第二十八章 锐角三角函数 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2025-2026学年九年级全一册数学（人教版）

请路卷用南专版：服：九年级数学下 第二十八章追梦综合演练卷 测试时网100分钟 别以分数，12的分 得分1 某8则园 第9是西 第10思围 一，选择题《每小题3分，共0合) 9.如图，已在用△ABC中，∠AC=90°，点D滑C白B向C运 题号12345678910 动（点D与点B.C不重合），作B3⊥AD于点E,CF⊥AD于点 F,期E+CF的值( 答案 3 A.不变 B.增大 1,在△AG中，∠G=0",BC=3,AR=5,则im4的值为 C.减小 D.先变大青变小 5 C.3 4 10.文化情境·数学文化第4国际数学教育大会(1CE-14)会 标中心的阁案案源于我国古代数学家超爽的“弦图”，如图所 三当4为袋角，且mLAe2时.，∠A的范隅是 示的“弦图”是由四个全等的直角三角形《△ABB,△BCF A0<LA<30 B.30<LA<60 △CDG.△DA仍和个小正方形EFCI排战的大正方影AB C.60°<∠Ac90 D.30<∠Ac45 CD.若EF:A=13.用os∠A55=( 3.已加∠A是板角，且病足34-3=0，期∠A的大小为( 《5 425 3 务 A.30 B45 C.609 D,无法骑定 5 5 二，填空驱（每小题3分，关5分） 4.已知∠A是领角，且m4= 3 ,则dn4的值易( 11正方形两格中，∠A0R如图放置，刚n∠AO沿的值为 23 &3G D.无法计算 13 13 五如果in2a+cw30=1.那么领角a的度数是( A.30 B459 C.60 D.90 东1图，在B1△ABC中，∠.AB=90°，AB=6,AC=2,CD⊥AB于点 第11题国 落13题图 D,设∠ACD=,则ea的值为( 2已知a是能角，m(r+15- 3 C.22 1且社会发展情境·三门转大地位于河南省三门峡市的三门峡大埃 瑟生干957年，被誉为“万里黄河第一坝.它的建成不仅为黄 可流娘的常氯和发电提供了重要的保陵，也为国家的经济发展 和生态环境保护做出了贡就图，大圳的横截面为解形ACD 理水坡C的坡角为a,坡度(ua)的为12了，面宽AB=10m, 第6题 第7题图 摸高AD约为1知幽，则规底CD的长约为 7.知图，在等边三角形AC中，D,B分期为AB,C边上的点，AD =BE,AE与D交于点F,AG⊥CD于点G,若AG=2,期AF的 14如图，在四边形AGD中，∠B=∠D=90°，AB=3,BC=2,m4= 值是( 3.cn- 米如图所示，点A{:.3)在第一象限，则线以与x轴所突的税角为 3 a,sing= 期：的值为( 第15题围 A.7 B.3 C.4 D.5 1如图：在△C中，AB=AC,h=子运长c至友D,便CD AC=12,期m∠CD= 三，解搭题（本大题矣8个小月，共75分） 1版(8分)计算： （12(2w45o-n60e)+24 4 (2)in0.区 330e 17.〔9分)在m△ABC中，∠C-0 (1)已起=25,6=15.求w: (2)已超t=6,∠4=60，求h,c 18〔9分)一图直角三角板如图放置，点A在D上，∠F■∠ACB =90°.∠E=0°，∠B=45°，AC=2,试求D的长 ·33 19(0分)如图，40是△ABC的中线，nk={ 21（0分)如，在Ac中，∠AC=90,md-=子6C=12.D是 2.: AB的中友，过点B作直线CD的重线，垂是为点E 《1)C的长： 求：(1)线段CD的长： (2)4A00的正球值 (2)m4∠AE的值 2川.项用式学习(9分)单深是一种捷够产生往复摆动的装置某 兴恩小组利用单握进行相关的实验解究。并爱写宾验报告 如下 22(10分)小明在某次作业中得司如下结果 实最土殖 探宽摆球运动过程中高度的变化 im27*+in283w0.122+0992=l.9945. 失醉用具 摆娘，摆战，支架，斌像机等 wim22"+in68a1.373+09明2-1.0018. 如周，在支架竹磺杆点D.发用摆线瑟杜一个挥 in29"4in61"=048+087-09873. 球，将框珠拉高后检手，糯珠手往爱递动，（据 ln37+4ln253"=060+080=10000. 线的长空变化多略不计) 实验说明如围2摆球静上时的位重为点A,垫量摆我将摆 球拉至东B处，D⊥0A于成D.∠0A6科°，D 4si5-(停( ■18m!当摆球选对至点C时，∠C04=37P,CE ⊥M于点（点0，A,B,C,D,E在月一平面内) 据民，小明猜想：对于任意锐角a,均有inar+in气0-a》=1 (1)当m=30时.羚1正in'atsin气0"a)=1是否成立： (2)小明的特想是吾成立？若成立.请给予狂明：若不成立，情 架验图示 烯出一个反例。 图1 里2 解决间题：根暴以上信息，梁AE的长.《参考数暴：s一 0.60,u357w0.80.un37w0.75.i64°时0.90，cw64° 0.44,an64w2.05,结果精确到1m） ·34· 23文化情境，传疏文化(0分)中国古代运用士素之法判别四 乘.夏至时日影最短冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度 等于夏至和冬至日影长度的平均数某地学生运用此祛进行实 载探素.如周，在示意周中，产生日影的杆子AB垂直于地面 A长8尺在夏至时样子A银在太附光线AC既射下产生的目 影为C:在冬至时，杆子AB在太阳光线AD酬射下产生的日 影为BD.已知∠AB=73.4.∠0B=26.6 (1)求条至时日影D的长度： (2)求春分和秋分时目影长度（结果精确到Q1尺） (参考数据126.6°=0.45.6s26.6°-0.89.un26.6'-0.50. 73.4w0.96,73.4“w0.29,un73.4w3.35) 26,6D意舍去；若∠BDE=90°，如图3，：△EBC与△ABC关于 BC所在直线对称，.AE⊥BC,AB=BE=5,且∠BDE= 90°，BD=4,DE=√BE-BD=√/25-16=3.：AE⊥ BC,.∠EAD+∠ABC=90°，且∠EAD+∠AED=90°， ∠ABC=∠AED,且∠CAB=∠ADE=90°，..△ABC △DEA,4C-AB 万一后，，4C=二×9=15.故AC的长为5或 15. 16.解：(1)如图，△AB,C1为所作； (3分) 卷 01.￥.345x 案 3 7...5 (2)如图，△A,B2C2为所作， (9分) 17.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AD∥ BC,.∴.∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC (2分) ∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B,∴.∠AFD=∠C, ∴.△ADF∽△DEC; (5分) (2)AE⊥BC,AD=35,AE=3,在Rt△DAE中，DE =√AD+AE=√(33)2+32=6.由(1)知△4DF △nec,得C记A=26 (9分) 18.解：(1)由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一 定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的 关系.设地面所受压强p(Pa)关于接触面积S(m)的函 数表达式为p=写将(4x10,12x10)代人，得F=4 10×1.2×102=4.8×102,地面所受压强p(Pa)关于 接触面积S(m)的函数表达式为p=48x10 (4分】 (2)将p=5x10Pa代人p=48x10 得，S=9.6×103, 当这段玻璃通道能承受的最大压强为5×10Pa时，这 种机器人与玻璃通道的接触面积至少为9.6×103平方 米 (9分)】 19.解：(1)由题意可得：开机加热到100℃所需时间为： 10-20=4(分钟)，÷点B坐标为(4,10)，：加热到 20 100℃，会沸腾1分钟后自动停止加热，.点C坐标为 (5,10),设反比例图象cD段的函数关系式y=兰，把 点C(5,10)代入得：100=专，解得：k=50,令y=20 时，代人20=500 解得：x=25,点D(25,20),反比 例图象CD段的函数关系式：y=50 (5≤x≤25)： (4分) (2)由(1)可知：从水温20℃开机加热到100℃、沸腾停 止加热、再到水温下降回20℃为一个周期共用时25分 钟，：25<30，.小明在第一个周期还不能服药，(6分) 当水温第二次加热到40℃所需时间为：25+40-20-=26< 20 追梦之旅铺路卷·九年红 30,当水温第二次下降到40℃所需时间为：25+500 40 37.5(分)，∴，他至少需要等37.5分钟才可以直接用热 水壶的水送服活菌片， (9分) 20.解：(1)A(m,n),AB⊥x轴，.AB=n,0B=m.又 1 △A0B的面积是3，心2mn=3,mn=6”点A在双 曲线y=素上，k=mn=6 (3分) (2)延长DC交x轴于点E,由旋转可得△AOB≌ △ACD,∠BAD=90°，∴，AD=AB=n,CD=OB=m,∠ADC =90°.AB⊥x轴，∠ABE=90°，.四边形ABED是 正方形，∴，∠DEB=90°，∴.DE=AB=n,CE=n-m,OE=m +n,∴C(m+n,n-m).点A,C都在双曲线上，∴mn= (m+n)(n-m),即m2+mn-n2=0,方程两边同时除以 n2,得（公）2+m-1=0,解得m=1±5 n>m>0, n n 2 m=-1+5 2 (9分) n AD CD 21（1)证明：AD=B0 CD.BD-AD又：∠D=∠D, ·.△DAB∽△DCA,∴.∠DAB=∠DCM: (4分) (2)连接A0并延长交⊙0于M,连接BM,∴.AM为⊙0 的直径，.∠ABM=90°，.∠BAM+∠AMB=90°，又 ∠DAB=∠BCA=∠BMA,∴.∠BAM+∠DAB=90°，，∴. ∠DAM=90°，OA为⊙0的半径，.AD为⊙0的切 线 (10分) 2解：(1)把A(2,6)代入y=,得m=2x6=2反比例 西数解新式为y一号 (3分) 元，1)代入y=上得n=12,则B(12,1),把A(2 B(12,1）代入y=红6得26解得 (12k+b=1, =2一 b=7. 次函数解析式为y= 2+7: (6分) (2)由图象可知，不等式m<+b的解集为x<0或2<x <12: (8分) (3)点E的坐标为(0,6)或(0,8) (10分) 2点解：(1号 (2分)】 (2)过点A作AF∥BC,交BE的延长线于点F,设DC= k,则BC=2kAF/BC,△AEF△CEB,AFAE BC CE 1,即AF=BC=2k (5分) AP AF 2k 2 :AF/∥BD,△APF∽△DPB,PDBD3k (8分) (3)6 (10分)】 第二十八章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查ABAAAADACC 1.A2.B3.A 4.A【解析】在R△ABC中，设AC=3x,则BC=2x,.AB= V(3x)+(2x了=3x.÷iA=2x-2厘 13x13 故选A ·ZBR·数学第21页 5.A6.A 7.D【解析】：△ABC是等边三角形，∴.∠ACB=∠ABC= 60°，AB=BC=AC.又.·AD=BE,.BD=CE,在△ACE和 (AC=CB △CBD中， ∠ACE=∠CBD=60°，∴.△ACE≌△CBD, CE=BD ∠CME=∠BCD.又.'∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠BCD+ ∠ACF=60°，.在Rt△AFG中，sim∠AFG=4,即sin60°与】 忌解得 3故选D 8.A 9.C【解析】小：BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,.CF∥ BE,.∠DCF=∠DBE.设∠DCF=∠DBE=a,.CF=DC ·cosa,BE=DB·cosa,∴.BE+CF=(DB+DC)cosa=BC ·cosa∠ABC=90°，∴.0°<<90°，当点D从B向C运 动时，a是逐渐增大的，∴cosa的值是逐渐减小的，∴BE +CF=BC·cosa的值是逐渐减小的.故选C. 10C11.2122 13.115m 46 【解析】延长AD和BC交于点E.“在直角△ABE 中，tan =AB-3AB=3.BE=4..EC=BE-BC=4-2 BE 4 =2.,在△ABE和△CDE中，∠B=∠EDC=90°，∠E= ∠E,∴.∠DCE=∠A,∴.在Rt△CDE中，an∠DCE=tanA ，=能=4设DE=4,则DC=3x,在t△CDE中，EC2= g+0C4=162492,解得x=号（负值含去），则 G0=6 ,【解析】过点A作AE⊥BD,垂足为点E,过点D作 AC的垂线，交AC的延长线于点F,:AB=AC,∠B= ∠ACB=∠DCF,BE=CE.设AE=4x,则AB=AC=5x,∴， BE=CE=3x.CD:AC=1:2,..CD= F2x”sin L DCF= sinB=4 5 DF=sin LDCF.CD=4x5 5×2=2x,Cf= 24=5+3. CD-DF= 2x=2,tan∠CAD= DF 4 AF13 【方法点拔】求一个锐角的三角函数值必定要把这个角 放到一个直角三角形中，先观察这个角是否在一个现有 的直角三角形中，如果在，那就直接求三角函数值，如果 没有现有的直角三角形，有两种方法可供选择：一是通 过添加辅助线构造直角三角形：二是通过找等角，所找 角要与所求角相等且其三角函数值易求出。 16解：(1)原式=2×(2x5月26 22)+4 (2分) =266 222 (4分) a源默号时9 (6分) 日付对时 (8分) 追梦之旅铺路卷·九年刻 17.解：(1)根据勾股定理可得：a=√25-15=20：(4分) (2)在R△ABC中，∠A=60°，+∠B=30°，.c=2b, (6分) m60号-月，6=2，则=2a (9分) 18解：在Rt△ABC中，∠B=45°，∴.BC=AC=12.(3分) AC 在Rt△ACD中，∠ADC=90°-∠E=60°，∴.CD= tan60= 43. (7分) .BD=BC-DC=12-43. (9分) 19解：(1)作AH LBC于点L在R△MCH中，：coC= 2 大 ，g,AC=2,CH=1, (2分) 卷 AH 1 AH=√AC-CH=1.在RL△MBH中，anB= 案 BH 5' .BH=5, (4分) ∴.BC=BH+CH=6: (5分) (2),BD=CD,∴.CD=3. (6分) 在R△ADH中，DH=2,AD=√A+D7=5.(8分)） 血LADm:侣5故LADC的正弦值为号 AD 5 (10分) 20.解：BD⊥OA,CE⊥OA,.∠BD0=∠CE0=90°.在Rt BD △BD0中，∠B0A=64°，BD=18.9Cm,∴.OB= in64o a9=21(cm）, 18.9 (2分) 由题意得：OB=OC=OA=21cm, (3分) 在Rt△0CE中，∠C0A=37°，.0E=0C×cos37°≈21× 0.8=16.8(cm), (6分) AE=0A-0E=21-16.8≈4(cm),AE的长约为 4cm. (9分) 21.解：(1)在△ABC中，∠ACB=90°，÷cosA= -号银 设AC=3,AB=5k,则BC=4k,而BC=12,.k=3,∴.AB =15. (3分) 15 :D是AB的中点，CD=B= 2 2 (5分) (2)八D是AB中点，六S△c=SaAx=2Sac,即，CD 2 08E=7·24C·BCE=9 (8分) 在△BDE中，m乙AE一能若即cmLA能的值 (10分) 22.解：(1)当a=30°时，sin2a+sin2(90°-a)=sin230°+ 0=(宁+（受=+ 44 =1,故当a=30°时， sin2a+sin2(90°-a)=1成立； (5分) (2)小明的猜想成立，证明如下：在△ABC中，∠C= 90°， (7分) 设∠A=a,则∠B=90°-a,.sin2a+sin2(90°-a)= BC)+ ACBCAC AB (10分) AB ABB1. 23.解：(1)在Rt△ABD中，∠B=90°，AB=8尺，∠ADB= 266BD=AB=8 an∠A0BQ.50=16(尺)： (5分) ·ZBR·数学第22页 (2)在RL△ABC中，∠B=90°，AB=8尺，∠ACB= nZACB3.35239(尺)，(7分) AB 8 73.4°，.BC= 一2×(16+239)=92（尺），春分和秋分时日影长 度为9.2尺 (10分) 第二十九章追梦综合演练卷 答案12345678910 速奁CCBDBABBDD 1.C 2.C【解析】将矩形木板立起与地面垂直放置时，形成的 影子为线段：将矩形木板与地面平行放置时，形成的彩 大 子为矩形：将木板领斜放置形成的影子为平行四边形： 由物体同一时刻物高与影长成比例，且矩形对边相等， 案 梯形两底不相等，所以得到投影不可能是等腰梯形.故 选C. 3.B 4.D 【方法点拔】在画从不同方向看到的几何体的形状图时， 一定要将物体的轮廓线、项点都体现出来。看得见的部 分的轮廓线画实线，看不见的部分的轮廓线画虚线， 5.B【解析】易得第一层有4个正方体，第二层最多有3个 正方体，最少有2个正方体，第三层最多有2个正方体，最 少有1个正方体，m=4+3+2=9,n=4+2+1=7,所以m+n= 9+7=16.故选B. 6.A7.B8.B9.D CBAB 10.D【解析I:AB/OP,△CAB∽△COP,CPOP 32 六45+30p0P=5(m).故选D. 11.中心投影12.4813.②③14.8m 15.7.5【解析】当旋转到达地面时，为最短彩长，等于 AB,.AB=3m:影长最大时，木杆与光线垂直，即AC =5m,∠ABC=90°，∴BC=4m,又可得△CAB∽△CFE, BC AB C>AB=5m,年5p解得F75m 16.解：如图所示： (一个4分，共8分) 主视 左视图 17.解：如图所示： (一个3分，共9分) 18解：(1)这个立体图形是三棱柱： (4分) (2)侧面积为：15×3+15×4+15×5=180(cm).(9分) 19.解：(1)如图所示， (4分) （a△4canE提-8-片5 解得AB=2.4m.故甲木杆的高度是2.4m, (9分) 20.解：(1)因为球在灯光的正下方，所以阴影是圆形： (3分) (2)白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小： (6分】 (3)设球在地面上阴影的半径为x米，则片-02，解得 3 追梦之旅铺路卷·九年多 x=0.6, (8分) 则S阴影=T·0.62=0.36π（平方米）. (9分) 21.解：(1)该几何体中小正方体的个数为9+4+1=14 (个)： (3分) (2)■ (6分) ■ (3)12+8+4+9=33(个)小面.所以，涂上颜色部分的总 面积是1×1×33=33(cm2). (10分) 22.解：作射线MA、NC,设它们相交于点O,连接OE并延长 交MF于点G.过点O作OH⊥MG于点H,设DH=,由 Aa/cm0,角栅-0即0-0c ,解得x= 1.2m (5分) 设0=同理相品识即答 08.8解得y= 0.4m. (9分) 即EF的影长为0.4m (10分) 23.解：(1)设Rt△PMN斜边上的高为h,BC=MN,FC=h. (1分) sin L PMN=PN_4 MN5PN=4..MN=5.PM=3.BC =5. (2分)】 wh=号G 5；(4分) (2):矩形ABCD与矩形EFGH相似，且AB=EF,一FC AB BC AB=2: (7分) 1 (3)直三棱柱的表面积：2×3×4×2+5x2,5+3x2,5+4× 2w3=12+24/3. (11分)】 追梦期末达标测试卷 答案1234567 8910 速查BADAACCDBB 1.B2.A3.D4.A5.A 6C【解析】0D=2AD, OM3△ABC与△DEF 0D2 位级Ea,6ac…880-影中号号 6 得EF=4.故选C. 7C【解折】设p=女图象过点(1.6,60)k=96,即 在第一象限内，p随V的增大而减小，.当p≤120时，V= 96≥4 p=5 故选C. &D【解折：cB=受乙B=45,当△AC为纯角三 角形时，如图1，：AB=122,∠B=45°，.AD=BD=12. .AC=13,∴.CD=5,.∴.BC=BD-CD=12-5=7: 图1 图2 当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12+5= 17.故选D. ·ZBR·数学第23页