论的区间上的单调性； （3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数（2）是在上为单调递减函数（3）或 【解析】（1）首先令得到，再令得到，即可判断函数是奇函数. （2）首先设任意，根据题意得到，即可证明. （3）根据题意得到的最大值为，再根据恒成立求解即可. 【详解】（1）因为有，令，得，所以， 令可得：，所以，所以为奇函数. （2）由题意设，因为是定义在上的奇函数，则因为时，有， 所以，即.所以是在上为单调递减函数； （3）因为在上为单调递减函数，所以在上的最大值为， 所以要使，对所有恒成立， 只要，即， 由得，所以或. 4.定义在上的函数满足，对任意的，有，且当时，. (1)求的值，并证明函数是奇函数； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)解不等式. 【答案】(1)，证明见解析； (2)单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用赋值法求得，利用定义证明函数为奇函数. （2）判断函数单调性，并用定义证明函数在上的单调性. （3）根据函数的单调性求得不等式的解集. 【详解】（1）依题意，函数对任意的，都有， 令，得，所以； ，取，则，即， 所以是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 任取，有，而当时，，则， 于是， 所以在上单调递减. （3）由于，则，， 于是不等式， 由（2）知，，解得， 所以原不等式的解集为. 5. 是定义在上的函数，满足以下性质：①、，都有，②当时，． (1)判断的单调性并加以证明； (2)不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）判断出在上为增函数，令，可得出，令，可得出，然后任取、且，可得出，利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）将已知不等式变形可得，利用（1）中的结论可得，整理可得对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）函数在上为增函数，证明如下： 令，可得，则， 令，可得，所以，， 任取、且，则，故， 所以，，即， 因此，函数在上为增函数. （2）由可得， 所以，，整理可得对任意的恒成立， 当时，即，则有，解得，不合乎题意； 当时，则有，解得. 因此，实数的取值范围是. 6.已知函数的定义域为，且对任意的，都有．当时，，． (1)求并证明的奇偶性； (2)判断的单调性并证明； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)0，证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）先赋值法求,再根据判奇偶即可. （2）在上是增函数，根据定义证明得到结果； （3）由 转化为恒成立．利用函数的单调性，构造函数，转化求解即可． 【详解】（1），所以， 又的定义域为，关于原点对称，， 所以，所以为奇函数． （2）在上单调递增，证明如下． ，有， 因为，所以， 所以，所以在上单调递增． （3）因为，， 所以， 所以． 所以， 因为在上单调递增，所以， 所以恒成立，故． 故实数的取值范围为． 7.设定义在上的函数，对任意，恒有．若时，． (1)判断的奇偶性和单调性，并加以证明； (2)若对于任意和任意，都有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)是奇函数，在上单调递减,证明见解析. (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性和单调性的定义证明； （2）利用函数的单调性和奇偶性解抽象函数不等式，再利用双勾函数的性质解决恒成立问题. 【详解】（1）是奇函数，在上单调递减，证明如下： 因为对任意，恒有， 所以令，可得， 令，可得，即， 又因为函数的定义域为，所以是奇函数； 设，则，所以， 则，即， 所以在上单调递减. （2）, 所以， 即， 所以，即， 所以问题转化为，对任意和任意恒成立， 所以恒成立， 因为，所以，所以恒成立， 设函数 （其中，令）， 又由对勾函数在单调递减，单调递增， 所以， 所以， 所以函数， 所以由恒成立可得，，即， 所以实数的取值范围是. （一）保型下移函数f（a+b）=f（a）+f（b）-c 一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数． 1.函数满足对一切，且；当时，有. (1)求的值； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式. 【答案】(1)4 (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，令，求得，再令，求得； （2）设且，令，得到，根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，把原不等式化为，令，得到，得到，结合，，结合函数的单调性，转化为，即可求解. 【详解】（1）解：由函数满足对一切，且， 令，可得， 再令，所以，可得. （2）解：为上的单调递减函数. 证明如下： 设且，令，则， 所以， 因为当时，有，所以， 由 ， 即，所以为上的单调递减函数. （3）解：令，结合，得， 所以，原不等式化为， 令，可得，解得，即， 令，得， 又由，所以， 因为为上的单调递减函数，所以， 即，解得或，所以不等式的解集为. 2.已知定义在R上的函数同时满足下面两个条件： ①对任意x，，都有. ②当时，； (1)求； (2)判断在R上的单调性，并证明你的结论； (3)已知，若，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)2023 (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，可得答案； （2）在上为减函数，利用单调性的定义证明即可； （3）由原不等式可化为，利用单调性可得， 分离参数求解即可. 【详解】（1）令，，则， 所以. （2）在上为减函数，证明如下： 设，则， 则 ， 又，则， 所以，即， 故在上为减函数. （3）由可得，， 即， 由在上为减函数可得对恒成立， 即，恒成立， 令，则，对称轴方程为， 所以当时，，故，解得. 3.定义在上的函数满足如下条件： ①； ②； ③当时，． (1)求，判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，函数在上为增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）令，求得，再根据函数单调性的定义和判定方法，证得函数在上为增函数；（2）根据题意，转化为不等式（*）对于任意成立，由对数函数的性质，求得，再由不等式成立，转化为对于任意成立，求得，即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）解：令，，可得． 函数在上为增函数， 证明如下： 设，因为， 令，，则，可得， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以函数在上为增函数． （2）解：由条件有， 则不等式可化为， 即， 又由，所以， 因为函数在上为增函数，可得 即（*）对于任意成立， 根据对数函数的性质，可得，对于任意成立， 则，因为，则，所以， 可得，所以 ①， 又由（*）式可化为， 即对于任意，成立，即成立， 即对于任意，成立， 因为，所以对于任意成立， 即对于任意成立，所以 ②． 由①②，可得，所以实数的取值范围为． 4.已知函数满足对一切实数，都有成立，且在上为单调递减函数. （1）求，； （2）解不等式； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 或 ；（3） 或或 ． 【分析】（1）用赋值法先求出，然后可求，； （2）由再结合函数的单调性可解不等式； （3）由单调性得在上的最小值，问题变为对恒成立，作为的一次不等式易得结论． 【详解】（1）因为对一切实数，都有，， 令，则，， 令，则，， 令，则， 令，则． （2）∵， ∴不等式化为 ，即， ，∴，又是减函数， 所以，解得或． 解集为 或 （3）因为是减函数，∴在上的最小值为， ∴对任意，恒成立，等价于对恒成立， ∴，解得或或． 所求范围是 或或 ． 【点睛】本题考查抽象函数问题，考查解抽象不等式及不等式恒成立，利用赋值法求抽象函数的函数值，利用函数单调性解抽象不等式是基本方法，问题转化是本题解题关键． 5.已知定义在上的函数满足：①对，，；②当时，；③. (1)求，判断并证明的单调性； (2)若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；在上的单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用赋值法求解函数值，利用函数的单调性证明即可； （2）把恒成立问题转化为，再利用函数单调性转化为，分类讨论，判别式法求解即可. 【详解】（1）令，得， 解得；在上的单调递增. 证明如下：任取，即， 则 ， 因为时，，所以时，， 所以在上的单调递增. （2）令，得， 因为，所以， 不等式等价于， 即； 因为在上单调递增，所以恒成立， ①时，，解得，不等式并非在上恒成立； ②时，只有满足条件，解得. 综上可得. 6.已知函数对任意，都有，且当时，． (1)求证：在上是增函数； (2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值； (3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)详见解析 【分析】（1）根据单调性的定义证得在上递增. （2）先求得的值，然后求得的值. （3）根据已知条件化简不等式，对进行分类讨论，解一元一次不等式求得不等式的解集. 【详解】（1）依题意，且时，， 令，则， ， 任取， ， 由于，所以， 所以，所以在上递增. （2）由（1）知，在上递增， ， . （3）依题意，在上递增，. ，， ， 当时，不等式的解集为空集. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 7.已知函数满足，且． (1)求，判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)若对任意，都有成立，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，函数是奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用赋值法即可求得，利用奇函数定义和已知条件即可证明函数奇偶性； （2）根据条件得到函数单调性，再结合题中条件将原不等式化简，将恒成立问题转化为最值问题进而求解. 【详解】（1）因为函数满足， 所以令，得到，所以； 函数定义域为， 因为， 所以函数是奇函数 （2）因为对任意，都有成立， 所以函数在单调递增， 不等式，即， 即，即， 所以，所以对恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的取值范围为 8.已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③. (1)求及的值； (2)求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的增函数； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）在等式中，令可求得的值，令，结合可求得的值； （2）在等式中令可证得函数为奇函数，然后任取、，并且，根据函数单调性的定义可证得函数为上的增函数； （3）利用（2）中的结论将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为对任意的实数、，恒成立， 所以在上式中令得，即， 又在上式中令，得. 又，. （2）证明：在等式中令得. 即，且定义域为，则函数为奇函数. 又由已知可得：当时，， 任取、，并且，则，即， 所以，即， 则函数在区间上为增函数. （3）解：因为对任意的实数、，恒成立， 令，则，即， 又因为，所以， 又由（2）知函数为上的奇函数，则， 即， 又因为，所以， 又由（1）知，即， 则，也即， 又由（2）知函数为上的增函数， 所以，即，解得或， 故所求实数的取值范围为. 9.已知定义域为，对任意都有．当时，，且． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)是上的单调递减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法取可得，再令可得； （2）结合函数满足，且当时，，按照单调性定义证明步骤证明即可； （3）利用可将不等式化为，即可得，在利用换元法令，结合单调性可得对于，恒成立，即可解得. 【详解】（1）取， 则，于是， 令， 则， 又，则； （2）是上的单调递减函数． 证明： 任取， 则， 由于当时，，易知，则， 故， 可得是上的单调递减函数． （3）不等式可化为， 也即， 令 于是，都有恒成立， 由于为上的单减函数，则， 都有恒成立， 即成立，即恒成立； 令，它是关于的一次函数， 故只需，解得． 即， 解得 【点睛】方法点睛：在求解不等式恒成立问题时，要充分利用已知条件和函数单调性将不等式转化为求解自变量大小恒成立问题，再结合题意通过合理变形转化解不等式即可求得参数取值范围. 10.已知函数的定义域为，且满足下列条件： ①；②对于任意的，，总有；则： （Ⅰ）求及的值． （Ⅱ）求证：函数为奇函数． 【答案】（1）1,； （2）见解析； 【分析】（1）对分别赋值，令，代入题中所给的式子，得到，再重新赋值，u=1，v=-1，结合，求得； （2）利用奇函数的定义，对分别赋值，令，从而证得g(-x)=-g(x)，得到结果. 【详解】（Ⅰ）∵对于任意，都有， ∴令，得 ，∴． 令u=1，v=-1，则，∴． （Ⅱ）令，则有，∴， 因为，则g(-x)=f(x)-1, ∴ ，即：g(-x)=-g(x)． 故为奇函数． 【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质的判定与证明，以及利用函数的单调性求解不等式问题，其中解答中合理赋值，正确利用奇偶性的定义判定. 11.已知函数满足，当时，成立，且． (1)求，判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）赋值法即可求出；求出，化简，即可得出奇偶性； （2）根据已知得出函数的单调性，然后推得在上恒成立，换元得出在上恒成立，根据二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】（1）令，，可得. 函数为奇函数， 证明如下：，由题可知，的定义域为R，关于原点对称， 又∵， ∴， ∴为奇函数. （2）由已知当时，成立， 设，则，此时有， ∴为增函数. 又，即，， ∴， ∴在上恒成立. 令，可得在上恒成立. 又， 当时，根据二次函数的性质可知，在或处有最大值0， ∴，即． （二）保和型上移函数 1.已知定义在R上的函数同时满足下面两个条件： ①对任意，都有； ②当时，． (1)求； (2)判断在R上的单调性，并证明你的结论； (3)已知，若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)在R上为减函数．证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据题中条件，令，，即可求得；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）根据题中条件变形不等式，利用函数的单调性，问题转换为存在使得成立，参变分离后，求出函数的最小值即可求解. 【详解】（1）令，，则， 所以． （2）在R上为减函数．证明如下 设，则，则 又，则， 所以，即， 故在R上为减函数． （3）由得， 即． 又在R上为减函数，所以． 存在使得成立， 即在有解． 令，则，设． 当时，， 所以． 综上可知，实数m的取值范围为． 2.若定义在上的函数满足：，都有成立，且当时，． （1）求证：为上的增函数； （2）若，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）通过特殊值的方式可得与的关系，当时，，得到，根据当时，可得，由此证得结论； （2）由和函数单调性可将不等式化为；在，时可验证不等式恒成立；在，时，令，将问题转化为在时恒成立问题，通过讨论对称轴位置可确定所需条件，从而构造不等式求得范围. 【详解】（1）令，，解得：. 令，，，即， 当时，， ，，，即， 为上的增函数； （2），，， ， 由（1）知：为上的增函数，， 即， 当，时，恒成立，则； 当，时，， 令，则， 令，， 当时，只需，解得：或，； 当时，只需，解得：或， ； 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的恒成立问题的求解，解题关键是能够通过函数的单调性将函数值之间的大小关系转化为自变量之间的大小关系，进而将自变量转化为关于的二次函数的形式，利用二次函数图象的分析来构造不等式求得结果. 3.已知函数的定义域为R，对任意实数x，y，．当时，，． (1)求，的值； (2)判断函数的单调性并加以证明； (3)解不等式． 【答案】(1)，2 (2)减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，得，令，，得，解得答案. （2）函数是减函数，，，变换得到，得到证明. （3）不等式变换为，再根据函数的单调性得到答案. 【详解】（1）令，得，即． 令，，得，即． （2）函数是减函数，证明如下： ，，当时，，则， ，即， 所以函数是减函数． （3），所以，即， 因为函数是减函数，不等式可化为， 所以，解得，不等式的解集为． 4.已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③. (1)求及的值； (2)求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的减函数； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）分别令和即可求解； （2）由奇偶性和单调性的定义求解即可； （3）利用（2）中结论和条件①将变形为，利用单调性求解即可. 【详解】（1）当时，由题意得，解得， 当时，由题意，解得. （2）令，则， 任取，则，即， 所以函数是上的奇函数； 任取，则， 因为，所以，由②知，所以， 即，所以函数是上的减函数. （3）因为， 令可得， 所以， 又因为，所以，所以， 即， 由（2）可知是上的减函数，所以， 解得. 5.。若定义在R上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数， (1)求的值，并证明为奇函数； (2)解不等式 (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明过程见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用赋值法令可求出，令，即可证明为奇函数； （2）利用结合单调性的定义列出不等式，即可求解； （3）利用赋值法结合求出，再由的单调性结合一元二次不等式恒成立，即可求出实数m的取值范围. 【详解】（1）解：由 令，则 解得： 令，，则 即， 所以为奇函数 （2）解：由得 所以 即 所以 等价于 即 由，且，令， 得： 所以等价于 又为R上的增函数 所以，即 解得： 故不等式得解集为： （3）解：由（2）知， ，， 等价于 又为R上的增函数 所以 即，恒成立 所以 即，恒成立 ①当，即或 时，不等式变为：，符合题意 时，不等式变为：，即，不符合题意 ②当时 解得： 综上，实数m的取值范围为： 【点睛】方法点睛：一元二次不等式恒成立问题 ①当（）对恒成立，等价于 ②当（）对恒成立，等价于 题型02：类线性函数：f（a-b）=f（a）-f（b） 1.设函数的定义域为R，并且满足，且，当时，． （1）求的值，并判断函数的奇偶性； （2）解不等式 【答案】（1），奇函数（2） 【解析】（1）利用赋值法，求的值；利用函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性； （2）先证明函数是定义在上的增函数，求出，利用函数的奇偶性将不等式进行转化为，再利用函数的单调性脱去函数符号，即可求解． 【详解】（1）令，则，∴． ∵，∴，由，得， ∴函数是奇函数． （2）设，且，则，， ∵当时，，∴，即，∴， ∴函数是定义在上的增函数， 由，得， ， ∵，∴， ∴， ∵函数是定义在上的增函数， ∴，∴，∴不等式的解集为 2.设函数的定义域为R，并且满足，且当时， (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； (3)如果，求的取值范围； 【答案】(1)0；(2)函数是定义在上的减函数，详见解析；(3). 【分析】（1）利用赋值法，求的值； （2）利用函数单调性的定义，即得； （3）由题可得函数的奇偶性，再利用函数的单调性将不等式进行转化，即可求解． （1）令，则，∴； （2）函数是定义在上的减函数，设，且，则，∴， ∵当时，∴，即∴，∴函数是定义在上的减函数； （3）∵∴,又，∴， ∴函数是奇函数，∵， ∴， ∴，又函数是定义在上的减函数， ∴，即，∴的取值范围为. 3.定义在上的函数，满足对任意，有，且． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论； (3)当时，，解不等式． 【答案】(1)，(2)奇函数，证明见解析(3) 【分析】（1）令可得的值，再令，结合可得的值； （2）令，由函数奇偶性的定义即可求解； （3）根据函数单调性的定义判断的单调性，再由单调性结合解不等式即可求解. (1)令，得，所以， 令，，得，所以． (2)令得，，即， 所以函数为奇函数． (3)设，且，则，所以， 所以，故在上为增函数， ，等价于，所以，解得：， 故不等式的解集为． 4.定义在R上的函数f(x)满足：x，y∈R，f(x-y)=f(x)+f(-y)，且当x<0时f(x)>0，f(-2)=4. （1）判断函数f(x)的奇偶性并证明； （2）若x∈[-2，2]，a∈[-3，4]，f(x)≤-3at+5恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1）是奇函数，证明见解析；（2）. 【解析】（1）利用赋值法求出，再利用即可证明函数的奇偶性； （2）先证明函数的单调性，利用函数的单调性求出最大值，问题转化为对任意的，恒成立，即可求解. 【详解】（1）的定义域为，令，则，， 令，则，， ，是奇函数. （2）设，由得：，且当时 ，，，即，在上为减函数 因为函数在区间上是减函数，且，要使得对于任意的，都有恒成立，只需对任意的，恒成立. 令，此时y可以看作a的一次函数，且在时，恒成立. 因此只需，解得，所以实数t的取值范围是. 5.已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，. (1)判断并证明的单调性； (2)当时，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)减函数，证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）利用函数的单调性及条件含参讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）令，解得， 又当时，可判断为减函数， 证明如下： ，不妨设，依题意， 即， 因为，所以， 所以， 因此， 即， 所以为减函数. （2）原不等可化为 即： 因单调递减，故成立. 即： 当时，有，解为， 当时，，解为， 当时，，解为， 综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为. 题型03：保积函数：f（a*b）=f（a）*f（b） f（a*b）=f（a）*f（b），证明奇偶性，则常令一个字母取-1． 1.若函数对任意实数x，y都有，则称其为“保积函数”． (1)若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明； (2)对于（1）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集． 【答案】(1)函数是偶函数，证明见解析(2)[－9，9] 【分析】（1）令，则对任意实数x都成立，根据函数奇偶性的定义可得结论； （2）由已知得．再设任意的，利用函数的单调性的定义证得在上单调递增，再根据函数是偶函数得不等式，求解可得答案． (1)解;函数是偶函数，证明如下：令，则对任意实数x都成立， 所以是偶函数． (2)解：，因为，所以． 设任意的，则，所以， 所以，所以在上单调递增， 所以不等式等价于．又是R上的偶函数，所以，解得， 所以不等式的解集为[－9，9]． 2.已知函数是定义在上的非常值函数，对任意，满足. （1）求，的值； （2）求证：对任意恒成立； （3）若当时，，求证：函数在上是增函数. 【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析 【分析】（1）令和的值取等值，尝试代入使其能够算出，． （2）令代入即可证明； （3）取，再利用题目条件化简证明即可． 【详解】（1）令可得，对任意的都有，所以又是非常值函数，故；令则对任意的都有，所以恒成立对任意成立，故．所以． （2）取则对任意的成立，又函数是定义在上的非常值函数，故，，即所以对任意恒成立． （3）取，则，又，所以时，，，又由（2）故 ，所以当时，，所以函数在上是增函数． 3.已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)奇函数(2)单调递增，证明见详解(3)或 【分析】（1）根据题意，令，即可判断； （2）根据题意，先证，恒成立，再结合定义法，即可证明单调性； （3）根据题意，先根据单调性求出的最值，再将原不等式转化为，构造关于的函数即可求解. （1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数. （2）在上单调递增. 证明：由题意，可知， 假设，使得，则， 而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立. 设，且，则，因此， 因为，且当时，，所以，又因为，所以，即，又因为，所以在上单调递增. （3）根据题意，结合（1）（2）可知，在上单调递增， 因此，， 故，， 因为，恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 令，则，恒成立， 故，解得或. 4.已知函数对任意实数x，y都有，且，当时， （1）判断的奇偶性并证明. （2）判断在上的单调性，并证明. 【答案】（1）为偶函数，证明见解析，（2）在上单调递增，证明见解析 【解析】（1）利用赋值法，令，代入即可证明函数的奇偶性； （2）先证明当时，，再利用已知和单调函数的定义，证明函数在上的单调性 【详解】解：（1）函数为偶函数，证明：令，则，因为，所以，且，所以为偶函数， （2）在上单调递增。证明：设，则，所以， 所以，当时，， 当时，，，则， 所以，即当时，，因为，所以，即， 所以，即，所以在上单调递增 5.已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2)单调递增，证明见详解 (3)或 【分析】（1）根据题意，令，即可判断； （2）根据题意，先证，恒成立，再结合定义法，即可证明单调性； （3）根据题意，先根据单调性求出的最值，再将原不等式转化为，构造关于的函数即可求解. 【详解】（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数. （2）在上单调递增. 证明：由题意，可知， 假设，使得，则， 而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立. 设，且，则， 因此 ， 因为，且当时，，所以， 又因为，所以，即， 又因为，所以在上单调递增. （3）根据题意，结合（1）（2）可知，在上单调递增， 因此，， 故，， 因为，恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 令，则，恒成立， 故，解得或. 6.若函数对任意实数x，y都有，则称其为“保积函数”． (1)若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明； (2)对于（1）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集． 【答案】(1)函数是偶函数，证明见解析 (2)[－9，9] 【分析】（1）令，则对任意实数x都成立，根据函数奇偶性的定义可得结论； （2）由已知得．再设任意的，利用函数的单调性的定义证得在上单调递增，再根据函数是偶函数得不等式，求解可得答案． 【详解】（1）解;函数是偶函数，证明如下： 令，则对任意实数x都成立， 所以是偶函数． （2）解：， 因为，所以． 设任意的，则，所以， 所以，所以在上单调递增， 所以不等式等价于． 又是R上的偶函数，所以，解得， 所以不等式的解集为[－9，9]． 题型04：形如f（axb）=f（a）+f（b）类比对数 形如可以类比对数函数的性质， 基本技巧是赋值，有如下规律技巧： 1．第一层次赋值：常常令字母取0，-1，1． 2．第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取． 3．第三层次赋值：拆分赋值．根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）．如4=2X2，8=4X2； 拆成和，3=1+2=1+1+2等等 1.已知定义域为的函数满足对任意，都有． （1）求证：是偶函数； （2）设时， ①求证：在上是减函数； ②求不等式的解集． 【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析, ② 【分析】（1）函数性质先计算，令即可证明（2）①设，则由通过性质可得出即可证明②由是偶函数原不等式可得，再利用函数在上是减函数求解即可. 【详解】（1）取得，即，取得，即， 取，得，即是偶函数． （2）①设，则，由时，得，则， 即在上为减函数， ②由是偶函数且在上是减函数，则不等式等价为， 即得，得得， 即或或，即不等式的解集为. 2.已知函数对于任意非零实数满足且当时，. （1）求与的值； （2）判断并证明的奇偶性和单调性； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）；（2）偶函数，在为减函数，在上为增函数；（3）或或 【分析】（1）利用赋值法，令，可求得的值，令，可求得的值； （2）判断定义域为，令，结合（1）中，化简可得，可得是偶函数；设，则，由题意可得，利用定义法即可证明在单调性，根据是偶函数，可得在的单调性； （3）根据（1）和（2）结论，将题干化简为或，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则，所以； （2）令，则， 由（1）可知，所以，， 所以是偶函数； 设，则，由题意得当时，，所以， 则，即所以在上为增函数， 根据是偶函数，可得在为减函数， 综上在为减函数，在上为增函数； 3.定义在非零实数集上的函数对任意非零实数满足:,且当时. (1)求及的值； (2)求证:是偶函数； (3)解不等式：. 【答案】（1）f(-1)=0，f(1)=0；（2）见解析；（3） 【分析】(1) 令可解得;令,可解得: ; (2) 令,结合偶函数的定义可证; (3)先用定义证明函数在上是增函数,再将不等式转化为后,利用单调性可解得. 【详解】(1)在中,令,可得,解得. 令,可得:,解得:. (2) 中,令,可得, 所以函数 是偶函数. (3)当时, ,由题意得: , 所以在上是增函数, 又由(2)知是偶函数, 所以 等价于,等价于, 又在上是增函数,所以,且, 解得:且, 所以不等式的解集为 4.已知函数的定义域为，对，总有成立.若时，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求解关于的不等式的解集. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）赋值法求出，，且，则，根据单调性的定义结合已知即可证明； （2）赋值法求出，根据已知结合函数的单调性，将不等式化为.求解结合函数的单调性，即可得出答案. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 令，由已知可得，，则. 由已知可得，. ，且，则， 则，即， 所以，在上单调递减. （2）令，由已知可得. 又， 不等式化为. 由（1）知，在上单调递减， 所以，. 又，， 所以，所以有， 整理可得，， 解得，所以，. 所以，不等式的解集为. 5.设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，. (1)判断并证明函数在上的单调性： (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1)在上为增函数，证明见解析 (2)或 【分析】（1）已知条件结合函数单调性的证明方法即可得解. （2）通过适当变形，把已知不等式转化为方便运用单调性的形式即可. 【详解】（1）在上为增函数. 设，则即， ，故，即， 故在上为增函数； （2）由得：， ， 所以， 解得或， 所以不等式的解集为：或. 6.已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，. (1)证明：当时，； (2)判断的单调性并加以证明； (3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)函数单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）赋值法，取可得，再令可证； （2）先设，然后用代换中的，结合（1）可证； （3）根据已知和单调性去掉函数符号，然后分离参数，利用基本不等式可得. 【详解】（1）； ； 当时，；； 当时，. （2）单调递减. 证明： 即 单调递减 （3）函数的定义域是    ； 恒成立； 由（2），单调递减，恒成立，恒成立， 因为，当且仅当时等号成立 所以； 又有意义，所以 综上：. 7.定义在上的函数满足：对任意都有成立，且时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)偶函数，证明见解析， (2) 【分析】（1）由奇偶性的定义证明， （2）由函数的单调性转化，结合指数函数的性质求解， 【详解】（1）由题意得，当时，得， 当时，，得， 则，故为偶函数， （2）当时，， 而，故在上单调递增， ， 即对任意的恒成立， 设，，由指数函数的性质得在单调递减， 故，解得， 即的取值范围为 题型05：形如f（a*b）=f（a）+f（b）+t 类比对数上下偏移 1.定义在上的函数，对任意，都有，且当时，． （1）求与的值； （2）证明为偶函数: （3）判断在上的单调性，并求解不等式． 【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）单调递减，或. 【解析】（1）利用赋值法即可求出的值; （2）根据偶函数的定义即可判断为偶函数; （3）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可. 【详解】（1）令，则令，则 （2）令，则， ∴为偶函数． （3）令，，设，则且∴ ∴∴在上单调递减，又为偶函数 ∴或∴或∴或 2.设定义在（0，+∞）上的函数 f（x），对于任意正实数 a、b，都有 f（a•b）＝f（a）+f（b）﹣1，f（2）＝0，且当 x＞1 时，f（x）＜1． （1）求 f（1）及的值； （2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数． 【答案】（1）f（）＝2；（2）见解析 【分析】（1）可令a＝b＝1，解得f（1）＝1，再根据f（2×）＝f（2）+f（）求解f（）即可 （2）可设0＜x1＜x2，可得＞1，将f（x2）表示成f（x1•），再结合f（a•b）＝f（a）+f（b）﹣1的性质进行判断即可 【详解】（1）令a＝b＝1得f（1）＝f（1）+f（1）﹣1，得f（1）＝1，∵f（2）＝0， ∴f（2×）＝f（2）+f（）﹣1＝f（1），则0+f（）﹣1＝1，得f（）＝2； （2）证明：设0＜x1＜x2，可得＞1，可得f（）＜1， 由f（x2）＝f（x1•）＝f（x1）+f（）﹣1＜f（x1）， 可得函数f（x）在（0，+∞）上是减函数． 3.已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数． 【答案】证明见解析 【分析】任取、，且，可得出，结合已知条件可出、的大小关系，即可证得结论成立. 【详解】证明：任取、，且， 则． 因为，所以，所以，即， 所以函数是上的增函数． 4.已知函数的定义域为，且满足：当时，，、，都有. (1)判断函数的单调性并加以证明； (2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）判断出在单调递增，任取、且，可得出， 可得出，即可证得结论成立； （2）由题意可知，当时，，利用参变量分离法可求得，将所求不等式变形为，由（1）中的结论可得出，利用参变量分离法结合基本不等式可求得，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：在单调递增，理由如下： 任取、且，则，则， 所以，， 所以，函数在单调递增. （2）解：当时，，则， 因为，所以， 由可得， 即， 因为函数是定义在上的增函数，所以，， 因为，则，所以，，可得， 令，则， 当时，则； 当时，则， 由基本不等式可得， 所以，，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，， 5.已知定义在上的函数对于，，都满足，且当时，． (1)求的值； (2)根据定义，研究在上的单调性． 【答案】(1) (2)在上单调递增 【分析】（1）利用赋值法求得. （2）根据函数单调性的定义，计算得，从而判断出在上单调递增. 【详解】（1）依题意，函数对于，，都满足， 令得. （2）任取，则，所以， 所以 ， 所以，即， 所以在上单调递增. 题型06：形如f（a/b）=f（a）-f（b） 类比对数商函数 1.已知函数是定义在上的增函数，. （1）求；（2）求证：； （3）若，解不等式：. 【答案】（1）0（2）证明见解析（3） 【分析】(1)本题可以令以及，带入，即可得出结果； (2)本题可以令以及，然后带入，根据即可得出结果； (3)本题首先可以通过题意得出，然后根据得出，再然后根据得出即，最后根据函数是定义在上的增函数即可得出结果. 【详解】(1)令，，则，解得, (2)令，，则，因为，所以， (3)因为函数的定义域为，所以，，因为，所以，解得， 因为，所以，即， 因为函数是定义在上的增函数，所以，即， 即，，解得，的取值范围为. 2.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f＝f（x1）－f（x2），且当x>1时f（x）>0，若f（3）＝1． （1）判断f（x）的单调性； （2）解关于的不等式； （3）若对所有恒成立,求实数． 【答案】（1）递增；（2）；（3） 【详解】试题分析：（1）判断函数单调性一般采用定义法，定义域上任取，判断的正负，当 时函数递增，当函数递减；（2）由可得到，不等式转化，借助于函数单调性可求得的范围；（3）将不等式恒成立转化为求函数的最大值，通过函数单调性可得到最大值为，即恒成立 试题解析：（1）设时 ，所以函数为增函数 （2） 中令，不等式转化为，由函数为增函数可得，不等式解集为 （3）函数在上是递增函数，因此最大值为，所以不等式恒成立转化为对所有恒成立， 恒成立，设，所以需满足，解不等式得 3.定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【答案】(1)； (2)是偶函数；证明见解析. 【分析】（1）分别令和，即可得结果； （2）令结合偶函数的定义即可得结果. 【详解】（1）令，则． 再令，可得， ∴． （2）是偶函数； 证明：令可得， ∴是偶函数． 题型07：类指数函数：形如f（a+b）=f（a）f（b） 1.已知函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，．求证：在上是单调减函数． 【答案】证明见解析. 【分析】由得，，再令，，可证恒成立，再根据单调性证法设，将变形成即可求证. 【详解】对于任意实数，，恒有，且当时，． 令，，则，且由时，， ；设，，，，，，．即当时，有． 即恒成立， 设，则， ，， ，即，在上单调递减． 2.已知定义在上的函数对任意实数都满足，且．当时，． （1）求的值； （2）证明：在上是增函数； （3）解不等式． 【答案】（1）1（2）证明见解析（3） 【分析】(1)利用赋值法，即可求f (0) 的值(2)利用函数单调性的定义，结合抽象函数的关系进行证明即可（3）原不等式可转化为，利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为任意实数都满足，令，则，， （2）当时，则，，，， 即时，恒成立，设任意的，且，则，， ，即在上是增函数， （3），，由（2）知在R上为增函数， ，得：，故不等式的解集为. 3.已知函数f（x）定义域为R，f（1）=2，f（x）≠0，对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，f（x）＞1； （1）判断f（x）在R上的单调性，并证明； （2）解不等式f（x）f（x-2）＞16． 【答案】（1）见解析； （2）（3，+∞）. 【分析】(1)利用函数单调性的定义证明，利用任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y）构造出定义式的结构. （2）利用f（x+y）=f（x）•f（y）把f（x）f（x-2）化成f（x+x-2）,求出f（4）=16，结合单调性求解. 【详解】（1）f（x）在R上单调递增，证明如下： ∴；不妨设x1＞x2，则x1-x2＞0； 又x＞0时，f（x）＞1；∴f（x1-x2）＞1；∴；∵；∴f（x1）＞f（x2）； ∴f（x）在R上单调递增； （2）∵f（1）=2，∴f（2）=f（1+1）=f2（1）=4；∴f（4）=f（2+2）=f2（2）=16；∴f（x）f（x-2）＞16可化为f（2x-2）＞f（4）；由（1）知，f（x）在R上单调递增；∴2x-2＞4；∴x＞3； ∴原不等式的解集为（3，+∞）． 4.定义在上的函数满足:①对一切恒有；②对一切恒有；③当时，，且；④若对一切(其中)，不等式恒成立. (1)求的值； (2)证明:函数是上的递增函数； (3)求实数的取值范围. 【答案】（1）4，8（2）证明见解析（3） 【分析】1）用赋值法令求解.（2）利用单调性的定义证明，任取，由 ，则有，再由条件当时，得到结论. （3）先利用将转化为，再将恒成立，利用函数是上的递增函数，转化为恒成立求解. 【详解】（1）令 所以所以 （2）因为任取 因为当时， 所以所以，所以函数是上的递增函数， （3）因为又因为恒成立 且函数是上的递增函数，所以，(其中)恒成立 所以若对一切(其中)，恒成立. 当 ，即时 所以，解得当时， 解得当， 所以且解得 综上：实数的取值范围 5.已知函数的定义域为R，对任意的，都有.当时，，且. (1)求的值，并证明：当时，. (2)判断的单调性. (3)若，求不等式的解集. 【答案】(1)，证明见解析 (2)在R上单调递减 (3) 【分析】（1）令求得的值，当时，由判断的范围； （2）根据单调性定义及的范围判断； （3）将不等式转化为结合的单调性求解. 【详解】（1）令，则， 又，所以. 证明：当时，，所以， 又， 所以，所以. （2）令，， 则 ， 又，所以，所以， 所以， 又当时，，当时，，当时，， 所以，所以， 所以，即， 所以在R上单调递减. （3）因为， 所以， 所以， 由（2）知在R上单调递减， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 6.设函数的定义域是，对于任意实数，恒有，且当时，． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性； (3)试举出一个满足条件的函数，并说明举例的理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递减 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据题设条件利用赋值法证明即可； （2）利用函数单调性的定义判断即可； （3）根据题设条件从所学的基本初等函数中，选择一个函数即可. 【详解】（1）对任意实数，恒有， 令，，则．     因为当时，，所以．        设，，则，其中， 所以． 即当时，有． （2）设，则，所以． 由（1）知，，所以 ，即，所以在上单调递减． （3）答案不唯一．如：．      因为， 且当时，．故指数函数满足题意. 7.设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性； (3)试举出一个满足条件的函数． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递减 (3)（答案不唯一） 【分析】（1）根据抽象函数的性质求出，再赋值，即可得证； （2）根据函数单调性的定义及抽象函数的性质证明即可； （3）根据抽象函数性质及指数函数性质即可得解. 【详解】（1）对任意实数，，恒有， 令，，则． 因为当时，，所以． 设，，则， 所以． 即当时，有． （2）设，则，所以． 由（1）知，，所以 ，即，所以在上单调递减． （3）答案不唯一．如：．因为， 且当当时，．故指数函数满足题意. 题型08：形如f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b） 1.设的定义域是，在区间上是严格减函数；且对任意，，若，则． (1)求证：函数是一个偶函数； (2)求证：对于任意的，． (3)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）令可得，再令代入所给条件即可求解； （2）令，代入所给条件即可得证； （3）原不等式可化为，由二次不等式解法得出或， 再由及函数的单调性求解. （1）令，则，即， 因为的定义域是，在区间 上是严格减函数，所以不恒为0， 所以，即，再令， 则，即 ，所以函数是一个偶函数. （2）令，则，所以，得证. （3）令，则，即 ，所以， 由可得 ，即， 解得或，所以或 ，因为在区间上是严格减函数， 所以或，解得或或 ，又，即， 所以或或 ，所以不等式的解集为 2.是定义在上的函数，对一切都有且 （1）求； （2）判断函数的奇偶性 【答案】(1)(2)偶函数 【分析】（1）取，得到 （2）取得到，即得到答案. 【详解】（1） 取，则 （2） 取得到，即 函数为偶函数 3.已知函数满足，，，且在区间上，恒成立. (1)证明：是偶函数；(2)求； (3)证明：是周期函数. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析 【分析】（1）令得，然后令可证得函数为偶函数； （2）令，求得，然后令可得； （3）令得，此式为，由此式变形可证得周期函数． (1) 令，得，因为，所以， 令，得，所以， 所以为偶函数． (2)令，则，所以， 又，所以，令得，． (3)在中令得， 所以，即， 所以， 4.设的定义域是，在区间上是严格减函数；且对任意，，若，则． (1)求证：函数是一个偶函数； (2)求证：对于任意的，． (3)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令可得，再令代入所给条件即可求解； （2）令，代入所给条件即可得证； （3）原不等式可化为，由二次不等式解法得出或， 再由及函数的单调性求解. 【详解】（1）令，则，即， 因为的定义域是，在区间 上是严格减函数，所以不恒为0， 所以，即， 再令， 则，即 ， 所以函数是一个偶函数. （2）令， 则， 所以，得证. （3）令， 则，即 ， 所以， 由可得 ，即， 解得或， 所以或 ， 因为在区间上是严格减函数， 所以或， 解得或或 ， 又，即， 所以或或 ， 所以不等式的解集为 5.（1）已知函数，，若对于任意实数，，都有，求证：为偶函数． （2）若函数的定义域为（），证明：是偶函数，是奇函数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）令，，或令，，得出方程组，由奇偶性定义即可证明. （2）设，，利用函数的奇偶性定义即可证明. 【详解】证明：（1）令，， 则①， 令，，得②． 由①②得，即． ∴是偶函数． （2）∵，∴， 可见的定义域也是． 若设，， 则与的定义域也是，显然是关于坐标原点对称的． 又， ， ∴为偶函数，为奇函数， 即是偶函数，是奇函数． 6.定义在R上的函数，对任意的，有，且. （1）求证：；         （2）求证：是偶函数. 【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析 【分析】（1）在中，令可证； （2）在中，令，利用偶函数的定义可证. 【详解】（1）证明：在中， 令，得， 又，所以. （2）证明：在中， 令，得， 又，所以， 即，所以是定义在上的偶函数. 【点睛】本题考查了赋值法，考查了利用偶函数的定义证明函数为偶函数，属于基础题. 7.已知函数对任意实数恒有成立，且当时，. (1)求的值; (2)判断的单调性，并证明; (3)解关于的不等式:. 【答案】(1) (2)是上的减函数，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意，令，即可求得； （2）令，得到，所以为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）化简不等式为，结合函数的单调性，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：因为函数对任意实数恒有成立， 令，则，所以. （2）解：函数为上的减函数. 证明:令，则，所以，故为奇函数. 任取，且，则， 因为当时，，所以， 所以 ，即，所以是上的减函数. （3）解：根据题意，可得， 由（2）知在上单调递减，所以， 即，可得， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 8.已知函数，，若对于任意实数，，都有，求证：为偶函数． 【答案】（1）证明见解析； 【分析】令，，或令，，得出方程组，由奇偶性定义即可证明. 【详解】证明：令，，则①， 令，，得②． 由①②得，即．∴是偶函数． 9.已知，都是定义在R上的函数，对任意实数x，y恒有. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)若，，，且在上单调递减，求不等式的解集. 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）判断奇偶性，应用奇偶性定义证明； （2）先应用赋值法求值，再应用奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】（1）是偶函数， 证明如下： 因为的定义域为R，所以对，都有. 令，则， 所以. 令，则， 所以，即，故是偶函数. （2）令，则， 由不等式得， 所以， 即， 所以， 化为，且在上单调递减， 由偶函数的性质与单调性可知，， 解得， 故不等式的解集为. 题型09：形如， 主要有以下几个方面经验思维： 1.如果0属于定义域，一般情况下f（0）=0. 2.如果定义域关于原点对称，一般情况下，函数是奇函数. 1.已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明 (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减 【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【分析】（1）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x，可得f（-x）=-f（x），故得证；（2）由单调性的定义，任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，由性质可得可得f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(，由已知可判f()<0，进而得证． 【详解】证明：(1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0, 令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0  ∴f(x)=－f(－x)  ∴f(x)为奇函数 (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减 令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f() ∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1, ∴0<<1,由题意知f()<0， 即　f(x2)<f(x1) ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0 ∴f(x)在(－1，1)上为减函数 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断与证明，给x，y赋值是解决问题的关键，属基础题． 2.定义在上的函数满足：①任意，都有；②时，有. （1）判定在上的奇偶性，并说明理由; （2）判定在上的单调性，并给出证明. 【答案】(1) 奇函数. 理由见解析；(2) 单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法， y＝0求出f（0）的值，结合y＝﹣x，利用已知条件，推出函数是奇函数即可． （2）先设，然后作差求f（x1）﹣f（x2），根据题目条件进行化简变形判定其符号，根据函数单调性的定义即可判定． 【详解】(1) 由已知 令，则，， 令，则，即， 是上的奇函数. （2）任取，，满足， 又，，，又，， ，， 时，有，，即， 即在上单调递减. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定与证明，以及函数奇偶性的判定，函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质，单调性是函数的“局部”性质，属于中档题 3.定义在上的函数，对任意都有. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，试求的值. 【答案】（1）在定义域上为奇函数；理由见解析；（2）1. 【解析】（1）分别取，，利用奇偶性的定义求解. （2）根据，推出，，求解. 【详解】（1）取，则， ∴， 任取， 则，即， ∴在定义域上为奇函数； （2）因为， 同理，， ， 所以， ， ∵， ∴. 【点睛】方法点睛：1、抽象函数判断奇偶性的方法：利用主条件，采用赋值法根据函数奇偶性的定义判断； 2、抽象函数求值的方法：根据条件中的函数值和问题中要求的函数值的信息，结合函数的性质，利用主条件求解； 4.已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3) 【分析】（1）利用赋值法先求出，再得到的关系，进而可证奇偶性； （2）先取值，然后还是利用赋值法得到的正负，继而证明单调性； （3）结合前两问所得奇偶性与单调性，利用单调性的逆用即可求解抽象函数不等式. 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： 令，则，解得； 令，则，令，则， ∴为定义在上的奇函数． （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则，∴． ，则，则； 又， ∴，又当时，，∴， ∴，即，∴在上单调递减． （3）由得， ∵的定义域为且在上是单调递减的， ，解得，∴不等式的解集为． 5.已知函数的定义域为，对于任意的x，，有，且当时，. (1)判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明； (2)若，对一切，（其中）恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数是的奇函数，函数在上单调递增，证明见解析 (2)或 【分析】（1）令可得，再令，可得，从而可得函数是的奇函数；设，则，进而可得，从而可得，即可得到函数在上单调递增； （2）当时，由可得，参变分离后可求得；当时，分、两种情况求解，最后求交集即可. 【详解】（1）函数是的奇函数，理由如下： 令，可得，可得. 令，可得 函数是的奇函数； 函数在上单调递增.理由如下： 设，则， ， 即， 函数在上单调递增. （2）当时，对一切恒成立， ， 可得， 在上单调递增， ， ，解得或，又. 当时，对一切恒成立， 当时，， 可得， 在上单调递增， ，解得，又，； 当时，，， 可得，，又，解得. 所以当时，对一切恒成立，求得. 综上可得，或. 6.定义在上的函数满足：对任意的，，都有：. （1）求证：函数是奇函数； （2）若当时，有，求证：在上是减函数； （3）若，对所有，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或或 【解析】（1）令得，再令即可证明.（2）根据定义结合已知证明. （3）转化为，再变换主次元考虑. 【详解】（1）证明：令得：设任意，则，，即， ∴函数是奇函数； （2）设，则，由知：，且，所以，即，∴，又 即，从而，即，， 所以在上是减函数； （3）由（2）函数在上是减函数，则当时，函数 的最大值为， 若对所有恒成立，则等价为 对恒成立，即， 设，则对恒成立，∴，即，即， 解得或或 7.定义在上的函数满足：对任意的，都有： （1）求证：函数是奇函数； （2）若当时，有，求证：在上是减函数； （3）在（2）的条件下解不等式：; （4）在（2）的条件下求证：. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）（4）详见解析 【分析】（1）令x＝y＝0 可求得f（0）＝0；令y＝﹣x代入可判断f（x）的奇偶； （2）设﹣1＜x1＜x2＜1，利用f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2），分析判断出﹣10，再结合条件即可证明结论； （3）根据奇偶性与单调性可得不等式组，解之即可； （4）可得，结合（2）可得结果. 【详解】解：（1）令得： 设，则，，即， 函数是奇函数； （2）设，则， 由知：，且，所以，即， ，又 即，从而，故，即， 即，所以在上是减函数 （3），又由为奇函数，即， 由（2）知在上是减函数， 解得：，故不等式的解集为； （4） ， 故 由，， 即 8.已知函数在上有意义，且对任意满足. （1）判断的奇偶性，并证明你的结论； （2）若时，，则能否确定在的单调性？若能，请确定，并证明你的结论，若不能说明理由. 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）单调递减函数，证明见解析. 【分析】（1）先令，得，再令，可得，运用函数的奇偶性的定义可得结果； （2）令，可得，只需证明即可得结论. 【详解】解：（1）令，则， 令，则，则，所以奇函数； （2）单调递减.证明：设任意，令，则， 即：，因为，所以，， 所以，所以由已知条件：，故：，所以， 所以在上是单调递减函数.又因为是（-1，1）上的奇函数， 所以在上是单调递减函数. 9.已知函数在上有意义，且对任意满足． (1)求的值，判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若时，，判断在的单调性，并说明理由． (3)在（2）的条件下，请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分） ①若，请问是否存在实数，使得恒成立，若存在，给出实数的一个取值；若不存在，请说明理由． ②记表示两数中的较大值，若对于任意，，求实数的取值范围？ 【答案】(1)，奇函数；证明见解析 (2)在上是单调递减函数；理由见解析 (3)①不存在；理由见解析 ；②. 【分析】（1）令，得到，再令，可得，劲儿可得出结论； （2）设任意，，令，进而可得，判断其正负，结合单调性的概念即可得出结论. 选①结合函数单调性可得，进而可得，解不等式即可得出结论； 选②令，，所以，进而分和两种情况讨论即可求出结果. （1）令，则，解得，令，则， 则，又因为定义域为，关于原点对称，所以为奇函数． （2）在上是单调递减函数．理由：设任意，，令， 则，即：，因为，， 所以，所以，所以， 因为时，，所以，故，所以， 所以在上为单调递减函数． （3）选① 由（2）知，在上是单调递减函数，且．所以，， 因为，所以，所以， 即，，，所以，即， 又因为， 所以不存在实数使得恒成立． 选②，由（2）知，在上是单调递减函数，且． 所以，所以，所以， 令，，所以，若，； 若，，因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以． 综上，实数m的取值范围为． 10..已知定义在上的函数，对任意，有，且时，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)若，解不等式. 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用赋值法求出，再利用奇偶函数的定义推理判断即得. （2）任取，利用函数单调性定义推理即可. （3）利用（1）（2）的结论，求解抽象的函数不等式. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 令，则，令，任意，有 则，即， 所以函数为奇函数． （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则， 显然，即，又， 因此，又，则， 于是，即， 所以函数在上单调递增. （3）因为函数的定义域为，由，解得， 由函数为奇函数，得 ，又函数在上单调递增， 因此，解得， 所以帮不等式的解集为． 题型10：型 1.已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)； (2)奇函数；理由见详解 (3)单调递减，理由见详解 【分析】（1）利用赋值法即可求得；（2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性；（3）赋值构造出表达式，再运用定义证明函数单调性. 【详解】（1）令，，可得， 解得； 令，，可得，解得. （2）为奇函数，理由如下： ， 而， 得 故在上是奇函数 （3）当时，，所以当，则，得， 又在上是奇函数，所以当，则， 设，则，所以，，故 ， 在上单调递减. 【点睛】方法点睛：抽象函数求解证明时，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还能得出函数的奇偶性、周期性、单调性． 2.已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)， (2)为奇函数，理由见解析 (3)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法即可求得； （2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性； （3）赋值构造出得表达式，再运用定义证明函数单调性. 【详解】（1）令，可得，解得， 令，可得，① 令，可得，② 联立①②可得（因为当时，，所以（舍去）． （2）为奇函数．理由如下： 令，可得（且），③ 用替换，令，可得（且），④ 由③④可得（，且）， 当时，，也满足，故为定义在上的奇函数． （3）在上单调递减．证明如下： 由（2）可得，，所以，， 令，，可得， 设，则，， 因为当时，，所以，， 所以，即， 所以在上单调递减． 【点睛】方法点睛：抽象函数求解证明时，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还能得出函数的奇偶性、周期性、单调性． 题型11：形如类比正切函数 1.函数对定义域上任意满足：. （1）求的值； （2）设关于原点对称，判断并证明的奇偶性； （3）当时，，证明在上是增函数. 【答案】（1）0；（2）奇函数；证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）直接令，即可求得的值；（2）令，利用奇函数的定义即可证明； （3）利用增函数的定义证明即可. 【详解】解：(1)令，， ， ， ； (2)由题意知：关于原点对称，令， ， ，即对定义域内的任意实数都成立，是定义域内奇函数 ； (3)设 ， ，又 ，，， ，，，， 即，在上递增. 2.定义在上的函数满足：对任意的都有，且当时，． （1）判断在上的单调性并证明； （2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立． 【答案】（1）单调递增；证明见解析；（2）. 【解析】（1）首先判断，再令，判断函数的奇偶性，再设任意，利用已知条件列式，判断符号，证明函数的单调性；（2）不等式转化为，再利用函数的单调性，去掉“”后，求的取值范围. 【详解】解：（1）令，则，得， 再令，则，∴，∴为奇函数，对任意， 令，，则，∵当时，， ∴，，从而， ∴在上的单调递增.（2）∵为奇函数，∴， ∵在上的单调递增，且，∴在上单调递增，由题意得： 及在上恒成立，∴，得①； ，，得②，由①②可知，的取值集合是. 3.定义在R上的函数满足：①值域为，且当时，，②对定义域内任意的，满足，试回答下列问题： (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断并证明函数的单调性； (3)对，使得不等式恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见详解；(2)在R上单调递减，证明见详解；(3)[，＋) 【分析】(1)采用赋值法进行判断与证明，先令x＝y＝0求出f(0)，再令y＝－x即可判断； (2)结合已知条件，用定义证明函数的单调性； (3)根据单调性将转化为关于a、m的不等式，参变分离a和m，构造函数，根据恒成立和能成立(有解)转化为求函数的最大值或最小值问题﹒ 【详解】(1)令得，即或(舍去)， 令代入得，对，即在上为奇函数； (2)设，若，，由(1)知在上为奇函数， 则，函数的值域为，则，即， 又，则，，在上为减函数；(3)由(2)知在上为减函数， ，化简得对，使得恒成立.设，有， (当且仅当时等号成立)， 的对称轴为，开口向下，， ，，即﹒ 4．定义在上的函数满足：对任意的都有，且当时，． （1）判断在上的单调性并证明； （2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立． 【答案】（1）单调递增；证明见解析；（2）. 【解析】（1）首先判断，再令，判断函数的奇偶性，再设任意，利用已知条件列式，判断符号，证明函数的单调性；（2）不等式转化为，再利用函数的单调性，去掉“”后，求的取值范围. 【详解】解：（1）令，则，得， 再令，则， ∴，∴为奇函数， 对任意， 令，， 则， ∵当时，， ∴，， 从而， ∴在上的单调递增. （2）∵为奇函数，∴， ∵在上的单调递增，且， ∴在上单调递增，由题意得： 及在上恒成立， ∴，得①； ，，得②， 由①②可知，的取值集合是. 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数证明单调性和奇偶性，以及不等式恒成立求参数的取值范围，一般抽象函数证明单调性和奇偶性时，采用赋值法，利用定义证明，本题不等式恒成立求参数，采用参变分离的方法，转化为求函数的最值. 5.函数对定义域上任意满足：. （1）求的值； （2）设关于原点对称，判断并证明的奇偶性； （3）当时，，证明在上是增函数. 【答案】（1）0；（2）奇函数；证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）直接令，即可求得的值； （2）令，利用奇函数的定义即可证明； （3）利用增函数的定义证明即可. 【详解】解：(1)令， ， ， ， ； (2)由题意知：关于原点对称， 令， ， ， 即对定义域内的任意实数都成立， 是定义域内奇函数 ； (3)设 ， ， 又 ，，， ，，， ， 即， 在上递增. 【点睛】易错点点睛：证明函数奇偶性要注意定义域是否关于原点对称. 6.已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0.试问： （1）f（x）的奇偶性如何？说明理由； （2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）增函数，理由见解析. 【分析】（1）根据奇函数的定义可得结论； （2）根据题意得到在（0，2a）上f（x）是增函数，且此时；；在（2a，4a）上也是增函数，且此时，所以在（0，4a）上为增函数. 【详解】（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有 ，∴在定义域中. ∵， ∴f（x）是奇函数. （2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a， ∵在（0，2a）上，f（x）＜0， ∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1）＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数. 又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0， 设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a， ，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上，f（x）＞0. 设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零.f（x2－x1）＜0， ∵，∴， 即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数. 综上所述，f（x）在（0，4a）是增函数. 7.设函数的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的，有f()= . 求证：是奇函数. 【答案】证明见解析 【分析】对定义域内任意存在和，使，同样存在和，使，根据条件可得与的关系，即与间的关系，根据奇偶函数定义即可判断． 【详解】解：函数在定义域内是奇函数． 因为在定义域内，对任意存在和，使， 且满足， 由于函数的定义域关于原点对称，必与同时在定义域内， 同样存在和，使，且满足：， 即， ， 函数在定义域内是奇函数． 8.．已知函数的定义域关于原点对称，且满足（1）（2）存在正常数，使得 求证：（1）是奇函数； （2）是周期函数，并且有一个周期为 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）将和分别代入抽象表达式（1），即可判断与之间互为相反数，并判断函数是奇函数； （2）根据条件，结合抽象函数的关系以及周期的定义进行推导即可. 【详解】（1）不妨令， 则， 所以是奇函数； （2）若，，所以，则 ，即， 所以，所以是周期函数，是一个周期. 题型12：类比余弦型 类余弦函数，可以参考余弦函数得性质，得出一些一般性质规律.但是需要在大题解答过程中严格证明. 1.设函数的定义域为，对任意实数，有，且 (1)求证：； (2)若时，，求证：在上单调递减. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先可得，然后分别令、可证明； （2）令可得，然后结合条件和单调性的定义可证明. 【详解】（1）令，可得， 由，解得， 令可得， 化简得， 令可得 所以， 综上，； （2）因为，所以时， 又因为，所以时，时， 任取， 令可得， 因为， 所以 所以上式可化为，所以函数在上单调递减. 2.设函数的定义域为，对任意有，且. （1）求的值； （2）求证是偶函数，且. 【答案】（1）1（2）见解析 【分析】（1）根据，采用赋值法令 求解. （2）采用赋值法令 得，再利用奇偶性的定义证明.，令 得，再根据证明. 【详解】（1）因为， 令 得， 所以； （2）令 得， 所以， 所以是偶函数. 令 得， 因为 所以. 【点睛】本题主要考查抽象函数的应用和赋值法研究函数奇偶性、对称性，还考查了探究解决问题的能力，属于中档题. 3.已知定义在上的函数满足，，． (1)试判断的奇偶性，并说明理由． (2)证明：． 【答案】(1)偶函数，证明见详解 (2)证明详解 【分析】（1）令，可得，再令，结合偶函数的定义即可判定； （2）令，可得，又，即可证明原不等式成立. 【详解】（1）为偶函数，理由如下： 令， 由， 得，又， 所以， 令，则， 所以，即，， 故为偶函数. （2）令及，可得 ， 所以，即， 又， 当时，等号成立， 故， 即， 故原不等式得证. 题型13:多项式型函数 多项式型函数，一般情况下可以通过适当的赋值求得解析式 1.已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式. 【答案】. 【分析】根据所给关系对于合理赋值后求出，再令可得解. 【详解】由已知等式， 令，，得． 又，所以． 再令，可得，即． 因此，函数的表达式为． 2.已知偶函数，对任意，恒有．求： （1）的值； （2）的表达式； （3）在上的最值． 【答案】（1），， （2） （3），无最大值 【分析】（1）依题意利用抽象函数赋值法：令，可求出，令结合为偶函数可求出，令，可求出； （2）令代入得结合为偶函数可求出； （3）由（2）得，利用换元法令，构造，利用二次函数的性质即可求出最值. 【详解】（1）令得：，解得：， 令得：， 又为偶函数，，， 令得：， （2）得： 又是偶函数，，且 . （3）令，，，所以 所以， 则， 所以当即时，，无最大值. 3.已知函数对一切都有成立. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）已知，设：当时，不等式恒成立，：当时，不是单调函数，求满足为真命题且为假命题的的取值范围. 【答案】（1）1；（2）；（3）. 【解析】（1）令，即可求解； （2））令，得，再用替换得 ，两式消去即可得的解析式； （3）若为真命题，恒成立，只需要，利用二次函数性质即可求解，若为真命题，，对称轴：，则，即可求解. 【详解】（1）由， 取得. （2）取，得，① 将换成，有② ①×2＋②得， 故的解析式为. （3）（i）若为真命题，有当时，不等式恒成立， 即恒成立，记， 有对称轴，，所以. （ii）若为真命题，，对称轴：， 由于当时，不是单调函数，所以， 即. 综上，满足为真命题且为假命题的满足，解得， 故满足为真命题且为假命题的的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法 （1）分离参数法 若不等式 （是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. （2）数形结合法 结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题. （3）主参换位法 把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解. 题型14：综合型函数 1.函数的定义域为，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意，有；③. （1）求的值； （2）求证：在上是单调增函数； （3）若，且，求证：. 【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据题中，，赋值，得到的值； （2）利用单调性的定义，结合赋值法，证明函数的单调性； （3）赋值得，，再用均值不等式可证明得. 【详解】（1）令得：，因为，所以； （2）任取且，设，则 因为，所以， 所以在上是单调增函数； （3）由（1）（2）知，因为 又， 所以 所以 【点睛】本题考查了抽象函数的理解与应用，利用定义证明函数的单调性，赋值法的应用，基本不等式证明不等式，考查了学生分析理解能力，逻辑推理能力 2.已知函数在定义域R上单调递增，且对任意的x，y都满足. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若对所有的均成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析； (2)实数m的取值范围为. 【分析】（1）利用赋值法得到，由此证得函数的奇偶性； （2）利用函数奇偶性与单调性推得，进而得到，再结合基本不等式求得的取值范围． 【详解】（1）函数是奇函数．证明如下： 因为对任意的x，y都满足，令，则，即，所以是奇函数； （2）因为当时，恒成立，由(1)可得当时恒成立，又因为在定义域上单调递增，所以当时，恒成立， 因为，所以， 所以恒成立， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，所以， 所以实数m的取值范围为. 3.已知定义在上的函数满足，，，且． (1)求，，的值； (2)判断的奇偶性，并证明． 【答案】(1)，， (2)偶函数，证明见解析 【分析】（1）令，求得，令，求得，令，求得， （2）令，再结合（1）的结果和奇偶性的定义可得结论. 【详解】（1）令，得， 因为，所以． 令，得， 因为，所以． 令，得， 即， 因为，所以，所以． （2）为偶函数． 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数． 4.已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④，，． (1)讨论函数的奇偶性； (2)证明函数在上单调递增． 【答案】(1)偶函数 (2)证明见解析 【分析】（1） 根据题意先求出和，进而由结合题目条件得到答案； （2）先设，，且，进而结合（1）将 进行变形，最后判断出符号得到结论. 【详解】（1）∵是定义在上的奇函数，∴． ∵，，，且， ∴， 又函数的定义域为R，∴函数为偶函数． （2）由题意及（1），得， 设，，且， 则 ．     ∵，∴，， ∴. ∴在上单调递增． 5.已知函数满足，，，且在区间上，恒成立. (1)证明：是偶函数； (2)求； (3)证明：是周期函数. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）令得，然后令可证得函数为偶函数； （2）令，求得，然后令可得； （3）令得，此式为，由此式变形可证得周期函数． 【详解】（1）令，得，因为，所以， 令，得，所以， 所以为偶函数． （2）令，则，所以， 又，所以， 令得 ，． （3）在中令得， 所以，即， 所以， 所以是周期函数，4是它的一个周期． 6.已知函数的定义域为，其图像是一段连续曲线，在上是严格减函数，对任意的、，恒有，且，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明：方程在区间上有解； (3)当时，解关于的不等式. 【答案】(1)函数为偶函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）赋值法求出，得到，可判断函数的奇偶性； （2）讨论函数在区间上的取值范围，证明方程在区间上有解； （3）利用函数奇偶性和单调性，结合特殊点的函数值，解不等式. 【详解】（1）函数为偶函数，证明如下： 对任意的、，恒有，且，， 当时，，解得， 当时，，则有， 又函数的定义域为，所以函数为偶函数. （2）当时，，解得， 当时，，解得， 函数为偶函数，，又， 函数的图像是一段连续曲线，， 所以存在，使，即方程在区间上有解； （3）当时，，有， 在上是严格减函数，，得， 当时，，， 函数为偶函数，，， 在上是严格增函数，在上是严格减函数 当时，不等式即， 解得或，即不等式解集为. 7.设函数满足：对任意实数都有，且当时，. （1）证明：在为减函数；又若在上总有成立，试求的最小值； （2）设函数， 当时，解关于的不等式：. 【答案】（1）证明见解析，；（2）见解析 【分析】（1）任取，则，由已知得，进而得到，命题得证；由在上恒有，得出，分别令得到，令，得到，令，得到，故而得到； （2）由，可得，根据单调性“脱去” 得到，分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）设任意的两个实数且，∴， ∴∵，∴，∴，∴ ， 故在上是减函数. ∴，∵，∴，∴，∴. （2）∵∴原不等式等价于： 而是减函数，∴，∴ ∴当，解集是当， （i），∴，解集 （ii），∴，解集 （iii），∴，解集 8.定义在上的函数，对任意，满足下列条件：①   ② （1）是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由. （2）证明：为奇函数； 【答案】（1）存在，；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用待定系数法，设出一次函数，代入①即可得，再代入②可得解析式；（2）首先令，计算出，然后令，即可得，得证. 【详解】解析：假设存在一次函数，设 则，    ，所以，. ，故满足条件的一次函数为： （2）定义在上的函数对任意的，   都有成立， 令，则，得 令，则   所以，即，于是 ∴为奇函数. 9.已知函数对于一切、，都有． （1）求证：在上是偶函数； （2）若在区间上是减函数，且有，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）采用赋值法，利用奇偶性的定义证明； （2）根据在上是偶函数，可得，再结合函数在区间上是减函数，利用单调性求解. 【详解】（1）证明：函数对于一切、，都有，令，得， 再令，得．①令，得．② ①②得， ． 故在上是偶函数． （2）解：因为在上是偶函数，所以的图象关于轴对称． 又因为在区间上是减函数，所以在区间上是增函数． ，， ． ． 原不等式可化为，．解之得． 故实数的取值范围是． 10.函数的定义域为，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意，有；③. （1）求的值； （2）求证：在上是单调增函数； （3）若，且，求证：. 【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据题中，，赋值，得到的值； （2）利用单调性的定义，结合赋值法，证明函数的单调性； （3）赋值得，，再用均值不等式可证明得. 【详解】（1）令得：，因为，所以； （2）任取且，设，则 因为，所以， 所以在上是单调增函数； （3）由（1）（2）知，因为 又， 所以 所以 11.已知定义域为的函数满足对任意，都有 （1）求证:是奇函数； （2）设，且当时，，求不等式的解集. 【答案】（1）证明见解析（2） 【分析】（1）利用赋值法，由，得到得证.. （2）将变为 ， 所以，再根据当时，，利用单调性的定义来判断其单调性，由（1）易知是偶函数，将转化，再利用的单调性求解. 【详解】（1）令，得令，得 令，，得是奇函数. （2）， ， 设，则，所以 在上是减函数是偶函数 ∴不等式的解集为或. 12.已知定义在上的函数满足以下三个条件： ①对任意实数，都有； ②； ③在区间上为增函数． （1）判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）求证：； （3）解不等式． 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）通过赋值，令，求，再赋值，求得函数是奇函数； （2）同样是赋值令，，再赋值证明； （3）根据奇函数和周期性可得函数关于对称，并且在单调递增，在单调递减，再利用赋值，可得，再利用函数性质解不等式. 【详解】（1）令 ， ， ， ， 令 ，代入得 ， ， ，， 函数是奇函数. （2）令 ，， ，， ，. （3）因为函数是上奇函数，所以满足， 又 ， ，函数关于对称，因为函数在单调递增，并且是奇函数， 在上也是单调递增，在上单调递减，令 ，代入可得， 函数关于对称，， ，解得： 或 ， 在单调递增，且 ，（舍） ， 当 时， ，又是周期为4的函数， 不等式的解集是. 13.已知y=f(x)满足对一切x，yR都有f(x+2y)=f(x)+2f(y). (1)判断y=f(x)的奇偶性并证明; (2)若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)118 【分析】（1）令，结合题意根据奇偶性的定义即可得出结论； （2）令，可得，再结合函数的奇偶性分别求出即可得出答案. (1)解：为奇函数，证明：令，则有， 所以，故为奇函数； (2)解：令，则； 又，令，则，即， 所以，则， ，， ，所以所求式子的值为. 14．已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有. (1)求的值； (2)证明：是定义域上的减函数； (3)若，解不等式. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）令即可求得结果； （2）设，由即可证得结论； （3）将所求不等式化为，结合单调性和定义域的要求即可构造不等式组求得结果. （1）令，则，解得：； （2）设，则，，，，是定义域上的减函数； （3）由得：，即， 又，，是定义域上的减函数，，解得：； 又，， 的解集为. 15.定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1，1)，都有f(x)+f(y)=f()；②当x∈(－1，0)时，有f(x)>0．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】根据f(x)+f(y)=f()中的x，y，采用赋值法论证f(x)在x∈(－1，1)上是奇函数，再利用函数单调性定义论证f(x)在 (－1，0)上是单调递减函数，再根据奇函数得到f(x)在x∈(0，1)上是递减函数，且f(x)＜0，然后由，利用裂项相消法求解. 【详解】证明：对f(x)+f(y)=f()中的x，y，令x=y=0，得f(0)=0， 再令y=－x，又得f(x)+f(－x)=f(0)=0，即f(－x)=－f(x)， ∴f(x)在x∈(－1，1)上是奇函数. 设－1＜x1＜x2＜0，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f()， ∵－1＜x1＜x2＜0，∴x1－x2＜0，1－x1x2>0. ∴＜0，又， 所以， 所以由②知f()>0，从而f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 故f(x)在x∈(－1，0)上是单调递减函数,根据奇函数的图像关于原点对称， 知f(x)在x∈(0，1)上仍是递减函数，且f(x)＜0, ， ， ， 时，， ，故原不等式成立. 【点睛】方法点睛：本题解决的关键是将变形为，利用裂项相消法求和，再结合x∈(0，1)时，f(x)＜0问题得解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 （三）抽象函数奇偶型单调性总结归纳 题型01：保和型（类线性）抽象函数f（a+b）=f（a）+f（b） 1.若函数对任意，恒有． （1）指出的奇偶性，并给予证明； （2）如果时，，判断的单调性； （3）在（2）的条件下，若对任意实数x，恒有．成立，求k的取值范围． 2.设函数对任意的实数，，都有，且时，，. （1）求证：是奇函数； （2）试判断函数单调性； （3）试问当时，是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由. 3.已知函数定义域为，若对任意的，都有，且时，. （1）判断的奇偶性； （2）讨论的区间上的单调性； （3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围. 4.定义在上的函数满足，对任意的，有，且当时，. (1)求的值，并证明函数是奇函数； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)解不等式. 5. 是定义在上的函数，满足以下性质：①、，都有，②当时，． (1)判断的单调性并加以证明； (2)不等式恒成立，求的取值范围． 6.已知函数的定义域为，且对任意的，都有．当时，，． (1)求并证明的奇偶性； (2)判断的单调性并证明； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 7.设定义在上的函数，对任意，恒有．若时，． (1)判断的奇偶性和单调性，并加以证明； (2)若对于任意和任意，都有不等式恒成立，求实数的取值范围． （一）保型下移函数f（a+b）=f（a）+f（b）-c 一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数． 1.函数满足对一切，且；当时，有. (1)求的值； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式. 2.已知定义在R上的函数同时满足下面两个条件： ①对任意x，，都有. ②当时，； (1)求； (2)判断在R上的单调性，并证明你的结论； (3)已知，若，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 3.定义在上的函数满足如下条件： ①； ②； ③当时，． (1)求，判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 4.已知函数满足对一切实数，都有成立，且在上为单调递减函数. （1）求，； （2）解不等式； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 5.已知定义在上的函数满足：①对，，；②当时，；③. (1)求，判断并证明的单调性； (2)若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 6.已知函数对任意，都有，且当时，． (1)求证：在上是增函数； (2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值； (3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式． 7.已知函数满足，且． (1)求，判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)若对任意，都有成立，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 8.已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③. (1)求及的值； (2)求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的增函数； (3)若，求实数的取值范围. 9.已知定义域为，对任意都有．当时，，且． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 10.已知函数的定义域为，且满足下列条件： ①；②对于任意的，，总有；则： （Ⅰ）求及的值． （Ⅱ）求证：函数为奇函数． 11.已知函数满足，当时，成立，且． (1)求，判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． （二）保和型上移函数 1.已知定义在R上的函数同时满足下面两个条件： ①对任意，都有； ②当时，． (1)求； (2)判断在R上的单调性，并证明你的结论； (3)已知，若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 2.若定义在上的函数满足：，都有成立，且当时，． （1）求证：为上的增函数； （2）若，且恒成立，求实数的取值范围． 3.已知函数的定义域为R，对任意实数x，y，．当时，，． (1)求，的值； (2)判断函数的单调性并加以证明； (3)解不等式． 4.已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③. (1)求及的值； (2)求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的减函数； (3)若，求实数的取值范围. 5.。若定义在R上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数， (1)求的值，并证明为奇函数； (2)解不等式 (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 题型02：类线性函数：f（a-b）=f（a）-f（b） 1.设函数的定义域为R，并且满足，且，当时，． （1）求的值，并判断函数的奇偶性； （2）解不等式 2.设函数的定义域为R，并且满足，且当时， (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； (3)如果，求的取值范围； 3.定义在上的函数，满足对任意，有，且． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论； (3)当时，，解不等式． 4.定义在R上的函数f(x)满足：x，y∈R，f(x-y)=f(x)+f(-y)，且当x<0时f(x)>0，f(-2)=4. （1）判断函数f(x)的奇偶性并证明； （2）若x∈[-2，2]，a∈[-3，4]，f(x)≤-3at+5恒成立，求实数t的取值范围. 5.已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，. (1)判断并证明的单调性； (2)当时，求关于的不等式的解集. 题型03：保积函数：f（a*b）=f（a）*f（b） f（a*b）=f（a）*f（b），证明奇偶性，则常令一个字母取-1． 1.若函数对任意实数x，y都有，则称其为“保积函数”． (1)若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明； (2)对于（1）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集． 2.已知函数是定义在上的非常值函数，对任意，满足. （1）求，的值； （2）求证：对任意恒成立； （3）若当时，，求证：函数在上是增函数. 3.已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 4.已知函数对任意实数x，y都有，且，当时， （1）判断的奇偶性并证明. （2）判断在上的单调性，并证明. 5.已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 6.若函数对任意实数x，y都有，则称其为“保积函数”． (1)若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明； (2)对于（1）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集． 题型04：形如f（axb）=f（a）+f（b）类比对数 形如可以类比对数函数的性质， 基本技巧是赋值，有如下规律技巧： 1．第一层次赋值：常常令字母取0，-1，1． 2．第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取． 3．第三层次赋值：拆分赋值．根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）．如4=2X2，8=4X2； 拆成和，3=1+2=1+1+2等等 1.已知定义域为的函数满足对任意，都有． （1）求证：是偶函数； （2）设时， ①求证：在上是减函数； ②求不等式的解集． 2.已知函数对于任意非零实数满足且当时，. （1）求与的值； （2）判断并证明的奇偶性和单调性； （3）求不等式的解集. 3.定义在非零实数集上的函数对任意非零实数满足:,且当时. (1)求及的值； (2)求证:是偶函数； (3)解不等式：. 4.已知函数的定义域为，对，总有成立.若时，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求解关于的不等式的解集. 5.设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，. (1)判断并证明函数在上的单调性： (2)若，求不等式的解集. 6.已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，. (1)证明：当时，； (2)判断的单调性并加以证明； (3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 7.定义在上的函数满足：对任意都有成立，且时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 题型05：形如f（a*b）=f（a）+f（b）+t 类比对数上下偏移 1.定义在上的函数，对任意，都有，且当时，． （1）求与的值； （2）证明为偶函数: （3）判断在上的单调性，并求解不等式． 2.设定义在（0，+∞）上的函数 f（x），对于任意正实数 a、b，都有 f（a•b）＝f（a）+f（b）﹣1，f（2）＝0，且当 x＞1 时，f（x）＜1． （1）求 f（1）及的值； （2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数． 3.已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数． 4.已知函数的定义域为，且满足：当时，，、，都有. (1)判断函数的单调性并加以证明； (2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 5.已知定义在上的函数对于，，都满足，且当时，． (1)求的值； (2)根据定义，研究在上的单调性． 题型06：形如f（a/b）=f（a）-f（b） 类比对数商函数 1.已知函数是定义在上的增函数，. （1）求；（2）求证：； （3）若，解不等式：. 2.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f＝f（x1）－f（x2），且当x>1时f（x）>0，若f（3）＝1． （1）判断f（x）的单调性； （2）解关于的不等式； （3）若对所有恒成立,求实数． 3.定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 题型07：类指数函数：形如f（a+b）=f（a）f（b） 1.已知函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，．求证：在上是单调减函数． 2.已知定义在上的函数对任意实数都满足，且．当时，． （1）求的值； （2）证明：在上是增函数； （3）解不等式． 3.已知函数f（x）定义域为R，f（1）=2，f（x）≠0，对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，f（x）＞1； （1）判断f（x）在R上的单调性，并证明； （2）解不等式f（x）f（x-2）＞16． 4.定义在上的函数满足:①对一切恒有；②对一切恒有；③当时，，且；④若对一切(其中)，不等式恒成立. (1)求的值； (2)证明:函数是上的递增函数； (3)求实数的取值范围. 5.已知函数的定义域为R，对任意的，都有.当时，，且. (1)求的值，并证明：当时，. (2)判断的单调性. (3)若，求不等式的解集. 6.设函数的定义域是，对于任意实数，恒有，且当时，． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性； (3)试举出一个满足条件的函数，并说明举例的理由． 7.设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性； (3)试举出一个满足条件的函数． 题型08：形如f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b） 1.设的定义域是，在区间上是严格减函数；且对任意，，若，则． (1)求证：函数是一个偶函数； (2)求证：对于任意的，． (3)若，解不等式． 2.是定义在上的函数，对一切都有且 （1）求； （2）判断函数的奇偶性 3.已知函数满足，，，且在区间上，恒成立. (1)证明：是偶函数；(2)求； (3)证明：是周期函数. 4.设的定义域是，在区间上是严格减函数；且对任意，，若，则． (1)求证：函数是一个偶函数； (2)求证：对于任意的，． (3)若，解不等式． 5.（1）已知函数，，若对于任意实数，，都有，求证：为偶函数． （2）若函数的定义域为（），证明：是偶函数，是奇函数． 6.定义在R上的函数，对任意的，有，且. （1）求证：；         （2）求证：是偶函数. 7.已知函数对任意实数恒有成立，且当时，. (1)求的值; (2)判断的单调性，并证明; (3)解关于的不等式:. 8.已知函数，，若对于任意实数，，都有，求证：为偶函数． 9.已知，都是定义在R上的函数，对任意实数x，y恒有. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)若，，，且在上单调递减，求不等式的解集. 题型09：形如， 主要有以下几个方面经验思维： 1.如果0属于定义域，一般情况下f（0）=0. 2.如果定义域关于原点对称，一般情况下，函数是奇函数. 1.已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明 (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减 2.定义在上的函数满足：①任意，都有；②时，有. （1）判定在上的奇偶性，并说明理由; （2）判定在上的单调性，并给出证明. 3.定义在上的函数，对任意都有. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，试求的值. 4.已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 5.已知函数的定义域为，对于任意的x，，有，且当时，. (1)判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明； (2)若，对一切，（其中）恒成立，求实数m的取值范围. 6.定义在上的函数满足：对任意的，，都有：. （1）求证：函数是奇函数； （2）若当时，有，求证：在上是减函数； （3）若，对所有，恒成立，求实数的取值范围. 7.定义在上的函数满足：对任意的，都有： （1）求证：函数是奇函数； （2）若当时，有，求证：在上是减函数； （3）在（2）的条件下解不等式：; （4）在（2）的条件下求证：. 8.已知函数在上有意义，且对任意满足. （1）判断的奇偶性，并证明你的结论； （2）若时，，则能否确定在的单调性？若能，请确定，并证明你的结论，若不能说明理由. 9.已知函数在上有意义，且对任意满足． (1)求的值，判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若时，，判断在的单调性，并说明理由． (3)在（2）的条件下，请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分） ①若，请问是否存在实数，使得恒成立，若存在，给出实数的一个取值；若不存在，请说明理由． ②记表示两数中的较大值，若对于任意，，求实数的取值范围？ 10..已知定义在上的函数，对任意，有，且时，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)若，解不等式. 题型10：型 1.已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 2.已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并用定义证明． 题型11：形如类比正切函数 1.函数对定义域上任意满足：. （1）求的值； （2）设关于原点对称，判断并证明的奇偶性； （3）当时，，证明在上是增函数. 2.定义在上的函数满足：对任意的都有，且当时，． （1）判断在上的单调性并证明； （2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立． 3.定义在R上的函数满足：①值域为，且当时，，②对定义域内任意的，满足，试回答下列问题： (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断并证明函数的单调性； (3)对，使得不等式恒成立，求t的取值范围． 4．定义在上的函数满足：对任意的都有，且当时，． （1）判断在上的单调性并证明； （2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立． 5.函数对定义域上任意满足：. （1）求的值； （2）设关于原点对称，判断并证明的奇偶性； （3）当时，，证明在上是增函数. 6.已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0.试问： （1）f（x）的奇偶性如何？说明理由； （2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 7.设函数的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的，有f()= . 求证：是奇函数. 8.已知函数的定义域关于原点对称，且满足（1）（2）存在正常数，使得 求证：（1）是奇函数； （2）是周期函数，并且有一个周期为 题型12：类比余弦型 类余弦函数，可以参考余弦函数得性质，得出一些一般性质规律.但是需要在大题解答过程中严格证明. 1.设函数的定义域为，对任意实数，有，且 (1)求证：； (2)若时，，求证：在上单调递减. 2.设函数的定义域为，对任意有，且. （1）求的值； （2）求证是偶函数，且. 3.已知定义在上的函数满足，，． (1)试判断的奇偶性，并说明理由． (2)证明：． 题型13:多项式型函数 多项式型函数，一般情况下可以通过适当的赋值求得解析式 1.已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式. 2.已知偶函数，对任意，恒有．求： （1）的值； （2）的表达式； （3）在上的最值． 3.已知函数对一切都有成立. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）已知，设：当时，不等式恒成立，：当时，不是单调函数，求满足为真命题且为假命题的的取值范围. 题型14：综合型函数 1.函数的定义域为，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意，有；③. （1）求的值； （2）求证：在上是单调增函数； （3）若，且，求证：. 2.已知函数在定义域R上单调递增，且对任意的x，y都满足. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若对所有的均成立，求实数m的取值范围. 3.已知定义在上的函数满足，，，且． (1)求，，的值； (2)判断的奇偶性，并证明． 4.已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④，，． (1)讨论函数的奇偶性； (2)证明函数在上单调递增． 5.已知函数满足，，，且在区间上，恒成立. (1)证明：是偶函数； (2)求； (3)证明：是周期函数. 6.已知函数的定义域为，其图像是一段连续曲线，在上是严格减函数，对任意的、，恒有，且，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明：方程在区间上有解； (3)当时，解关于的不等式. 7.设函数满足：对任意实数都有，且当时，. （1）证明：在为减函数；又若在上总有成立，试求的最小值； （2）设函数， 当时，解关于的不等式：. 8.定义在上的函数，对任意，满足下列条件：①   ② （1）是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由. （2）证明：为奇函数； 9.已知函数对于一切、，都有． （1）求证：在上是偶函数； （2）若在区间上是减函数，且有，求实数的取值范围． 10.函数的定义域为，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意，有；③. （1）求的值； （2）求证：在上是单调增函数； （3）若，且，求证：. 11.已知定义域为的函数满足对任意，都有 （1）求证:是奇函数； （2）设，且当时，，求不等式的解集. 12.已知定义在上的函数满足以下三个条件： ①对任意实数，都有； ②； ③在区间上为增函数． （1）判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）求证：； （3）解不等式． 13.已知y=f(x)满足对一切x，yR都有f(x+2y)=f(x)+2f(y). (1)判断y=f(x)的奇偶性并证明; (2)若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值. 14．已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有. (1)求的值； (2)证明：是定义域上的减函数； (3)若，解不等式. 15.定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1，1)，都有f(x)+f(y)=f()；②当x∈(－1，0)时，有f(x)>0．求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$